函數(shù)Lipschitz連續(xù)的一個充要條件

彭康青，馬振明

（1.隴南師范高等?？茖W校，甘肅成縣 742500；2.西北師范大學，甘肅蘭州 730070）

函數(shù)Lipschitz連續(xù)的一個充要條件

彭康青1，馬振明2

（1.隴南師范高等專科學校，甘肅成縣 742500；2.西北師范大學，甘肅蘭州 730070）

導(dǎo)函數(shù)有界是函數(shù)f( x)在區(qū)間I上Lipschitz連續(xù)的充分條件，文章證明了它同時也是必要條件。

Lipschitz連續(xù)；有界；充要條件

在分析學科，特別在微分方程中，常要求函數(shù)Lipschitz連續(xù)[1]。于是，關(guān)于函數(shù)Lipschitz連續(xù)的判定就顯得十分重要。對于區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)我們已經(jīng)知道，其導(dǎo)函數(shù)有界是其在I上Lipschitz連續(xù)的一個充分條件[2]。本文證明這一條件也是必要條件。

證明 設(shè)M是集合B的上界，即對任何x和x0∈I，且 x≠x0，有

由函數(shù) 在點x0∈I可導(dǎo)，即得，即M也是集合A的上界。

推論 supA=supB。

證 由supB是集合B的上界，即得supB也是集合A的上界，于是就有supA≤supB。

的上界，因此，又有supA≥supB。于是得supA=supB。

綜上，可以得出以下結(jié)論：

在區(qū)間[0，1]上的Lipschitz連續(xù)性。

解 該函數(shù)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)。由定理3，考察其Lipschitz連續(xù)性可歸結(jié)為考察其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的有界性，于是有

解 該函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)。由定理3，這里的問題是確定α的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)有界。易見 α＞1或 α＜0時在（0，+∞）內(nèi)無界。

當 0＜ α＜1 時，注意到 x→0+時 sinxα～xα，就有

［1］東北師范大學微分方程教研室．常微分方程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：78．

［2］馬振民．數(shù)學分析的方法與技巧選講［M］．蘭州：蘭州大學出版社，1999：51.

［3］王嬌嬌，李軍.局部 Lipschitz連續(xù)函數(shù)差的刻畫［J］.四川理工學院學報（自然科學版），2014，27（1）：94-97.

［4］劉亞軍，范勝君.用Lipschitz函數(shù)序列一致逼近一致連續(xù)函數(shù)［J］.高等數(shù)學研究，2015，18（5）：7-9.

A Sufficient and Necessary Condition for the Continuity of Function Lipschitz

PENG Kang-qing1，MA Zhen-ming2
（1.Longnan Teachers College,Chengxian 742500，China；2.Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)

Derivative functionis bounded,which is the sufficient condition to assure the Lipschitz continuity of function in the interval I.In this paper we prove the condition is also necessary.

Lipschitz continuity；boundedness；sufficient and necessary condition

O17

A

1674-3229（2017）04-0009-02

2017-06-20

甘肅省隴南市科技計劃項目（2016-21）

彭康青（1968-），女，隴南師范高等專科學校數(shù)信學院副教授，研究方向：數(shù)學分析。