《復(fù)變函數(shù)論》的幾點(diǎn)教學(xué)體會

劉樂+賈耿華

摘要：復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)課，具有高度的抽象性，學(xué)生學(xué)習(xí)起來難度較大。筆者采用多種教學(xué)手段相結(jié)合，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)了幾點(diǎn)教學(xué)體會，在實(shí)踐中取得了良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；教學(xué)改革；啟發(fā)式教學(xué)法

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）51-0164-02

復(fù)變函數(shù)課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基礎(chǔ)專業(yè)課，是數(shù)學(xué)分析課程的后續(xù)課程，已經(jīng)滲入到代數(shù)學(xué)、微分方程、概率統(tǒng)計等多個數(shù)學(xué)分支[1-2]。該課程具有高度的抽象性，學(xué)生普遍反映學(xué)習(xí)難度較大。如何降低復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)難度、提高課堂的教學(xué)效果以及學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是我們教師迫切需要解決的問題。

一、復(fù)變函數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀

學(xué)生方面：一方面，復(fù)變函數(shù)是以復(fù)數(shù)域?yàn)榛A(chǔ)理論的一門學(xué)科，自變量與因變量都取自復(fù)數(shù)，高中新課改后，復(fù)數(shù)域這一部分理論被精簡了很多，但是大學(xué)的教學(xué)內(nèi)容并沒有做出相應(yīng)的調(diào)整。因此，學(xué)生們從高中到大學(xué)的知識銜接出現(xiàn)很大的問題，增加了學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的難度。另一方面，復(fù)變函數(shù)研究的數(shù)學(xué)理論從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域，該課程與數(shù)學(xué)分析在很多地方具有相似之處，因此數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)效果對復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)效果有很大影響。教師、教法方面：復(fù)變函數(shù)這門課程理論多，內(nèi)容又抽象，在課堂上教師過于注重理論的講授，不注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不注重提高學(xué)生分析解決問題的能力。

二、教學(xué)體會

在教學(xué)過程中，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，降低學(xué)習(xí)難度，取得良好的教學(xué)效果呢？我認(rèn)為可以從以下幾個方面來考慮：

1.適當(dāng)補(bǔ)授中學(xué)刪除而復(fù)變函數(shù)中需要用到的內(nèi)容。復(fù)變函數(shù)中要講到幅角，而因?yàn)榉堑亩嘀敌?，需要用到反三角函?shù)，而反三角函數(shù)在中學(xué)并沒有涉及，鑒于現(xiàn)在學(xué)生復(fù)數(shù)域理論知識的嚴(yán)重匱乏，在授課的第一周給學(xué)生補(bǔ)充與復(fù)變函數(shù)課程有關(guān)的一些基本理論。學(xué)生有了牢固的基礎(chǔ)知識，才有興趣去學(xué)習(xí)后面復(fù)雜的理論。

2.板書教學(xué)方式與多媒體教學(xué)方式相結(jié)合。傳統(tǒng)的教學(xué)方式是教師以講授課本內(nèi)容為主，在教學(xué)中需要大量推導(dǎo)演算等，這樣就把相當(dāng)一部分時間浪費(fèi)在了板書上，所以授課需要板書與多媒體相結(jié)合。一方面，在講授新課之前，教師利用多媒體來復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，并復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析中與本節(jié)課相關(guān)的內(nèi)容，一來使學(xué)生加深對學(xué)過的知識的理解，二來教師可節(jié)省出一部分時間去更詳細(xì)地講授新知識。另一方面，多媒體教學(xué)能夠降低復(fù)變函數(shù)的抽象性，增加教學(xué)內(nèi)容的直觀性，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。例如，復(fù)對數(shù)函數(shù)w=Lnz=ln|z|+i（argz+2kπ）（k=0，±1，±2，…）是無窮多值函數(shù)，在復(fù)平面上，從原點(diǎn)起沿負(fù)實(shí)軸割破復(fù)平面就可以得到w=Lnz的無窮多個單值解析分支w■=（Lnz）■=ln|z|+i（argz+2kπ）（k=0，±1，±2，…）。這部分內(nèi)容太抽象，學(xué)生很難理解。如果利用Matlab畫出對數(shù)函數(shù)的圖像，可以讓學(xué)生更清楚地看到對數(shù)函數(shù)的多值性，自變量取同一個值，得到的因變量的值有無窮多個，他們的實(shí)部相同，虛部相差kπ，k∈R，并且學(xué)生還可以了解若不割破復(fù)平面，復(fù)對數(shù)函數(shù)就無法分解出無窮多個單值解析分支。

3.采用比較式教學(xué)法。復(fù)變函數(shù)是研究復(fù)數(shù)域上函數(shù)的一門學(xué)科，而數(shù)學(xué)分析是研究實(shí)數(shù)域上函數(shù)的一門學(xué)科，二者既有相同點(diǎn)，又有不同點(diǎn)，所以教師在授課時，應(yīng)該有意識地引導(dǎo)學(xué)生比較這兩門課程的異同。比如，在一致收斂條件下，無論復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)還是實(shí)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)都是逐項(xiàng)可積的，而且和函數(shù)還保留了原有函數(shù)項(xiàng)的連續(xù)性。盡管復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在一致收斂條件下是逐項(xiàng)可微的，但實(shí)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在一致收斂條件下則不一定是逐項(xiàng)可微的。從而說明區(qū)域上的解析與區(qū)間上的可導(dǎo)是有本質(zhì)區(qū)別的，復(fù)變函數(shù)中解析概念要比可導(dǎo)概念強(qiáng)得多。

4.采用啟發(fā)式教學(xué)法。以唯一性定理為例，在前一節(jié)課推導(dǎo)了函數(shù)f（z）=e■在z=0點(diǎn)的泰勒展式e■=1+z+■+…+■+…，展式成立的范圍是z<∞.而數(shù)學(xué)分析中函數(shù)f（x）=e■的泰勒展式e■=1+x+■+…+■+…，展式成立的范圍是x<∞，兩個展式形式上一模一樣，這樣學(xué)生的頭腦中就會產(chǎn)生一個疑問，這是為什么呢？教師此時指出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的解析函數(shù)的唯一性定理剛好解答了同學(xué)們心中的疑問。

5.讓學(xué)生成為教學(xué)的參與者。目前課堂上實(shí)行“滿堂灌，填鴨式”的教學(xué)方法，學(xué)生只能坐在下面被動地聽課，沒有真正參與到教學(xué)中來。筆者在實(shí)際教學(xué)中盡量回避這一點(diǎn)，充分考慮到了“做”的重要性。譬如，復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)理論與實(shí)的冪級數(shù)理論中的阿貝爾引理以及收斂半徑的求法是相似的，在講授這部分內(nèi)容時，筆者可以讓學(xué)生提前復(fù)習(xí)一下實(shí)冪級數(shù)中的阿貝爾引理以及求收斂半徑的方法，組織學(xué)生自主教學(xué)，分組討論，讓學(xué)生真正參與到教學(xué)中來，分享學(xué)習(xí)成功帶來的喜悅。

6.引導(dǎo)學(xué)生要善于歸納總結(jié)。復(fù)變函數(shù)有一章節(jié)的內(nèi)容是復(fù)積分，復(fù)積分的計算方法有：參數(shù)方程法、牛頓-萊布尼茨公式、柯西積分公式、解析函數(shù)的無窮可微性定理等等。在剛開始學(xué)習(xí)復(fù)積分時，學(xué)生會覺得復(fù)積分的計算很復(fù)雜。講授完留數(shù)定理這一部分內(nèi)容后，教師和學(xué)生可以一起歸納總結(jié)應(yīng)該怎樣去計算復(fù)積分：首先看積分路徑是否封閉，若積分路徑不封閉，可以考慮利用參數(shù)方程法、牛頓-萊布尼茨公式來計算復(fù)積分；若積分路徑封閉，可以根據(jù)留數(shù)定理去計算復(fù)積分，因?yàn)榭挛鞣e分公式、解析函數(shù)的無窮可微性定理是留數(shù)定理的特殊情況。下面舉例說明如何利用留數(shù)定理簡單計算閉路的復(fù)積分。

例[1] 計算積分■■dz，其中C：|z|=2.

解：方法一：因?yàn)閒（z）=■在C內(nèi)有兩個奇點(diǎn)z■=-1，z■=1，不能直接用柯西積分公式，因此需要在C內(nèi)做兩個互不包含的兩個正向圓周C■，C■，使得C■內(nèi)只包含奇點(diǎn)z■=-1，C■內(nèi)只包含奇點(diǎn)z■=1。因此，有

■■dz=■■dz+■■dz=■■dz+■■dz

=2πi■■+2πi■■=■πi+■πi=■πi.

方法二（利用留數(shù)定理）：因?yàn)閒（z）=■在C內(nèi)有兩個奇點(diǎn)z=-1，z=1，因此只需求出f（z）在z=-1與z=1處的留數(shù)。由z=-1為f（z）的一階極點(diǎn)可得

■f（z）=■■=■

同理，由z=1為f（z）的一階極點(diǎn)可得

■f（z）=■■=■

由留數(shù)定理可得■■dz=2πi（■f（z）+■f（z））=■πi.

顯然，第二種方法省略了做兩個互不包含的兩個正向圓周C■，C■，使得C■內(nèi)只包含奇點(diǎn)z■=-1，C■內(nèi)只包含奇點(diǎn)z■=1，這一步驟，就顯得簡單了。

三、結(jié)束語

以上就是我講授復(fù)變函數(shù)課程的幾點(diǎn)教學(xué)體會，并結(jié)合案例進(jìn)行了具體分析。采用多種教學(xué)方法相結(jié)合，不僅提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，也培養(yǎng)了學(xué)生自主思考問題的能力，同時也使得學(xué)生深刻認(rèn)識到復(fù)變函數(shù)理論與數(shù)學(xué)分析理論的異同，降低了學(xué)習(xí)該門課程的難度，充分調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，取得了良好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

2.Department of Mathematics and Physics，Luoyang Institute of Science and Technology，Luoyang，Henan 471023，China）

Abstract：The complex function is a professional course of mathematics， students with high abstract， more difficult to learn. The author combination of various teaching methods， combined with their own teaching practice， summarizes some experience of teaching， good teaching effect is achieved in practice.

Key words：complex function；teaching reform；heuristic teaching method