HPM視角下商高定理的教學(xué)

李蕊??

摘要：勾股定理在發(fā)展的過程中，被稱為是西方的“畢達(dá)哥拉斯定理”，在我國的研究中發(fā)現(xiàn)《周脾算經(jīng)》中有關(guān)商高與周公的對(duì)話，涉及到勾股定理的相關(guān)內(nèi)容。經(jīng)過史學(xué)家的相關(guān)考證，認(rèn)為商高的確是給出了勾股定理一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，并且比西方的畢達(dá)哥斯拉早了約六百年的時(shí)間。本文根據(jù)國際研究小組對(duì)于數(shù)學(xué)史的研究，從HPM（數(shù)學(xué)史）的視角審視商高定理，并在此基礎(chǔ)上制定出相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)于商高定理的有效教學(xué)，促進(jìn)我國數(shù)學(xué)教學(xué)水平的提升。

關(guān)鍵詞：HPM；商高定理；教學(xué)設(shè)計(jì)

一、 引言

商高定理對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有重要的意義，在我國的初高中階段對(duì)于該定理的應(yīng)用較為廣泛，但是，在初高中階段的教學(xué)中，由于各種原因?qū)е卢F(xiàn)行的教材中關(guān)于商高定理的數(shù)學(xué)史材料研究較少，教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程中對(duì)于有關(guān)知識(shí)的補(bǔ)充也是相對(duì)不多，更是很少利用歷史上豐富的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行商高定理的介紹。

二、 商高定理概述

1. 商高定理的內(nèi)容

所謂商高定理，一般是指現(xiàn)在的勾股定理，是一個(gè)基本的幾何定理，在該定理中指出，直角三角形的兩邊的平方和等于斜邊的平方。由于在我國的古代數(shù)學(xué)中，成直角三角形為勾股形，所以在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，多是稱這個(gè)定理為勾股定理，也就是所謂的商高定理。值得注意的一點(diǎn)是，現(xiàn)在約有五百多種證明方法，驗(yàn)證勾股定理，這也是當(dāng)前數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。

2. 商高定理在我國的誕生與發(fā)展

商高是我國公元前十一世紀(jì)的中國人，根據(jù)史料記載，當(dāng)時(shí)所處的時(shí)代為西周時(shí)期，是我國奴隸社會(huì)時(shí)期，根據(jù)《周脾算經(jīng)》中的記載，商高同周公的對(duì)話中點(diǎn)明：“故折拒，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，也就是說，當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別是3與4，經(jīng)隅的弦長就是5。

公元三世紀(jì)時(shí)，三國時(shí)期的趙爽對(duì)于《周脾算經(jīng)》中的勾股定理進(jìn)行了詳細(xì)的詮釋，到我國的清朝末年，我國的數(shù)學(xué)家華蘅芳對(duì)勾股定理進(jìn)行了進(jìn)一步的驗(yàn)證。勾股定理在我國的古代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的地位，并且在千百年的發(fā)展中逐步形成了以勾股定理為核心的中國式幾何學(xué)。

三、 HPM視角下的商高定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 教學(xué)目標(biāo)

利用兩課時(shí)的時(shí)間完成相關(guān)的商高定理教學(xué)，并且確保學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，探索“商高定理”的內(nèi)涵。補(bǔ)充商高定理的歷史背景，確保學(xué)生在歷史中體驗(yàn)商高定理，并設(shè)定不同的文化場(chǎng)景，讓學(xué)生在證明過程中感受到數(shù)學(xué)的靈活與優(yōu)美，盡可能的理解到商高定理的豐富文化內(nèi)涵。

2. 教學(xué)過程

首先，教師應(yīng)該從文化傳統(tǒng)習(xí)慣入手，盡可能的讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)生活中存在的勾股定理。具體來說，教師可以在上課之前制作出較多的三角形模型，包括直角三角形、鈍角三角線以及銳角三角線等等，為了在教學(xué)的過程中方便教學(xué)，教師應(yīng)該發(fā)給每個(gè)學(xué)生小組一個(gè)直角三角形，以及其他的三角形各一個(gè)，確保學(xué)生能夠通過小組合作發(fā)現(xiàn)測(cè)量三角形邊長的數(shù)據(jù)，并進(jìn)行及時(shí)的記錄。師：如果把△ABC設(shè)為直角三角形，它除了滿足一般三角形三邊關(guān)系之外，還有什么關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們拿出自己準(zhǔn)備好的一副三角板，并對(duì)頂點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)注，具體如圖1所示三角形。

圖1三角形模型

請(qǐng)同學(xué)們用直尺分別測(cè)量出直角△ABC的三邊，分別是AB、AC、BC，通過測(cè)量得出各個(gè)邊的長度，并計(jì)算出AB2、AC2、BC2，觀察他們之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)AB2=AC2+BC2。從三角形三邊關(guān)系入手，讓學(xué)生懂得由一般到特殊的歸納法，再簡單的測(cè)量讓學(xué)生獲得勾股定理的結(jié)論。

其次，在教學(xué)的過程中，教師應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生回答相關(guān)的問題，尤其是，應(yīng)該逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方這個(gè)內(nèi)容，通過上課開始的實(shí)踐操作認(rèn)識(shí)到商高定理的存在。并向?qū)W生點(diǎn)明三角形各個(gè)邊的名字，在古代時(shí)期的名字等，介紹商高定理，或者說是勾股定理的由來，確保學(xué)生在理解到商高定理的內(nèi)容中，清楚地認(rèn)識(shí)到商高定理的由來。

最后，向?qū)W生介紹商高定理或者是勾股定理的歷史背景。在這個(gè)過程中，教師應(yīng)該盡可能的貼近史學(xué)記載的事實(shí)，對(duì)于一些不清楚或者是不存在的問題，應(yīng)該及時(shí)的向?qū)W生反映，不能向?qū)W生講授一些似是而非或者不清不楚的問題，影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

3. 布置商高定理教學(xué)的練習(xí)題

在學(xué)生充分學(xué)習(xí)到商高定理的內(nèi)涵，并且學(xué)習(xí)到如何應(yīng)用商高定理之后，教師應(yīng)該有意識(shí)的布置相應(yīng)的練習(xí)題。有研究表明，讓學(xué)生去了解一些早期數(shù)學(xué)家感興趣的問題，對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性較為有利。因此，在教師布置課后作業(yè)的過程中，也可以利用一些幾個(gè)世紀(jì)之前數(shù)學(xué)家們遇到的問題，讓學(xué)生感受在過去的數(shù)學(xué)家研究問題時(shí)遇到的困境，并且借助于現(xiàn)代的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)去解決相關(guān)的問題。因此，在學(xué)習(xí)完成商高定理之后，教師在給與學(xué)生布置練習(xí)題時(shí)，也可以利用古代數(shù)學(xué)家研究過的問題。舉例來說，在公元1300年，意大利的矛長約有20英尺，并且是依著塔建立起來，如果將這個(gè)矛的末端向外移動(dòng)12英尺，那么尖端距低塔多少距離呢？

四、 結(jié)論

讓學(xué)生了解商高定理的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展過程，對(duì)于學(xué)生深入學(xué)習(xí)商高定理具有重要的作用，因此，在實(shí)際教學(xué)的過程中，教師應(yīng)該有意識(shí)的結(jié)合商高定理的歷史背景，向?qū)W生展示各個(gè)歷史時(shí)期對(duì)于商高定理的證明方法，全面的調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，并且在此基礎(chǔ)上拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生全方位的認(rèn)知能力，對(duì)于學(xué)生的當(dāng)前學(xué)習(xí)與未來發(fā)展具有重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳長華，王俊輝.HPM視角下二項(xiàng)式定理發(fā)展史的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，05：43-45.