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    不等式證明方法探討

    2017-12-27 08:41張雪梅??
    考試周刊 2017年43期
    關(guān)鍵詞:不等式

    張雪梅??

    摘要:不等式在高等數(shù)學(xué)中有著極其廣泛的應(yīng)用,本文利用函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理、泰勒公式法對(duì)不等式的證明方法進(jìn)行討論,以期對(duì)本部分內(nèi)容的證明提供一定的參考。

    關(guān)鍵詞:不等式;函數(shù)的單調(diào)性;中值定理

    歷來,不等式的證明問題在初等數(shù)學(xué)及高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中都占據(jù)著一個(gè)非常重要的地位。不等式的證明方法有很多,如:分析法、歸納法、中值公式法、單調(diào)性法等等。下面我們介紹高等數(shù)學(xué)的知識(shí)從函數(shù)的單調(diào)性、微分中值定理、泰勒公式證明方法進(jìn)行研究,并以例題加以鞏固。

    一、 利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

    借助函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式是一種很常用而且也非常有效的方法。

    定理1:若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加(減少)x∈(a,b),有f′(x)≥0(f′(x)≤0)。

    定理2(嚴(yán)格單調(diào)的充分條件):若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且x∈(a,b),有f′(x)>0(f′(x)<0),則函數(shù)f(x)在(a,b)上嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)。

    例1證明:當(dāng)x>4時(shí),2x>x2。

    證明:令f(x)=xln2-2lnx,則當(dāng)x>4時(shí),

    f′(x)=ln2-2x>0

    故由定理2知,f(x)在[4+

    SymboleB@ )上嚴(yán)格單調(diào)增加,所以當(dāng)x>4時(shí),f(x)>f(4)=0,從而有xln2>2lnx,進(jìn)而即得

    2x>x2。

    注:這道題先對(duì)原不等式進(jìn)行了恒等變形,而不是直接設(shè)函數(shù),其目的在于這樣可以降低了證明過程中導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定的難度。

    例2證:當(dāng)02x。

    證明:令f(x)=sinx+tanx-2x,則

    f′(x)=cosx+sec2x-2,f″(x)=-sinx+2sec2x·tanx=sinx(2cos3x-1),

    當(dāng)00,因而由定理2知,f′(x)在[0,π2)上單調(diào)增加。故而當(dāng)0f′(0)=0,從而由定理2知,f(x)在[0π2]上單調(diào)增加。所以當(dāng)0f(0)=0,進(jìn)而即得

    sinx+tanx>2x。

    注:本例題運(yùn)用了兩次函數(shù)的單調(diào)性,因?yàn)橐浑A導(dǎo)數(shù)的符號(hào)難以直觀判斷,從而借用其二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得出f′(x)在[0,π2)上的單調(diào)性,進(jìn)而就比較容易判斷f′(x)的符號(hào),得出結(jié)論。

    例3設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x),g(x)滿足:|f′(x)|

    分析:要證“f(x)-f(a)≤g(x)-g(a)”,只需證

    f(x)-g(x)≤f(a)-g(a),(x≥a)

    問題是否可以轉(zhuǎn)化為說明函數(shù)f(x)-g(x)的單調(diào)性呢,若是[f(x)-g(x)]′≤0,結(jié)論就自然成立了。

    證明:令F(x)=f(x)-g(x),由條件|f′(x)|

    F′(x)=f′(x)-g′(x)≤0,

    所以由定理1知,F(xiàn)(x)在[a,+

    SymboleB@ )上單調(diào)減少,故而當(dāng)x≥a時(shí),有f(x)-g(x)≤f(a)-g(a),

    即得f(x)-f(a)≤g(x)-g(a)。

    二、 利用微分中值定理證明不等式

    定理3(拉格朗日中值定理):若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

    f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。

    例4證明:b-ab≤lnba≤b-aa,(0

    證明:當(dāng)0

    當(dāng)0

    f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)

    即lnb-lna=1ξ(b-a)

    又因a<ξ

    例5證明:當(dāng)x>0時(shí),ln(1+1x)>11+x。

    證明:令f(t)=lnt,則f(t)在閉區(qū)間[x,1+x]上連續(xù),在開區(qū)間(x,1+x)內(nèi)可導(dǎo),由定理3可知,存在ξ∈(1,1+x),使得f(1+x)-f(x)=f′(ξ)(1+x-x)

    即ln(1+1ξ)=1ξ

    又因x<ξ<1+x,故1ξ>11+x,從而得

    ln(1+1x)>11+x,證畢。

    三、 利用泰勒中值公式證明不等式

    定理4(泰勒中值定理)若函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù),則對(duì)任一x∈(a,b),有

    f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n?。▁-x0)n+Rn(x)

    其中

    Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)?。▁-x0)n+1

    這里ξ是x0與x之間的某個(gè)值。

    注:在泰勒公式中,如果取x0=0,則ξ在0與x之間。因此可以令ξ=θx(0<θ<1),從而泰勒公式變成較簡(jiǎn)單的形式,即所謂帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式

    f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+…+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1(0<θ<1)。

    例6設(shè)0

    分析:這道不等式的證明稍微有些難,貌似可以用拉格朗日中值公式證明,可函數(shù)本身的構(gòu)造有些困難,因?yàn)楹茈y把三角函數(shù)和冪函數(shù)聯(lián)系在一起。不過微分中值公式有個(gè)好處,那就是中值ξ總是介于兩個(gè)端點(diǎn)之間的這個(gè)特點(diǎn),所以對(duì)某些不等式的證明大家才會(huì)選擇微分中值公式。雖然這道題目不太好直接用拉格朗日中值公式證明,可拉格朗日中值公式的一個(gè)推廣形式,也就是泰勒中值公式,倒是可以試一試。

    證明:由定理4注知,cosx的帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式

    cosx=1-12x2+14!x4cos(θx),0<θ<1

    故有1-cosx=x212-124x2cos(θx),0<θ<1

    因012-124x2cos(θx)>12-124π22=12-π296>13>1π

    所以x2π<1-cosx

    注:這道不等式證明是不是也可以借助函數(shù)的單調(diào)性來證明呢?分別令f(x)=x22-(1-cosx),g(x)=1-cosx-x2π,對(duì)f(x)和g(x)的單調(diào)性分別考慮。是否可行,讀者可以去試一試哦。

    其實(shí),對(duì)于不等式的證明方法不止這些,同一道不等式的證明亦可以有好幾種方法,方法有簡(jiǎn)單有繁瑣,要根據(jù)題目本身的特點(diǎn)靈活選取,才能達(dá)到事半功倍的效果。

    參考文獻(xiàn):

    [1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社,2015.

    [2]蔣興國(guó),吳延?xùn)|主編.高等數(shù)學(xué)[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2011.

    [3]徐建中.不等式的證明方法研究[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014:16(6):152-154,159.

    [4]景慧麗,楊寶珍,劉華,等,一個(gè)不等式的證明方法探討[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014:31(8):24-26.

    [5]潘娟娟,凌雪岷.高等數(shù)學(xué)中不等式證明的幾類常用方法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,33(2下):1-3.

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