徑向滑動軸承中軸承孔與軸頸的法向接觸剛度建模

田紅亮， 董元發(fā)， 余 媛， 陳甜敏

(三峽大學 機械與動力學院，湖北 宜昌 443002)

徑向滑動軸承中軸承孔與軸頸的法向接觸剛度建模

田紅亮， 董元發(fā)， 余 媛， 陳甜敏

(三峽大學 機械與動力學院，湖北 宜昌 443002)

將分形理論與結合部虛擬材料相結合，構建徑向滑動軸承中軸承孔與軸頸的法向接觸剛度模型。修正Weierstrass函數(shù)在任一點處處不可求導的條件。嚴格論證分形維數(shù)的限定范圍是1≤D<2。數(shù)值模擬表明：軸承接觸的側面接觸系數(shù)≤1。內(nèi)接觸的側面接觸系數(shù)>外接觸的側面接觸系數(shù)。隨著軸頸半徑、法向接觸載荷的增加，結合部虛擬材料厚度的減小，軸承接觸的側面接觸系數(shù)增加。內(nèi)接觸的真實接觸面積大于外接觸的真實接觸面積。隨著軸頸半徑的增加，分形粗糙度、軸承孔平面布氏硬度、結合部虛擬材料厚度的減少，真實接觸面積提高。對于固定的法向接觸載荷，當分形維數(shù)由1.4增大至1.5時，真實接觸面積隨之增加；當分形維數(shù)由1.5增大至1.9時，真實接觸面積隨之減少。赫茲應力隨著軸頸半徑的增加而下降。內(nèi)接觸的赫茲應力小于外接觸的赫茲應力。軸承內(nèi)接觸的法向接觸剛度大于外接觸的法向接觸剛度。另外，隨著法向接觸載荷、分形維數(shù)、軸頸半徑的增加，分形粗糙度、軸頸彈性模量、軸承長度、結合部虛擬材料厚度的減小，法向接觸剛度增加。

徑向滑動軸承；軸承孔；軸頸；法向接觸剛度；平面接觸；曲面接觸

根據(jù)軸承中接觸性質(zhì)的不同，可把軸承分為滑動軸承和滾動軸承兩大類。滾動軸承由于摩擦因數(shù)小，啟動阻力小，且因已標準化，選用、潤滑、維護都很方便，因此在一般機器中應用較廣。但由于滑動軸承本身具有的一些獨特優(yōu)點，使得它在某些不能、不便或使用滾動軸承沒有優(yōu)勢的場合，如在工作轉(zhuǎn)速特高、特大沖擊與振動、徑向空間尺寸受到限制或必須剖分安裝(如曲軸的軸承)，以及需在水或腐蝕性介質(zhì)中工作等場合，仍占有重要地位。因此，滑動軸承在軋鋼機、汽輪機、內(nèi)燃機、鐵路機車及車輛、金屬切削機床、航空發(fā)動機附件、雷達、衛(wèi)星通信地面站、天文望遠鏡以及各種儀表中應用頗為廣泛?；瑒虞S承的類型很多，按其承受載荷方向的不同，可分為徑向滑動軸承(承受徑向載荷)和止推滑動軸承(承受軸向載荷)。

在徑向滑動軸承中，軸承孔和軸頸的接觸廣泛運用于多種靜動態(tài)連接與定位中。軸承孔與軸頸之間的法向接觸剛度是評估徑向滑動軸承承載能力的一個核心指標。至今對兩粗糙表面接觸問題的研究業(yè)已獲得了大量的理論與實際應用成果，但這些成就大多表現(xiàn)在平面接觸方面[1-5]。軸承孔與軸頸的工作表面應具備相應的硬度和表面粗糙度，故真實接觸面積遠小于表觀接觸面積，據(jù)此研究了單個微凸體接觸變形量與接觸載荷之間的聯(lián)系，并同時計及彈性、彈塑性和塑性這3種變形方式，理論與試驗皆論證：在對兩粗糙表面進行接觸分析的過程中，還必須考慮微凸體在接觸表面上的統(tǒng)計分布規(guī)律。Greenwood等[6]通過試驗測量發(fā)現(xiàn)粗糙表面的微凸體高度分布近似契合于高斯分布，基于統(tǒng)計分析的平面接觸構建了微凸體數(shù)目、真實接觸面積、法向接觸載荷與兩平面間距離(為原始自變量)的關系式，被稱為Greenwood-Williamson模型，以下簡稱GW模型，目前仍廣泛應用，但是，該文獻認為材料的平面應力模量(plane-stress modulus)為E/(1-v2)，其中，v為泊松比；E為彈性模量，實際上，材料的平面應力模量應該為E，材料的平面應變模量(plane-strain modulus)為E/(1-v2)。

結合部不能獨立存在，總是存在于機械結構系統(tǒng)之中，因此不可能單獨對結合部進行試驗解析。如何將結合部特性從所屬的機械結構系統(tǒng)中分離出來，是結合部特性參數(shù)研究中至關重要的問題。

上述問題是如此的復雜，迄今為止，這些問題均未能很好地解決。結合部特性參數(shù)的精準預測是千百年來人類的一大夢想。文章以徑向滑動軸承中軸承孔與軸頸的粗糙接觸為研究對象，將2個粗糙接觸平面彎曲、拉伸或壓縮成兩接觸曲面，使彎曲、拉伸或壓縮后的真實接觸面積不變(以真實接觸面積為原始自變量，給定一個固定的真實接觸面積，就可以計算法向力和法向接觸剛度)，引進結合部虛擬材料，通過結合部虛擬材料的厚度以及ГpyбИH平均油膜厚度理論，嚴格區(qū)分載荷與載荷集度，對表面接觸系數(shù)公式進行量綱修正，由平面接觸時的法向接觸載荷換算得到曲面接觸時的法向接觸載荷，考慮非圓接觸區(qū)域的平面幾何形狀對法向接觸剛度進行改進。論文的核心思想是嘗試將分形理論與結合部虛擬材料2種方法聯(lián)系在一起，將兩平面接觸理論拓寬到兩曲面接觸理論，使所建立的曲面接觸理論更具應用范圍與推廣價值。

1 軸承孔與軸頸接觸的法、切向應力

通常除了法向壓應力之外，軸承孔與軸頸的接觸表面還因摩擦而傳遞切向應力。圖1表示在窄帶-b

圖1 分布法、切向應力作用的接觸表面Fig.1 Contact surface loaded by a normal pressure and tangential traction

(1)

(2)

式中：C1、C2為包含關于位移基準點的不確定性常數(shù)。

根據(jù)柯西主值可得無界函數(shù)反常積分的位移梯度為

(3)

(4)

由式(3)得

(5)

由式(4)得

(6)

(7)

式中：g(x)是一個已知函數(shù)，它由已知應力分量及已知位移梯度分量的組合形式。

F(x)是未知的應力分量，其一般解形式為

F(x)=

(8)

如果將原點取在受載區(qū)的中心，則b=a，則式(8)簡化為

(9)

常數(shù)C由法向或切向總載荷決定

(10)

g(x)為單項式形式的積分方程是有工程意義的

g(x)=Axn

(11)

設軸頸的外形為單項式形式

z=Bxn+1

(12)

則軸承孔與軸頸接觸側面的法向位移為

(13)

(14)

如果軸承孔與軸頸是無摩擦的，則q(x)=0，將式(14)代入式(6)得

(15)

現(xiàn)求下面積分的柯西主值

(16)

式(16)積分的初始值為

(17)

積分In關于下標n的遞推公式為

XIn-1-Jn-1=XnI0-Xn-1J0-Xn-2J1-…-

XJn-2-Jn-1

(18)

(19)

(20)

方程(15)是一個式(7)類型的對法向壓應力p(x)的積分方程。若令方程(7)的解為式(15)，即F(s)=p(s)，則

(21)

設作用在軸承孔單位寬度上的載荷集度為Q，由式(10)得

C=πQ

(22)

將式(21)、(22)代入式(9)得

(23)

現(xiàn)設

(24)

x=aX

(25)

將式(24)、(25)代入式(23)得

(26)

將式(16)代入式(26)得

(27)

軸承孔與軸頸彼此受壓力作用，見圖2，軸承孔與軸頸的長為l，R為軸承孔的半徑，r為軸頸的半徑，z1為未變形軸頸側面對應點M到初始接觸點o之間的垂直距離，z2為未變形軸承孔側面對應點N到初始接觸點o之間的垂直距離。受壓力前，軸承孔與軸頸沿一條線相接觸。

圖2 受壓力作用的軸承孔與軸頸Fig.2 Bearing hole and shaft journal under compressive force

軸承孔與軸頸的變形協(xié)調(diào)條件為

(28)

由式(28)得

(29)

由式(4)得

(30)

由式(29)、(30)相等得

(31)

由式(15)、(31)相等得

(32)

由式(20)得

(33)

將式(25)代入式(33)得

(34)

將式(32)、(34)代入式(27)得

(35)

式(35)可變形為

(36)

根據(jù)圣維南原理可設

(37)

將式(36)代入式(37)得

(38)

由式(38)得

(39)

將式(38)、(39)代入式(36)得

(40)

沿軸承孔與軸頸單位長度內(nèi)的載荷為

(41)

將式(41)代入式(40)得

(42)

2 軸承孔與軸頸接觸的赫茲應力

由式(42)可得軸承孔與軸頸接觸的平均法向壓應力為

(43)

可見，軸承孔與軸頸受壓力后，接觸線變成長為l、寬為2a的一個長方形。

由式(42)可得最大法向壓應力即赫茲應力為

(44)

由式(38)得

(45)

將式(41)代入式(45)得

(46)

將式(46)代入式(44)得

(47)

3 軸承孔與軸頸的側面接觸系數(shù)

軸承孔與軸頸的側面積和差為

SΣ=SR±Sr=2π(R±r)l

(48)

式中：SR為軸承孔的側面積；Sr為軸頸的側面積。

軸承孔與軸頸受壓力后，形成一個長方形，該長方形的面積為

Ar=2al

(49)

將式(46)代入式(49)得

(50)

設軸承孔與軸頸所形成結合部虛擬材料的厚度為h(理論與實驗研究表明，此值取1 mm較好)，考慮軸承孔與軸頸的綜合曲率半徑與接觸方式，能構造軸承孔與軸頸的側面接觸系數(shù)為

(51)

式中：量綱一指數(shù)h/ρ可相似于彈流潤滑領域中著名的ГpyбИH理論中的平均油膜厚度。

將式(48)、(50)代入式(51)得

(52)

(53)

式中：λ0為軸承孔與軸頸的初始側面接觸系數(shù)。

4 軸承孔與軸頸的法向接觸載荷

真實接觸面積小于表觀接觸面積，即Ar

λ<1

(54)

一方面，在法向接觸載荷P的作用下，2個粗糙表面當平面接觸時，對應真實接觸面積Ar。另一方面，將這2個粗糙接觸平面彎曲、拉伸或壓縮成兩接觸曲面——軸承孔與軸頸，最終保持軸承孔與軸頸的真實接觸面積與之前的相同，亦為Ar，此刻軸承孔與軸頸受法向接觸載荷P′。平面接觸與曲面接觸產(chǎn)生的真實接觸面積相同。平面接觸易產(chǎn)生較大的真實接觸面積，曲面接觸引起的真實接觸面積較小，故

P′>P

(55)

根據(jù)等式(54)、(55)可構造等式

(56)

將式(52)代入式(56)得

(57)

MB平面接觸能求得2個粗糙表面當平面接觸時的法向接觸載荷P，其量綱一形式為

(58)

將式(58)代入式(57)可得軸承孔與軸頸的法向接觸載荷為

(59)

5 軸承孔與軸頸的法向接觸剛度

將2個粗糙接觸平面卷曲、拉伸或壓縮成兩接觸曲面——軸承孔與軸頸，接觸區(qū)域由MB平面接觸的圓變成曲面接觸的長方形，圓和長方形的周長相等，但圓的面積大于長方形的面積，因此曲面接觸時的法向接觸剛度有所增加。軸承孔與軸頸的量綱一法向接觸剛度[15]為

(60)

式中：β為軸承孔與軸頸的長方形接觸區(qū)域系數(shù)，β=1.012。

(61)

6 Weierstrass函數(shù)無處可微分的條件

德國數(shù)學家、現(xiàn)代分析之父、1842年引進了一致收斂判別法的Weierstrass，由此闡明了函數(shù)項級數(shù)的逐項微分和逐項積分定理，直到今天大學數(shù)學分析教科書中一直沿用。1872年7月18日Weierstrass在德國柏林科學院的一次演講中，給出了第一個處處連續(xù)但處處不能求導函數(shù)的例子[16]

(62)

Weierstrass證明了對某些a和b的值，式(62)無處可微分。不可導是由于曲線被反復放大時越來越多的細節(jié)會出現(xiàn)，在任一點就不可能做出其切線的緣故。1916年，Hardy證明了對滿足下列條件的所有a和b的值，式(62)都是無處可微分的。

0

(63)

ab≥1

(64)

0

(65)

(66)

現(xiàn)有文獻未能明確地提出粗糙表面分形參數(shù)，特別是分形維數(shù)的物理意義，而這是粗糙表面研究，乃至整個分形應用研究普遍存在的問題?，F(xiàn)將論證分形維數(shù)的精準取值范圍。Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)為

圖3 處處連續(xù)但處處不能求導的Weierstrass函數(shù)Fig.3 Continuous and nondifferentiable Weierstrass function anywhere

(67)

由式(65)、(64)可得式(67)點點不能求導的條件為

0<γD-2<1

(68)

γD-2γ≥1

(69)

按式(68)得

0<γD-2γ<γ

(70)

按式(69)、(70)得

1≤γD-2γ<γ

(71)

γ>1

(72)

將式(72)代入式(69)得

γD-1≥1?D≥1

(73)

將式(72)代入式(68)得

D<2

(74)

比較式(73)、(74)得

1≤D<2

(75)

(76)

(a) D=1時，處處不能求導

(b) D=2時，包含坐標原點

(c) D=2時，不包括坐標原點圖4 Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)Fig.4 Weierstrass-Mandelbrot function

7 軸承孔與軸頸的接觸實例

設計一臺機床用的徑向滑動軸承，載荷垂直向下，工作情況穩(wěn)定，已知工作載荷P′=100 kN。軸承孔與軸頸材料的參數(shù)見表1。金屬制的軟側面，配對軸承孔與軸頸側面的硬度差應保持為30～50 HBS或更多。當軸頸與軸承孔的側面具有較大的硬度差(如軸頸側面為淬火并磨制，軸承孔側面為常化或調(diào)制)，較硬的軸頸側面對較軟的軸承孔側面會起較顯著的冷作硬化效應，從而提高了軸承孔側面的疲勞極限。因此，當配對的軸頸與軸承孔側面具有較大的硬度差時，軸承孔的接觸疲勞許用應力可提高約20%，但應注意硬度高的軸頸側面，表面粗糙度值也要相應地減小。軸承孔與軸頸的長徑比φd=l/(2R)，一般軸承的長徑比φd在0.3～1.5范圍內(nèi)選擇，取φd=0.3，可得軸承孔與軸頸的長為l=2φdR=2×0.3×100=60 mm。設軸頸半徑的上偏差為-0.170 mm，則軸頸半徑的最大值為100-0.170=99.830 mm。取軸承孔與軸頸所形成結合部虛擬材料的厚度h=1 mm。

表1 軸承孔與軸頸材料的參數(shù)Tab.1 Material parameters of bearing hole and shaft journal

7.1 側面接觸系數(shù)的演化

圖5給出了軸承孔與軸頸所形成側面接觸系數(shù)的演變規(guī)律。圖5(a)～5(e)均可以反映3條共同規(guī)律：①MB平面接觸的側面接觸系數(shù)總是=1；②本文軸承接觸的側面接觸系數(shù)總是≤1；③內(nèi)接觸的側面接觸系數(shù)>外接觸的側面接觸系數(shù)。

根據(jù)圖5(a)，本文軸承接觸的側面接觸系數(shù)隨著軸頸半徑的增加而增加。當r→0時，λ→0，因為此時軸頸趨近于直線，無物體與軸承孔接觸。當r=99.83→100 mm且軸承孔與軸頸內(nèi)接觸時，λ→1，由于此時軸承孔與軸頸接近處完全內(nèi)接觸。當r=99.83→100 mm且軸承孔與軸頸外接觸時，λ<1。

根據(jù)圖5(b)，本文軸承接觸的側面接觸系數(shù)隨著法向接觸載荷的增加而增加。當10 kN≤P′≤100 kN時，在這大范圍內(nèi)側面接觸系數(shù)趨近于某一常數(shù)，內(nèi)接觸時λ→0.964 2，外接觸時λ→0.817 7。當0≤P′≤10 kN時，在這小范圍內(nèi)側面接觸系數(shù)從0迅速增加到對應的常數(shù)。

圖5(c)的變化規(guī)律與圖5(b)相似，但內(nèi)接觸的側面接觸系數(shù)總是=1，由于此時r=99.83→100 mm，對應的內(nèi)接觸是一種極限情況，軸承孔與軸頸趨近于點點徹底內(nèi)貼合，假如外界提供一點微小的法向接觸載荷，側面接觸系數(shù)將立即從0驟變至1。

根據(jù)圖5(d)，本文軸承接觸的側面接觸系數(shù)隨著結合部虛擬材料厚度的增加而線性減小，當h=0時，λ=1。趙韓等研究中側面接觸系數(shù)為<1的常數(shù)，不合理。

圖5(e)的變化規(guī)律與圖5(d)類似，但內(nèi)接觸的側面接觸系數(shù)總是=1。

一方面，由圖5(b)～5(c)能夠得出，當P′=0時，λ≡0；另一方面，因為對于任一正常數(shù)μ，0μ≡0，由式(52)可得當P′=0時，λ≡0，這不同于黃康等的論斷——可見，當P→0時，不論在外接觸或內(nèi)接觸時，λ都達到最小值，但并不等于0，究其原因是盡管此時兩接觸體間的接觸應力為0，但由于接觸實體的存在，側面接觸系數(shù)亦是存在的。黃康等結論中的圖3(a)～3(b)均是錯誤的，該文獻未考慮黏著力[17]。如果考慮黏著力，才會出現(xiàn)“盡管此時兩接觸體間的接觸應力為0，但由于接觸實體的存在，側面接觸系數(shù)亦是存在的”。

(a) 軸頸半徑對側面接觸系數(shù)的影響

(b)r=60 mm時法向接觸載荷對側面接觸系數(shù)的影響

(c)r=99.83 mm時法向接觸載荷對側面接觸系數(shù)的影響

(d) r=60 mm時結合部虛擬材料厚度對側面接觸系數(shù)的影響

(e) r=99.83 mm時結合部虛擬材料厚度對側面接觸系數(shù)的影響圖5 多種參量對側面接觸系數(shù)的影響Fig.5 Impact of different parameters on side face contact coefficient

7.2 真實接觸面積的演化

圖6給出了軸承孔與軸頸所形成真實接觸面積的演變規(guī)律。圖6(a)～6(e)均可以反映3條共同規(guī)律：①MB平面接觸曲線處于本文軸承接觸曲線的上方；②在相同法向接觸載荷下，MB平面接觸的真實接觸面積大于本文軸承接觸的真實接觸面積；③當產(chǎn)生同樣真實接觸面積的情形時，MB平面接觸需要施加的法向接觸載荷小于本文軸承接觸需要施加的法向接觸載荷。

根據(jù)圖6(a)，不論是內(nèi)接觸還是外接觸，同樣接觸方式的真實接觸面積隨著軸頸半徑的增加而提高，因為綜合曲率半徑ρ=R/(R/r±1)隨著r的增加而增加；內(nèi)接觸的真實接觸面積大于外接觸的真實接觸面積。

根據(jù)圖6(c)，對于固定的法向接觸載荷，當分形維數(shù)由1.4增大至1.5時，真實接觸面積隨之增加；但當分形維數(shù)由1.5增大至1.9時，真實接觸面積反而減少。

金屬材料的平面布氏硬度與試驗力除以光學壓痕表面積的商成正比。光學壓痕被看作是具有一定半徑的球形，光學壓痕的表面積通過光學壓痕的平均直徑和壓頭直徑計算得到。對一定直徑的球施加試驗力壓入試樣表面，經(jīng)規(guī)定保持時間后，卸除試驗力，測量試樣表面光學壓痕的直徑。金屬材料的平面布氏硬度隨著距離接觸表面深度的變化而改變，不為常數(shù)。進一步研究后發(fā)現(xiàn)，金屬材料的平面布氏硬度隨著距離接觸表面深度的增加而減小。軸承孔的平面布氏硬度對真實接觸面積的影響見圖6(d)，真實接觸面積隨著軸承孔平面布氏硬度的增加而減小，這與金屬材料平面布氏硬度的定義一致。

根據(jù)圖6(e)，真實接觸面積隨著結合部虛擬材料厚度的增加而減小，本文軸承接觸的真實接觸面積大于文獻[11]的真實接觸面積。

(a)D=1.5與G*=10-8時軸頸半徑對真實接觸面積的影響

(b)D=1.5與r=15 mm時分形粗糙度對真實接觸面積的影響

(c)G*=10-10與r=15 mm時分形維數(shù)對真實接觸面積的影響

(d)D=1.5、G*=10-10與r=15 mm時軸承孔硬度對真實接觸面積的影響

(e)D=1.5、G*=10-8與r=15 mm時結合部虛擬材料厚度對真實接觸面積的影響

圖6 多種參量對真實接觸面積的影響

Fig.6 Effect of different parameters on real contact area

7.3 赫茲應力的演化

圖7給出了軸承孔與軸頸所形成赫茲應力的演變規(guī)律。在相同接觸方式下，本文軸承接觸的赫茲應力大于赫茲理論的計算值；赫茲應力隨著軸頸半徑的增加而下降；內(nèi)接觸的赫茲應力小于外接觸的赫茲應力。中華人民共和國國家標準規(guī)定，徑向滑動軸承最大接觸應力為4 200 MPa，圖7中的赫茲應力最大值小于4 GPa，表明本文所選參數(shù)較合理。

圖7 軸頸半徑對赫茲應力的影響Fig.7 Influence of shaft journal radius on Hertz stress

7.4 法向接觸剛度的演化

圖8給出了軸承孔與軸頸所形成法向接觸剛度的演變規(guī)律。圖8(a)～8(g)均可以反映4條共同規(guī)律：

①法向接觸剛度隨著法向接觸載荷的增加而增加；②MB平面接觸曲線處于本文軸承接觸曲線的上方；③在相同法向接觸載荷下，MB平面接觸的法向接觸剛度大于本文軸承接觸的法向接觸剛度；④當產(chǎn)生同樣法向接觸剛度的情形時，MB平面接觸需要施加的法向接觸載荷小于本文軸承接觸需要施加的法向接觸載荷。

根據(jù)圖8(a)，本文軸承內(nèi)接觸的法向接觸剛度大于外接觸的法向接觸剛度。根據(jù)圖8(b)，法向接觸剛度隨著分形維數(shù)的增加而增加。根據(jù)圖8(c)，隨著分形粗糙度的增加，法向接觸剛度減小，這不同于文獻[18]中結論：“隨著圓柱面表面粗糙度的增加，法向接觸剛度總體增加?！备鶕?jù)圖8(d)，法向接觸剛度隨著軸頸彈性模量的增加而降低，因為較小的彈性模量更容易發(fā)生彈性變形，與人們的直覺觀察即彈性變形具有更大的法向接觸剛度相符合[19]。根據(jù)圖8(e)，法向接觸剛度隨著軸頸半徑的增加而增加。根據(jù)圖8(f)，法向接觸剛度隨著軸承長度的增加而降低。根據(jù)圖8(g)，法向接觸剛度隨著結合部虛擬材料厚度的增加而減小，本文軸承接觸的法向接觸剛度大于文獻[11]的法向接觸剛度。

(a)D=1.4、G*=10-10與r=60 mm時本文與MB平面接觸的比較

(b)G*=10-10與r=60 mm時分形維數(shù)對法向接觸剛度的影響

(c)D=1.54與r=60 mm時分形粗糙度對法向接觸剛度的影響

(d)D=1.54、G*=10-10與r=60 mm時軸頸彈性模量對法向接觸剛度的影響

(e)D=1.54與G*=10-10時軸頸半徑對法向接觸剛度的影響

(f)D=1.54、G*=10-10與r=60 mm時軸承長度對法向接觸剛度的影響

(g)D=1.54、G*=10-10與r=60 mm時結合部虛擬材料厚度對法向接觸剛度的影響

圖8 多種參量對法向接觸剛度的影響

Fig.8 Effect of different parameters on normal contact stiffness

彈性模量、切變模量、泊松比、密度是材料固有的彈性常數(shù)。文獻[20]中“結合面特性參數(shù)應反映結合面的基本特性，具有通用性，類似零件材料的特性常數(shù)(如彈性模量、損耗因子)，能方便地供設計解析使用”的描述欠全面，這是因為材料的彈性模量等只與材料有關，只要材料確定，就是常數(shù)，任何設計都相同，例如載荷不同，材料的彈性模量等參數(shù)不變。而結合部特性參數(shù)是非線性，例如載荷不同，則結合部特性參數(shù)不同。

8 結 論

(1) 將分形理論與結合部虛擬材料聯(lián)系在一起，將兩平面接觸理論拓寬到兩曲面接觸理論，構建了徑向滑動軸承中軸承孔與軸頸的法向接觸剛度模型。

(2) 修正了Weierstrass函數(shù)無處可微分的條件，嚴格證明了分形維數(shù)的取值范圍為1≤D<2。

(3) 軸承接觸的側面接觸系數(shù)≤1，內(nèi)接觸的側面接觸系數(shù)>外接觸的側面接觸系數(shù)。隨著軸頸半徑、法向接觸載荷的增加，結合部虛擬材料厚度的減小，軸承接觸的側面接觸系數(shù)增加。

(4) 內(nèi)接觸的真實接觸面積>外接觸的真實接觸面積。隨著軸頸半徑的增加，分形粗糙度、軸承孔平面布氏硬度、結合部虛擬材料厚度的減少，真實接觸面積提高。對于固定的法向接觸載荷，當分形維數(shù)由1.4增大至1.5時，真實接觸面積隨之增加；但當分形維數(shù)由1.5增大至1.9時，真實接觸面積反而減少。

(5) 赫茲應力隨著軸頸半徑的增加而下降；內(nèi)接觸的赫茲應力小于外接觸的赫茲應力。

(6) 軸承內(nèi)接觸的法向接觸剛度大于外接觸的法向接觸剛度。隨著法向接觸載荷、分形維數(shù)、軸頸半徑的增加，分形粗糙度、軸頸彈性模量、軸承長度、結合部虛擬材料厚度的減小，法向接觸剛度增加。

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Modelingfornormalcontactstiffnessbetweenbearingholeandshaftjournalinaradialslidingbearing

TIAN Hongliang, DONG Yuanfa, YU Yuan, CHEN Tianmin

(College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China)

The normal contact stiffness model between bearing hole and shaft journal in radial sliding bearing was built through combining the fractal theory and the joint interface virtual material. Through revising the condition of Weierstrass function’s nondifferentiability at any point, it was proved rigorously that the limited range of fractal dimension is 1≤D<2. Numerical simulation showed that the side face contact coefficient in bearing contact is equal to or less than 1; the side face contact coefficient of inner contact is larger than that of outer contact; when the shaft journal radius and normal contact load increase and joint interface virtual material thickness decreases, the side face contact coefficient in bearing contact increases; the real contact area of inner contact is bigger than that of outer contact; when the shaft journal radius increases and fractal roughness, plane Brinell hardness of bearing hole and joint interface virtual material thickness decrease, the actual contact area increases; when the fractal dimension increases from 1.4 to 1.5, the real contact area increases; when the fractal dimension increases from 1.5 to 1.9, the real contact area decreases; Hertz stress decreases with increase in shaft journal radius; Hertz stress of inner contact is less than that of outer contact; the normal contact stiffness of bearing inner contact is larger than that of outer contact;when the normal contact load, fractal dimension and shaft journal radius increase and fractal roughness, elastic modulus of shaft journal, bearing length and joint interface virtual material thickness decrease, the normal contact stiffness increases.

radial sliding bearing； bearing hole； shaft journal； normal contact stiffness； planar contact； curved surface contact

國家自然科學基金(51605255)

2016-12-12 修改稿收到日期：2017-01-23

田紅亮 男，博士，教授，1973年6月生

董元發(fā) 男,博士,副教授,1988年2月生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.034