探析如何培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)合情推理能力

本國梅

長期以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直強(qiáng)調(diào)教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，過分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理，使人們誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué)，事實(shí)上，數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個重要的發(fā)現(xiàn)，除演繹推理外，合情推理也起重要作用，如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理、四色問題等的發(fā)現(xiàn)，其他學(xué)科的一些重大發(fā)現(xiàn)也是科學(xué)家通過合情推理、提出猜想、假說和假設(shè)，再經(jīng)過演繹推理或?qū)嶒?yàn)得到的。如牛頓通過蘋果落地而產(chǎn)生靈感，經(jīng)過合情推理，提出萬有引力的猜想，后來通過庫侖的紐秤實(shí)驗(yàn)證實(shí)，海王星的發(fā)現(xiàn)更是合情推理的典范。合情推理與演繹推理是相輔相成的，波利亞等數(shù)學(xué)教育家認(rèn)為，演繹推理是確定的，可靠的；合情推理則帶有一定的風(fēng)險性，而在數(shù)學(xué)中合情推理的應(yīng)用與演繹推理一樣廣泛。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理以演繹推理為基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)結(jié)論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發(fā)現(xiàn)的，因此，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力，而且要培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力?！稑?biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生“能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例?！币簿褪且髮W(xué)生在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論時要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程，合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)一猜想”，因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神，當(dāng)然，由合情推理得到的猜想，需要通過演繹推理給出證明或舉出反例否定，合情推理的條件與結(jié)論之間是以猜想與聯(lián)想作為橋梁的，直覺思維是猜想與聯(lián)想的思維基礎(chǔ)。培養(yǎng)學(xué)生善于合情推理的思維習(xí)慣是形成數(shù)學(xué)直覺，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既要強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密性，結(jié)果的正確性，也要重視思維的直覺探索性和發(fā)現(xiàn)性，即應(yīng)重視數(shù)學(xué)合情推理的合理性和必要性。充分發(fā)揮課堂教學(xué)的作用，漸進(jìn)而有序地培養(yǎng)數(shù)學(xué)合情推理能力，提高學(xué)生素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生健康、全面地發(fā)展。

數(shù)學(xué)家波利亞說過：數(shù)學(xué)可以看作是一門證明的科學(xué)，但這只是一個方面，完成了數(shù)學(xué)理論。用最終形式表示出來。像是僅僅由證明構(gòu)成的純粹證明性。嚴(yán)格的摘要隨著教育改革的全面推進(jìn)，新教材糾正了舊教材那種過分強(qiáng)調(diào)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，以及渲染邏輯推理的重要性，而是提出了新的觀點(diǎn)“合理推理”是新教材的一大特色。本文就新形勢下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生推理能力的培養(yǎng)做了探索。

數(shù)學(xué)推理以演繹推理為基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)結(jié)論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發(fā)現(xiàn)的。那么什么是合情推理呢？它是由一個或幾個已知判斷推出另一個未知判斷的思維形式，合情推理是根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，在某種情境和過程中推出過能性結(jié)論的推理。合情推理就是一種合乎情理的推理，主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算、聯(lián)想、自覺、頓悟，靈感等思維形式。合理推理所得的結(jié)果是具有偶然性，但也不是完全憑空想象，它是根據(jù)一定的知識和方法，做出的探索性的判斷。因而在平時的課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理是一個值得深思的課題。

當(dāng)今教育改革正在全面推進(jìn)。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是大家公認(rèn)的新教改的宗旨。合情推理是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的一種手段和過程。人們認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門純粹的演繹科學(xué)，這難免太偏見了，忽視了合情推理。合情推理和演繹推理相輔互相成的。在證明一個定理之前，先得猜想。

發(fā)現(xiàn)一個命題的內(nèi)容，在完全作出證明之前，先得不斷檢驗(yàn)，完善，修改所提出的猜想，還得推測證明的思路。合情推理的實(shí)質(zhì)是：“發(fā)現(xiàn)到猜想”。牛頓早就說過；“沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)?！敝臄?shù)學(xué)教育家波利亞早在1953年就提出：“讓我們教猜測吧？先測后證一這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道”。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也要重思維的直覺探索性和發(fā)現(xiàn)性，即應(yīng)重視數(shù)學(xué)合情推理能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)中合情推理能力大致分為以下四個方面內(nèi)容：

一、恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察

合情推理并非盲目的、漫無邊際的胡亂猜想，它是以數(shù)學(xué)中某些已知事實(shí)為基礎(chǔ)，通過選擇恰當(dāng)?shù)牟牧蟿?chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察，euler曾說過：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)，需要觀察，還需要實(shí)驗(yàn)?！庇^察是人們認(rèn)識客觀世界的門戶，觀察可以調(diào)動學(xué)生的各種感官，在已有知識的基礎(chǔ)上產(chǎn)生聯(lián)想，通過觀察還可以減少猜想的盲目性。同時觀察力也是人的一種重要能力，所以在教學(xué)中要給學(xué)生必要的時間和空間進(jìn)行觀察，培養(yǎng)良好的觀察習(xí)慣，提高觀察力，發(fā)展合理推理能力。

例如，把20，21，22，23，24，25這六個數(shù)分別放在六個圓圈里，使這個三角形每邊上的三個數(shù)之和相等。通過觀察圖形以及這六個數(shù)后，我們應(yīng)該想到，較大的幾個數(shù)或較小的幾個數(shù)不能同時在三角形的某一邊上，否則其和就會太大或太小，也就是說，可以把較小的三個數(shù)分別放在三個頂點(diǎn)上，再把三個較大的數(shù)放在相應(yīng)的對邊上。

二、精心設(shè)計實(shí)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生思維

gauss曾提到過，他的許多定理都是靠實(shí)驗(yàn)、歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)充的手段，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，正確地恰到好處地應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，也是當(dāng)前實(shí)施素質(zhì)教育的需要。著名的數(shù)學(xué)教育家george polya曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但是另一方面，在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)更像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)”，從這一點(diǎn)上講，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維有著不可低估的作用。

三、仔細(xì)設(shè)計問題，激發(fā)學(xué)生猜想

數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)研究中合情的推理，是數(shù)學(xué)證明的前提，只有對數(shù)學(xué)問題的猜想，才會激發(fā)學(xué)生解決問題的興趣，啟迪學(xué)生的創(chuàng)造思維，從而發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，數(shù)學(xué)猜想是在已有數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)事實(shí)的基礎(chǔ)上，對未知量及其規(guī)律做出的似真判斷，是科學(xué)假說在數(shù)學(xué)的體現(xiàn)，它一旦得到論證便上升為數(shù)學(xué)理論，牛頓有一句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)，”數(shù)學(xué)家通過“提出問題一分析問題—作出猜想—檢驗(yàn)證明”，開拓新領(lǐng)域，創(chuàng)立新理論。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多命題的發(fā)現(xiàn)、性質(zhì)的得出、思路的形成和方法的創(chuàng)造，都可以通過數(shù)學(xué)猜想而得到，通過猜想不僅有利于學(xué)生牢固地掌握知識，也有利于培養(yǎng)他們的推理能力。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行合情推理能力的培養(yǎng)，對于我們教師，能提高教學(xué)效率，增加課堂教學(xué)的趣味性，優(yōu)化教學(xué)條件，提升教學(xué)水平和業(yè)務(wù)水平。對于學(xué)生，它不但能使學(xué)生學(xué)到知識，會解決問題而且能使學(xué)掌握在新問題出現(xiàn)時該如何應(yīng)對的思想方法。