發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)：改造教與學(xué)的方式

【摘要】學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、推理、模型等核心素養(yǎng)的發(fā)展，需要重視其學(xué)習(xí)過程的展開。倡導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，改造教與學(xué)的方式，就是要沿著學(xué)科知識發(fā)生發(fā)展的過程來轉(zhuǎn)變教與學(xué)的方法觀，按照學(xué)生建構(gòu)知識的規(guī)律來形成新的學(xué)習(xí)觀，根據(jù)知識鑲嵌在情景中的觀點(diǎn)來重塑知識觀。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)；教與學(xué)的方式；展開過程

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）65-0015-03

【作者簡介】陸志洪，江蘇省無錫師范學(xué)校附屬小學(xué)（江蘇無錫，214001）教師，高級教師，無錫市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要讓學(xué)生帶著豐富的情感和鮮活的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)，在強(qiáng)烈的好奇心和求知欲的驅(qū)使下，發(fā)現(xiàn)并獲得經(jīng)驗(yàn)和方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方式，發(fā)展抽象、推理能力和模型思想。怎樣實(shí)踐這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)呢？我們認(rèn)為，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)中展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅，就是要在數(shù)學(xué)課堂上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過程，包括發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決的意義、發(fā)現(xiàn)自我的成長等。發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教與學(xué)，不僅使我們對數(shù)學(xué)教學(xué)中的方法觀、學(xué)習(xí)觀、知識觀有了新的認(rèn)識，更對學(xué)生將來從事科學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)意發(fā)明具有現(xiàn)實(shí)意義。

一、沿著學(xué)科知識發(fā)生發(fā)展的歷程，展開數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程

古今中外數(shù)學(xué)知識、教學(xué)思想的漫長演變過程就是數(shù)學(xué)家們不停尋找的過程，也就是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。受認(rèn)知能力及思維水平的限制，對小學(xué)生來說，按數(shù)學(xué)思想方法體系來實(shí)施學(xué)科知識體系的教與學(xué)有一定的困難，但小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的每一章節(jié)，都體現(xiàn)著知識和思想的有機(jī)結(jié)合。如果學(xué)生追尋大師們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的足跡，沿著數(shù)學(xué)概念、定理中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的發(fā)生、發(fā)展、形成的進(jìn)程來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅可以開啟思路、提高學(xué)習(xí)效率，還可以使教學(xué)、研究、發(fā)現(xiàn)同步。

1.數(shù)學(xué)史引領(lǐng)：找尋古今數(shù)學(xué)思想的發(fā)展脈絡(luò)。

美國數(shù)學(xué)史家莫里斯·克萊因指出：“歷史順序是教學(xué)的指南?！背珜?dǎo)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，就是要從數(shù)學(xué)發(fā)展史角度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、設(shè)計(jì)教學(xué)，了解數(shù)學(xué)思想方法的演變，如數(shù)的產(chǎn)生發(fā)展歷史、計(jì)量單位的產(chǎn)生發(fā)展歷史等，又如數(shù)學(xué)發(fā)展史上的幾個關(guān)鍵點(diǎn)。以關(guān)鍵性問題引領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)歷史中的數(shù)學(xué)知識、思想方法是怎么來的，經(jīng)歷了哪幾個發(fā)展階段，其中遇到哪些困難，人們是通過什么方法解決的，從而更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。如在教學(xué)蘇教版三下《認(rèn)識面積》時，教師可以通過以下步驟進(jìn)行教學(xué)：（1）在不能直接比較的情況下，如何比較面積的大?。恳雒娣e單位的必要性。（2）如何使測量出來的面積具有可比性？引出統(tǒng)一面積單位的必要性。（3）如何將面積單位標(biāo)準(zhǔn)化？提示數(shù)學(xué)有時要通過協(xié)商作出規(guī)定。（4）如何建立“1平方厘米”的表象？用身邊的實(shí)物或身體的一部分表示。（5）如何應(yīng)用新的面積單位進(jìn)行測量？引出常用的面積單位認(rèn)識。以上步驟，遵循了人們認(rèn)識面積單位的發(fā)現(xiàn)歷程，提供了學(xué)習(xí)其他計(jì)量單位的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)和研究方法，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力。

2.數(shù)學(xué)思想方法感悟：獲得概念認(rèn)知、問題解決的一般途徑。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)生應(yīng)有個先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，教學(xué)時要充分展現(xiàn)知識的形成、發(fā)展過程。數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，可以引領(lǐng)學(xué)生去更清晰地學(xué)習(xí)，這對他們形成數(shù)學(xué)思維、掌握數(shù)學(xué)方法的作用是不可低估的。如面積、體積公式的推導(dǎo)，用轉(zhuǎn)化思想、等積類比思想及猜測驗(yàn)證方法引導(dǎo)學(xué)習(xí)過程，就可以靈活發(fā)現(xiàn)公式的推導(dǎo)線索，使新知順利地納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。又如在問題解決的學(xué)習(xí)中，把從條件想起、從問題想起、列舉、畫圖、假設(shè)、轉(zhuǎn)化、嘗試驗(yàn)證、從問題的簡單情形想起等解題策略作為教與學(xué)的重要內(nèi)容，它們在解題上所起的引領(lǐng)作用，是那種“一題一解式”的方法不能替代的。

二、按照兒童建構(gòu)知識的規(guī)律，展開數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程

數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)是一個建構(gòu)過程，建構(gòu)不僅是個人的，也是社會的，要注重“學(xué)習(xí)共同體”的形成以及對課堂社會環(huán)境和情境的營造。順應(yīng)當(dāng)前教學(xué)改革的趨勢，應(yīng)當(dāng)從研究教師的教學(xué)模式、教學(xué)內(nèi)容切換到研究學(xué)生的學(xué)習(xí)方式上來，用數(shù)學(xué)思想方法來轉(zhuǎn)換教與學(xué)方法，把研究學(xué)生學(xué)習(xí)的方法作為學(xué)與教的方法，推進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革，從而達(dá)成數(shù)學(xué)課堂教學(xué)轉(zhuǎn)型。

1.做一個研究者：研究學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)方式。

要把“學(xué)生是如何學(xué)數(shù)學(xué)的”這個問題弄清楚，要研究學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知。應(yīng)研究學(xué)生適應(yīng)認(rèn)知困境的方法：分析認(rèn)知困難產(chǎn)生的原因，理解所產(chǎn)生的影響；嘗試獲得對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的控制感；通過自我提升評價來恢復(fù)自信。應(yīng)研究學(xué)生以已有知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)過程。同時，創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境（如場所環(huán)境、人文環(huán)境、網(wǎng)絡(luò)環(huán)境等）對學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知也很重要。

2.做一個傾聽者：在學(xué)生對話中生成新的觀念。

有真正的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的課堂，應(yīng)是所有學(xué)生輕松自如地參與、自由地交流思考，教師傾聽他們自己的做法、想法。正如美國學(xué)者埃莉諾·達(dá)克沃斯在《精彩觀念的誕生》一書中指出的，要依據(jù)數(shù)學(xué)本身的發(fā)現(xiàn)過程來設(shè)計(jì)教學(xué)過程，要充分給學(xué)生提供機(jī)會，讓他們主動發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)自己的知識，引導(dǎo)兒童精彩觀念的誕生。好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師應(yīng)認(rèn)真做一個傾聽者，通過創(chuàng)設(shè)情境讓每一個人發(fā)現(xiàn)自己的問題，在持續(xù)的討論中遵循并發(fā)展自己的觀念，讓每個學(xué)生都有“精彩觀念誕生”的機(jī)會。

3.做一個反思者：引導(dǎo)學(xué)生在反思中再發(fā)現(xiàn)。

反思，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一道美麗的風(fēng)景。學(xué)生在傾聽、對話中反思，一邊聽講一邊思考，可以使他們的認(rèn)知走向全面和深入；對知識形成過程反思，可以加深他們對數(shù)學(xué)思想方法的理解，使他們更好地發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)；在解題后進(jìn)行反思，可以使學(xué)生更新思考角度，發(fā)現(xiàn)新的解題路徑，優(yōu)化解題方法，加深對數(shù)學(xué)思想方法的感悟；對一天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行反思，可以豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，培養(yǎng)其對習(xí)慣轉(zhuǎn)變、目標(biāo)達(dá)成的監(jiān)控。endprint

三、根據(jù)知識鑲嵌在情景中的特點(diǎn)，展開數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程

數(shù)學(xué)盡管抽象，但抽象的數(shù)學(xué)必有其現(xiàn)實(shí)世界的源頭。教學(xué)時，還原數(shù)學(xué)這一現(xiàn)實(shí)背景的“來龍去脈”，和學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活相連，無疑是對數(shù)學(xué)本身的一種尊重，也是數(shù)學(xué)知識得以完整理解和發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵所在。學(xué)生的一切間接經(jīng)驗(yàn)均基于生活中的直接經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生的生活背景越接近，學(xué)生自覺接納的程度就越高。學(xué)生要進(jìn)行發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾為我們提供了思路，即數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活開始和結(jié)束。

1.源于生活：從現(xiàn)實(shí)生活中攫取學(xué)習(xí)素材。

好的生活素材是實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要基石。數(shù)學(xué)的教與學(xué)應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的生活及其感興趣的事物出發(fā)，通過營造熟悉的情境、寬松的平臺，使他們體會到數(shù)學(xué)就在身邊。同時，要努力挖掘、利用好學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和資源，為他們創(chuàng)造一個發(fā)現(xiàn)、探索的思維空間，使他們徜徉在從生活開始的數(shù)學(xué)化過程中，發(fā)展抽象、建模等能力。當(dāng)前數(shù)學(xué)教材的素材本身與學(xué)生的生活是密切聯(lián)系的，教師一方面要利用好原有素材，另一方面要善于開發(fā)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)的、有發(fā)現(xiàn)意義的素材，注意抓住學(xué)生心理，既要易于理解，又要具有一定的啟發(fā)性。生活實(shí)踐是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的載體，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生展開數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)。

2.高于生活：引領(lǐng)學(xué)生走數(shù)學(xué)化過程。

生活素材要進(jìn)行必要的“數(shù)學(xué)化”才能實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。如教學(xué)蘇教版三上《認(rèn)識幾分之一》時，教師設(shè)計(jì)了以下環(huán)節(jié)：（1）故事引入。在古代，人們是通過摘樹上的野果、外出打獵等方式來獲取食物的。這次他們的成果是4條魚、2只兔子和1頭鹿。他們應(yīng)該怎樣分享呢？現(xiàn)在平均分的結(jié)果不滿“1”了怎么辦？諸如這一類的問題，在現(xiàn)代生活中我們也會遇到。（2）初步感知“二分之一”。把一個蛋糕平均分成2份，其中的1份怎樣表示？（3）深入理解“二分之一”。剛才我們研究了一個蛋糕的，你能不能用紙片（正方形、等腰三角形、圓、等腰梯形等形狀的紙片）來做一個呢？你能不能找到1米的呢？（4）認(rèn)識“幾分之一”。在分?jǐn)?shù)王國里，除了這樣的分?jǐn)?shù)外，還有其他成員。下面的畫面（法國國旗、五角星）讓你聯(lián)想到幾分之一？如果把一個圖形、一個物體平均分成7份，每份就是它的幾分之一？為什么？平均分成10份呢？以上的設(shè)計(jì)，教師從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，不斷讓知識經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)實(shí)問題發(fā)生認(rèn)知沖突，一步步使學(xué)生建立起對分?jǐn)?shù)概念的初步認(rèn)識，即把一個物體、一個圖形、一個計(jì)量單位平均分成若干份，其中的一份就是它的幾分之一。

3.用于生活：把數(shù)學(xué)知識回到生活中深化。

在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的過程后，還需要有一個運(yùn)用、體會、解釋、升華的過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思想去觀察、解決新的數(shù)學(xué)問題，去觀察、發(fā)現(xiàn)、解讀生活現(xiàn)象，從而使學(xué)生的思維在現(xiàn)實(shí)世界與符號世界間形成一個從具體到抽象再到具體的閉合回路。如在學(xué)習(xí)蘇教版一下《認(rèn)識人民幣》后，可以設(shè)計(jì)去超市購物的“小體驗(yàn)”，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)超市、走進(jìn)生活，學(xué)習(xí)運(yùn)用有關(guān)人民幣的知識，進(jìn)行一次購物付款體驗(yàn)活動；學(xué)習(xí)蘇教版二下《認(rèn)識毫米》后，可以設(shè)計(jì)種蒜頭的“小課題”，通過種蒜頭這個實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生觀察蒜葉生長過程中的長度變化，體驗(yàn)以毫米為單位的物體的實(shí)際長度，豐富他們對“毫米”的具體認(rèn)識；結(jié)合自己的學(xué)習(xí)感受寫“小論文”；結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行“小比賽”。形式多樣的數(shù)學(xué)活動，點(diǎn)燃了學(xué)生心靈深處作為一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、成功者的激情，激發(fā)起學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去看待生活中的問題，促使學(xué)生在鮮活生動的生活課程中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過程，解釋數(shù)學(xué)現(xiàn)象，豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)旅程，收獲數(shù)學(xué)的理性之美與感性之美。endprint