微積分中的不等式證明方法

厲文偉

摘要：不等式的證明是數(shù)學(xué)領(lǐng)域一塊非常有魅力的內(nèi)容，通過對(duì)不等式的證明的一些常見方法的研討，讓人感受到數(shù)學(xué)之美，在解決不等式的問題研究中鍛煉自己的解題能力、數(shù)學(xué)思維能力，體驗(yàn)解決問題的樂趣與成就感。

關(guān)鍵詞：微積分；不等式；證明；方法；能力

在初等數(shù)學(xué)或是高等數(shù)學(xué)中， 不等式都是十分重要的內(nèi)容，并且是一種被廣泛使用的技巧性工具，而不等式的證明又是不等式知識(shí)的重要組成部分，中學(xué)里證明不等式的方法有很多，比較法、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、判別式法、換元法等等 ，。相對(duì)于等式的可確定性，不等式更像是確定一個(gè)界限，制定一個(gè)條件來規(guī)范和劃定一個(gè)范圍，所以不等式的證明是非常有趣和富有挑戰(zhàn)的。 下面要介紹的不等式的一些證明方法，是利用高等數(shù)學(xué)中微積分的知識(shí)，通過學(xué)習(xí)這些證明方法，可以幫助我們培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維的能力，完善不等式證明方法。

1利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

定義：函數(shù)的單調(diào)性（monotonicity）也叫函數(shù)的增減性，可以定性描述在一個(gè)指定區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值變化與自變量變化的關(guān)系。當(dāng)函數(shù)f（x） 的自變量在其定義區(qū)間內(nèi)增大（或減?。r(shí)，函數(shù)值也隨著增大（或減小），則稱該函數(shù)為在該區(qū)間上具有單調(diào)性（單調(diào)增加或單調(diào)減少）

利用 公式證明函數(shù)不等式步驟：

（1）構(gòu)造一個(gè)函數(shù) ，選一個(gè)展開點(diǎn) ，然后寫出 在 處的帶有拉格朗日余項(xiàng)的 公式

（2）通常把端點(diǎn)、分點(diǎn)、零點(diǎn)、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、拐點(diǎn)等選作展開中心。此外，區(qū)間中的任意點(diǎn)也是分析函數(shù)性質(zhì)不可或缺的點(diǎn)

（3）根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小，函數(shù)的界或三角形不等式對(duì) 進(jìn)行放縮。

不等式的證明還可以利用定積分性質(zhì)中的估值定理、積分中值定理、柯西-許瓦茲不等式等來解決。endprint