旋轉(zhuǎn)體體積計算的微課教學(xué)設(shè)計

段影影　李彬　李淑龍

摘要：微課以微視頻為載體，易于讓學(xué)生聚焦在教學(xué)的重難點上，方便學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。高等數(shù)學(xué)中的旋轉(zhuǎn)體體積的計算是利用微元法解決的一類經(jīng)典問題，也是學(xué)習(xí)的難點。本文首先分析了微課的特點，介紹了旋轉(zhuǎn)體體積的教學(xué)背景，繼而詳細探討了旋轉(zhuǎn)體積的微課設(shè)計。

關(guān)鍵詞：微課；旋轉(zhuǎn)體體積；微元法；圓盤法

中圖分類號：G642.41 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）50-0198-03

微課是相對于常規(guī)課程來說的一種微小的課程，優(yōu)勢如下：（1）幫助學(xué)生開展自主化、個性化的學(xué)習(xí)，可以課前預(yù)習(xí)以及課后復(fù)習(xí)，并且能讓學(xué)生更好地把注意力集中于課程要點；（2）幫助其他教師提高教學(xué)能力或者部分替代教師。教師一方面可以通過微課資源學(xué)習(xí)別人的教學(xué)方法，另一方面有些問題講解不到位時可以直接利用微課資源。

本文的微課設(shè)計采用問題驅(qū)動的思路，先給出實際問題，然后分析問題的難點，構(gòu)思解決該問題的知識點是什么，并給出典型例題完整的分析過程。給學(xué)生展示發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程，并梳理知識體系，再提出更深入的問題。以下是微課選題——旋轉(zhuǎn)體體積的計算。

一、教學(xué)背景

生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)注重應(yīng)用。要求學(xué)生理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，又要掌握重要的數(shù)學(xué)思想和嚴謹?shù)慕忸}過程。旋轉(zhuǎn)體體積是微元法能解決的經(jīng)典問題，選取微元是難點又是關(guān)鍵。高等數(shù)學(xué)中微元法的教學(xué)安排是先計算曲邊梯形面積，再增加難度計算旋轉(zhuǎn)體體積，然后推廣到物理、化學(xué)以及醫(yī)藥學(xué)上的應(yīng)用。由平面到立體，由形象到抽象。其中旋轉(zhuǎn)體體積的教學(xué)部分承上啟下，而且應(yīng)用較廣泛。很多學(xué)生對這個問題無法理解透徹，不能靈活變通地選取微元。

二、微課設(shè)計思路和重難點

整個教學(xué)過程分為四個部分：

1.什么是旋轉(zhuǎn)體？通過應(yīng)用案例調(diào)動學(xué)生興趣，引出什么是旋轉(zhuǎn)體，為什么要計算旋轉(zhuǎn)體體積，如何用數(shù)學(xué)語言描述這類計算。首先給出圓柱體形成的動畫，通過熟悉的圓柱體引出旋轉(zhuǎn)體的數(shù)學(xué)定義，旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。動畫能充分調(diào)動學(xué)生的注意力，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)形結(jié)合和描述動畫，再給出嚴謹?shù)木哂衅毡樾缘亩x。

由簡到難，引導(dǎo)學(xué)生思考實際中還有哪些旋轉(zhuǎn)體，引出其實際應(yīng)用的介紹，結(jié)合學(xué)生的年齡特征，有選擇地介紹實際應(yīng)用：橄欖球，陀螺、機器零件、花瓶、巫婆的大鍋和外科手術(shù)中的人造髖關(guān)節(jié)（圖1至圖2）。如何計算這些復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)體的體積或容積？首先，把這類計算讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述，描述為問題一。

2.圓盤法計算旋轉(zhuǎn)體體積。這部分內(nèi)容是重點也是難點。微元法就是將研究對象（物體或某種物理過程）進行無限地細分，再從中抽取出某一微小的部分進行分析研究和討論，找出被研究對象的整體變化規(guī)律。結(jié)合圖形和動畫重點講解如何選取旋轉(zhuǎn)體的體積微元，其中動畫的制作需要教師花費大量的時間；

問題一：一般地，由連續(xù)曲線y=f（x）、直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形（圖3）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？

分析問題，想象曲邊梯形旋轉(zhuǎn)后是什么形狀（圖4）？

引導(dǎo)學(xué)生回憶前面介紹的微元法。微元法分兩個步驟，第一步選取所求量的微元，包含無限分割和近似代替的思想，第二步對微元積分，包含了求和及取極限的思想。類似的，如果計算旋轉(zhuǎn)體體積也用微元法，它的微元如何選??？

第一步選取體積微元。首先分割旋轉(zhuǎn)體，層層遞進，再引導(dǎo)學(xué)生思考如何分割？如圖4沿著垂直于x軸的方向把旋轉(zhuǎn)體分成很多薄片，顯然每個薄片都是薄圓盤。先求出薄圓盤的體積，把它們累加起來就是整個旋轉(zhuǎn)體的體積。薄圓盤的體積如何求？在圖3中取小區(qū)間[x，dx]，小區(qū)間對應(yīng)的小曲邊梯形繞x軸一周得到薄圓盤。到這里，得到旋轉(zhuǎn)體的體積公式，微元法的應(yīng)用，以后的課程還會有專題介紹在物理和醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用?；麨榱?，近似代替求微元是微分的思想；積零為整做積分是積分的思想，體現(xiàn)了微分和積分完美的結(jié)合。

以上兩個步驟計算這類問題時，只有圖1的平面圖形也能實現(xiàn)計算。首先，求體積微元，在圖1區(qū)間[a，b]內(nèi)，取點x，給一個增量dx，得到小區(qū)間[x，dx]，x對應(yīng)的函數(shù)值f（x）是薄圓盤的底面半徑，小區(qū)間長度dx是它的厚度。第二步，把第一步計算的薄圓盤的體積近似值既微元從a積分到b。甚至不需要畫立體圖形，減少畫圖的困難，也可以鍛煉空間想象能力。

旋轉(zhuǎn)體的微元是薄圓盤的體積近似值，所以又稱為圓盤法，有的書上稱作切片法或者柱片法。

拓展與思考，設(shè)疑問，如果換個方向分割旋轉(zhuǎn)體，微元還會是圓盤嗎？讓學(xué)生想象并舉例示意。曲邊梯形如果繞著x軸旋轉(zhuǎn)，只有垂直于旋轉(zhuǎn)軸x軸的方向切才能選取圓盤為微元。這由旋轉(zhuǎn)軸決定，也決定了積分變量是x。

典型例題用熟悉的橢球體：計算橄欖球的體積，并給出嚴謹?shù)那蠼膺^程，鞏固圓盤法的理論，并且訓(xùn)練思維的嚴謹性以及清楚的數(shù)學(xué)表達。計算由橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)出的橢球體體積。由對稱性容易看出，整個橢圓和上半橢圓轉(zhuǎn)出的體積相同，而且左邊一半橢圓和右半橢圓相同，所以只要計算出第一象限的橢圓旋轉(zhuǎn)的體積再乘以2就可以得到整個旋轉(zhuǎn)體體積。

3.拓展和思考。增加難度改變曲邊梯形，提出問題二。

問題二：由連續(xù)曲線y=R（x），y=r（x），直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形（圖7），繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？

由于此時只有平面圖形，要鍛煉學(xué)生的空間想象能力。圖7中的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體體積是什么樣的？給出旋轉(zhuǎn)后的圖像（圖8），提示學(xué)生注意旋轉(zhuǎn)體的中心，部分是空心的。這是問題二的難點，但是不給出計算思路，留給學(xué)生課下寫出它的計算公式。微課程應(yīng)有恰當(dāng)設(shè)計的提問，掌握好問題的難度是教師的重要基本功，這是啟發(fā)式教學(xué)中必要的。靈活使用多樣化的提問策略促進學(xué)生思考。PBL教學(xué)法更強調(diào)以問題為導(dǎo)向，這對開發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、培養(yǎng)科學(xué)思維非常重要。endprint

前面講的都是以x軸為旋轉(zhuǎn)軸，再進一步改變旋轉(zhuǎn)軸，提出問題三。

問題三：旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線x=φ（y）、直線y=c、y=d及y軸所圍成的曲邊梯形（圖9）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？

引導(dǎo)學(xué)生想象出旋轉(zhuǎn)后的形狀（圖10），幫助學(xué)生理解如何選取微元，并引出下次課的柱殼法計算旋轉(zhuǎn)體積。

4.小結(jié)。概括重點內(nèi)容，幫助學(xué)生梳理思路，強調(diào)重點和難點，并引出下次課的問題。

三、教學(xué)反思

微課是教師教學(xué)經(jīng)驗和智慧的結(jié)晶，學(xué)習(xí)者可以重復(fù)看以強化知識點學(xué)習(xí)，其價值在共享應(yīng)用能更好地體現(xiàn)。還有必要豐富微課的呈現(xiàn)形式，真人講解之外結(jié)合動畫卡通、電子黑板、學(xué)生討論過程、典型錯題的比較等。利用多種手段將知識以趣味化的方法呈現(xiàn)出來，激發(fā)學(xué)習(xí)者自主學(xué)習(xí)的興趣。

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Abstract：Micro-lecture presents a single knowledge point. Micro video is the important part of Micro-lecture. Students are easy to focus on the key point or difficulty point in the micro-lecture. facilitate students' Autonomous learning. Calculate the volume of solid of revolution is a kind of classical problem，the common method is the element method，but it is difficult to learn. This paper first analyzes the characteristics of the micro lecture，introduces the teaching background of the volume of the solid of revolution，then discusses the design of the micro lecture.

Key words：Micro-lecture；the element method；volume of solid of revolution；pan methodendprint