Lyapunov第一方法在非線性控制中的應(yīng)用解析

摘要：Lyapunov方法是進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制設(shè)計的重要工具。一般教材和參考資料上主要講述的是如何進行穩(wěn)定性分析，而本文主要對Lyapunov第一方法在非線性控制設(shè)計方面的應(yīng)用進行解析說明。本文首先介紹了Lyapunov第一方法的基本內(nèi)容，以及在進行控制設(shè)計時的注意事項。然后針對具體例子演示了如何應(yīng)用Lyapunov第一方法進行控制律設(shè)計的過程，并對設(shè)計的控制律進行了系統(tǒng)仿真驗證。

關(guān)鍵詞：Lyapunov第一方法；非線性系統(tǒng)；非線性控制；線性系統(tǒng)

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）50-0195-03

一、引言

1892年俄國學者Lyapunov發(fā)表了論文《運動穩(wěn)定性一般問題》，給出了分析常微分方程組穩(wěn)定性的兩個方法，分別稱為Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法。其中Lyapunov第一方法針對非線性系統(tǒng)的一次近似線性模型，分析系統(tǒng)相應(yīng)平衡點的局部穩(wěn)定性。雖然應(yīng)用Lyapunov第一方法有一定的局限性，比如要求非線性系統(tǒng)具有可微性，以及得出結(jié)論是小范圍的穩(wěn)定性質(zhì)。不過，由于當前關(guān)于非線性系統(tǒng)并沒有統(tǒng)一有效的分析控制工具，而Lyapunov第一方法易于分析理解，并且能夠結(jié)合相應(yīng)成熟的線性系統(tǒng)理論，故其已成為研究非線性系統(tǒng)控制的理論方法之一[1，2]。在自動控制原理II或現(xiàn)代控制理論課堂中，Lyapunov第一方法和第二方法是組成系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的一個重要部分[3，4]。不過一般教材和參考書中關(guān)于這部分內(nèi)容，只是介紹和示例了其在穩(wěn)定性分析中的作用，很少介紹其在非線性系統(tǒng)控制中的應(yīng)用。所以本文在這里準備對Lyapunov第一方法在非線性系統(tǒng)控制中的應(yīng)用過程進行解析說明，詳細分析了其中應(yīng)該注意的事項，并通過具體例子進行演示，相關(guān)內(nèi)容可作為學習本門課程學生的一次課外討論作業(yè)。

二、Lyapunov第一方法的主要內(nèi)容

1.當A的特征值都具有負實部時，系統(tǒng)（2）是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)（1）的平衡狀態(tài)xe也是漸近穩(wěn)定的。

2.當A的特征值至少有一個具有正實部時，系統(tǒng)（2）是不穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)（1）的平衡狀態(tài)xe也是不穩(wěn)定的。

3.當A的特征值都不具有正實部，但至少有一個特征值的實部為零，這時系統(tǒng)（2）是穩(wěn)定的，系統(tǒng)（1）的平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性需要通過其他方法判定。

注記1：上面提到的穩(wěn)定性與漸近穩(wěn)定性均指Lyapunov意義下的穩(wěn)定性與漸近穩(wěn)定性。其中Lyapunov意義下的穩(wěn)定性表示的是一種不發(fā)散的性質(zhì)（類似有界性），Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性表示漸近收斂性。這些在一般教科書里都進行了詳細的定義說明。

注記2：如上所示Lyapunov第一方法包含三個內(nèi)容，這都可以作為進行非線性系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)。不過在進行非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性控制研究時，一般我們是先設(shè)定控制目標，即設(shè)定反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于某個平衡點是漸近穩(wěn)定的，所以實際上參考的內(nèi)容只有第一部分。

三、在非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性控制中應(yīng)用的注意事項

1.平衡點的穩(wěn)定性。Lyapunov第一方法中的穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性分別表示的是平衡點的穩(wěn)定性，所以必須保證設(shè)定值是閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點。即

f（x*，g（x*））=0。

2.增量的線性系統(tǒng)方程。從公式（1）（2）的推導(dǎo)過程可知，進行局部線性化以后得到的線性系統(tǒng)變量y=x-x，即為原狀態(tài)變量的增量，所以在進行控制設(shè)計的過程中通過平衡點的平移，變?yōu)樵隽康木€性系統(tǒng)。

3.變量還原。對增量的線性系統(tǒng)進行反饋控制設(shè)計之后，進行控制變量和狀態(tài)變量的還原，代入原控制系統(tǒng)中，再進行系統(tǒng)的仿真驗證。

四、實例分析

五﹑仿真

參考文獻：

[1]魏萍，馮愛祥.研究生課程“非線性系統(tǒng)”的教學思考[J]. 科教文匯，2015，（316）：58-59.

[2]賀俊吉，趙明，許曉彥，解翔.非線性系統(tǒng)控制系統(tǒng)教學中存在的問題和改進方法探討[J].教育教學論壇，2017，（13）：183-184.

[3]吳麒.自動控制原理（下冊）[M].北京：清華大學出版社，2002.

[4]胡壽松.自動控制原理[M].第五版.北京：清華大學出版社，2011.

[5]Hassan K.Khalil.非線性系統(tǒng)[M].第三版.朱義勝，董輝，李作洲，等，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2011.endprint