“問題導(dǎo)思”促進學(xué)生知識的內(nèi)化
——高三數(shù)學(xué)《等差、比數(shù)列》知識點復(fù)習(xí)的實踐與思考

吳 彤

(江蘇省鹽城市教育局教科院 224000)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，特別是一輪復(fù)習(xí)，需要全面系統(tǒng)復(fù)習(xí)各章各節(jié)的知識點，不僅要讓學(xué)生知其然，更要讓學(xué)生知其所以然，從而讓學(xué)生構(gòu)建知識框架，加強知識間的關(guān)聯(lián)性理解，達到知識的內(nèi)化.所有教師都重視知識點復(fù)習(xí)，然而復(fù)習(xí)效果卻不盡相同，我們常聽一些老師對學(xué)生說，復(fù)習(xí)知識點你又不聽講，做到題目又不會.其實，這些知識點學(xué)生不是都不會用，基本問題，學(xué)生能夠套用公式、定理等完成；較難一點的問題，他們有時確實不會，但原因較多，有思維方法的原因，也有知識點理解不深的原因.所以，這些知識點，學(xué)生是懂而不透，常規(guī)平鋪直敘的評講，學(xué)生厭煩，他們認為會了，不想聽；有老師為了減少學(xué)生的厭煩感，他們在題目的評講中，逐步梳理出知識點，但知識零碎，缺乏知識間的關(guān)聯(lián)性理解；還有個別老師要求學(xué)生默寫，學(xué)生是敢怒不敢言，這種復(fù)習(xí)方法最不可取.

怎樣進行知識點復(fù)習(xí)，才能讓學(xué)生愿意聽講，切實提高復(fù)習(xí)效率呢？這是我們每位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)思考的問題.本文將結(jié)合《等差、比數(shù)列》的知識點復(fù)習(xí)，與讀者交流復(fù)習(xí)方法，以期拋磚引玉.

1 復(fù)習(xí)方法探討

等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、相關(guān)性質(zhì)、求和公式對應(yīng)關(guān)系非常強，可一并復(fù)習(xí)，通過類比分析，學(xué)生印象可能會更深刻.對等差數(shù)列的相關(guān)知識點的復(fù)習(xí)，本文將通過問題引導(dǎo)學(xué)生思考，或思考其成因，或思考其應(yīng)用注意點，或思考其關(guān)聯(lián)性等等，在保證問題有內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，力爭做到問題的新穎，以扣住學(xué)生思考.以下具體的課堂實踐，供讀者教學(xué)中參考、研討.

2 課堂問題設(shè)計

問題1如何證明一個數(shù)列是等差數(shù)列？

問題1不僅幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了等差數(shù)列的定義，同時還幫助學(xué)生歸納了一類問題的證明方法，有一箭雙雕的作用.學(xué)生通過思考，可歸納出證明方法：(1)定義法，即證明an-an-1=d(常數(shù))；(2)中項法，即證明2an=an-1+an+1.當(dāng)然，對等差數(shù)列定義的注意點以及中項法的內(nèi)涵，還要再探討，于是追問：

問題1-1你認為等差數(shù)列的定義有哪些注意點？

讓學(xué)生思考定義的注意點，比讓學(xué)生回憶定義，效果也許更好.此問題，要求學(xué)生分析出兩個注意點：(1)從第二項起，即an-an-1=d(n≥2)；(2)差d為常數(shù)，即公差.

問題1-2為什么用中項法，證明到2an=an-1+an+1，就說明是等差數(shù)列呢？

中項法證明等差數(shù)列是學(xué)生都熟悉的方法，但這個遞推關(guān)系式，他們未必都知其所以然.數(shù)列的很多性質(zhì)，往往就體現(xiàn)在遞推關(guān)系式上，然而很多學(xué)生對“由變量n的任意性而產(chǎn)生的傳遞性”，理解不深.上述遞推關(guān)系，等價于對?n≥2，n∈N*，都有an+1-an=an-an-1成立，即an+1-an=an-an-1=…=a2-a1，滿足等差數(shù)列的定義.

問題2怎樣證明等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d？

等差數(shù)列通項公式的記憶顯然不是問題，它的證明方法(疊加法)卻很重要，需要學(xué)生通過分析，加深理解其內(nèi)涵.由等差數(shù)列的定義，有an-an-1=d(常數(shù))，通過疊加法，得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=(n-1)d，對這個式子，學(xué)生容易忽視n≥2，需要教師提醒證明的嚴密性，整理得an=a1+(n-1)d(n≥2)，又當(dāng)n=1時，an=a1成立，所以等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d成立.

問題2-1除了等差數(shù)列，你能不能舉一個用疊加法求通項公式的例子呢？

問題2-2在等差數(shù)列中，公式an=am+(n-m)d與通項公式有什么關(guān)系？

該問題主要目的是讓學(xué)生深化理解等差數(shù)列的通項公式，當(dāng)m=1時即通項公式，它與通項公式是一般與特殊的關(guān)系.然后，要求學(xué)生完成課本題：在等差數(shù)列{an}中，若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+q.(見文[1])學(xué)生既可以運用通項公式，求出基本量a1與d；還可以用通項公式的一般情形求解：不妨設(shè)q>p，則aq=ap+(q-p)d，將條件代入，得d=-1，所以ap+q=ap+qd=q+q(-1)=0.

問題3在等差數(shù)列中，a2+a8=a10是否成立？為什么？

問題3的目的，是復(fù)習(xí)等差數(shù)列的性質(zhì)“下標和相等，和相等.即若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.”的運用注意點.學(xué)生通常會答不成立，在教師的追問下，他們會指出上述性質(zhì)，并說明a2+a8=a10不滿足性質(zhì)“等式左右兩邊都是兩項相加”.當(dāng)然，教師要從嚴密性的角度解釋問題3，在通常情形下，a2+a8=a10不成立，但對特定的等差數(shù)列，a2+a8=a10也可能成立，由a2+a8=2a1+8d=a10=a1+9d，即當(dāng)a1=d時，a2+a8=a10成立.教師繼續(xù)追問，上述性質(zhì)怎樣證明呢？學(xué)生自然知道用等差數(shù)列的通項公式代入證明，這時教師可再結(jié)合證明過程，說明性質(zhì)運用的注意點，由等差數(shù)列的通項公式，得am+an=2a1+(m+n-2)d與ap+aq=2a1+(p+q-2)d，等式兩邊都是2倍a1且d的系數(shù)相等，要產(chǎn)生2倍a1，等式兩邊都應(yīng)是兩項.

問題3-1能否根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)“下標和相等，和相等”的注意點分析，將它拓展引申？

有了上述分析，學(xué)生不難回答問題3-1，“下標和相等”的前提是等式左右兩邊的項數(shù)要相同.比如，等式兩邊都是3項，即有結(jié)論：在等差數(shù)列{an}中，若m+n+l=p+q+r，則am+an+al=ap+aq+ar.

問題4為什么能用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式？

學(xué)生知道等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法，但理解是否深刻？卻難說.故用問題4促進學(xué)生對倒序相加法的理解.為什么能用倒序相加？因為等差數(shù)列有性質(zhì)“下標和相等，和相等”，即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以運用倒序相加法求和，可得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)=n(a1+an).這樣，學(xué)生不僅掌握推導(dǎo)方法，對方法的來龍去脈理解也更深刻.

問題4-1是不是只有等差數(shù)列的求和公式，才能用倒序相加法推導(dǎo)？

問題4-2給定等差數(shù)列的首項a1與公差d，等差數(shù)列隨之確定，其前n項和Sn取決于項數(shù)n，那么Sn是關(guān)于n的什么函數(shù)呢？

問題5等差數(shù)列與等比數(shù)列有很多相似之處，由等差數(shù)列的性質(zhì)，能類比到等比數(shù)列的哪些性質(zhì)呢？

問題5-1等比數(shù)列的哪些性質(zhì)不能由等差數(shù)列類比得到呢？

學(xué)生自然想到，等比數(shù)列的求和公式及推導(dǎo)方法不能通過類比得到，需要用錯位相減法推導(dǎo)公式.將和式乘以公比并向右錯一位，這時除首、尾兩項外，各項對應(yīng)相等，相減后，得(1-q)Sn=1-qn.然后，討論q與1的關(guān)系，即得到求和公式，教師再解讀公式運用的注意點.

最后，教師追問，什么類型的數(shù)列也能用錯位相減法求和？學(xué)生很快就能答出，“等差×等比”型數(shù)列.繼續(xù)追問，為什么呢？讓學(xué)生思考錯位相減法的內(nèi)涵：和式乘以公比并向右錯一位后，除首、尾兩項外，各項公比的指數(shù)對應(yīng)相等，相減后提取指數(shù)式，系數(shù)為等差數(shù)列的后一項減前一項，即公差，能夠化簡求和.然后，教師再舉一個簡單的例子，讓學(xué)生操作體驗一下這個基本方法.

問題5-2在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則數(shù)列S3,S6-S3,S9-S6,…是等差數(shù)列.試證明上述結(jié)論，并通過類比，找出等比數(shù)列的相關(guān)結(jié)論.

3 兩點教學(xué)反思

通過《等差、比數(shù)列》知識點復(fù)習(xí)的教學(xué)設(shè)計，筆者對高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有兩點想法，與讀者交流.

(1)讓課堂慢下來，多讓學(xué)生內(nèi)化.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，學(xué)生有著做不完的練習(xí)，有太多不會做的題目，這些學(xué)生不會做的題目，催生了高三教學(xué)的快節(jié)奏，教師不停地講，學(xué)生拼命地聽，到頭來還是錯！依筆者看，學(xué)生不會做的題目未必要面面俱到地講，倒不如選講少量的經(jīng)典題目，讓課堂節(jié)奏徹底慢下來，上探究課，引導(dǎo)學(xué)生思考！思考知識方法的內(nèi)涵，真正地讓學(xué)生學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會分析問題，學(xué)會找解決問題的方法.就如本文，不惜時間探討等差、比數(shù)列的相關(guān)知識點，充分讓學(xué)生內(nèi)化這些知識，雖然少講了一些題目，但學(xué)生的理解深刻了，對他們解決具體的數(shù)列問題，肯定有幫助.

(2)合理設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生思考.教師所提的問題，是學(xué)生思考的方向，問題的質(zhì)量，影響課堂的教學(xué)效率.筆者認為問題的設(shè)計要注意以下幾點：一是方向性要強，既然是引導(dǎo)學(xué)生思考，就要讓學(xué)生有思考的方向，不能讓學(xué)生摸不著頭腦，無所適從.當(dāng)然，我們所講的方向性強的問題，不是指收斂性問題，它完全可以是發(fā)散性問題，可以有多種解釋、有多種思路方法；二是深入性要強，這里所講的深入性，不是指難度大的問題，它是指學(xué)生通過思考，所得到的答案，要觸及知識方法的內(nèi)涵，要能揭示問題的本質(zhì)，真正讓學(xué)生有所悟，促進學(xué)生的理解；三是新穎性要強，學(xué)生每天都聽同一個老師的數(shù)學(xué)課，容易審美疲勞，我們所提的問題要能調(diào)動學(xué)生的積極性，問題不能套路化，要盡量變著花樣設(shè)計問題，才能吸引學(xué)生思考.

此外，我們所設(shè)計的問題，還要控制好難易度，太簡單學(xué)生都會的問題，思考什么？沒有價值！太難學(xué)生都不會的問題，容易挫傷學(xué)生的積極性.我們要提那些讓學(xué)生跳一跳能夠到的問題，跳一跳即必須要有思考，能夠到即有一定數(shù)量的學(xué)生能解決.