二維圓盤顆粒體系聲學(xué)行為的數(shù)值研究?

劉曉宇 張國華 孫其誠 趙雪丹 劉尚

1)(北京科技大學(xué)物理系,北京 100083)

2)(清華大學(xué),水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點實驗室,北京 100084)

二維圓盤顆粒體系聲學(xué)行為的數(shù)值研究?

劉曉宇1)張國華1)?孫其誠2)?趙雪丹1)劉尚1)

1)(北京科技大學(xué)物理系,北京 100083)

2)(清華大學(xué),水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點實驗室,北京 100084)

顆粒物質(zhì),聲速,非線性,聲衰減

1 引 言

在非熱條件下壓縮顆粒系統(tǒng)可使系統(tǒng)經(jīng)歷堵塞(jamming)轉(zhuǎn)變[1?3].根據(jù)O’Hern的分析,在jamming點(J點)附近,剪切模量G、體積模量B及剪切模量與體積模量的比值G/B均隨壓強P呈冪律標(biāo)度[3?5]:P～(Δ?)a?1,B～(Δ?)a?2,G～(Δ?)a?3/2,Z?Zc～(Δ?)1/2(Z為配位數(shù),Zc為J點配位數(shù)),G/B～P1/(2a?2),其中,a=2對應(yīng)線彈性接觸,a=5/2對應(yīng)赫茲接觸.因此,在J點附近剪切和體積模量比值G/B隨壓強P的標(biāo)度是驗證jamming臨界性的重要標(biāo)記[6].最近,Wang等[7]發(fā)現(xiàn)當(dāng)P＞Pj(Pj為類jamming轉(zhuǎn)變點)時,雙分散的赫茲接觸顆粒體系中G/B～P1/3,體系處于TL玻璃態(tài)(橫?？v模都存在的狀態(tài));當(dāng)P＜Pj時,G/B～(P/T)?1/2,體系處于只能承載有效縱向聲子的L玻璃態(tài);當(dāng)P=0時,體系處于無剛性的未堵塞態(tài).但是,在2D線彈性接觸的顆粒體系中是否也存在處于TL玻璃態(tài)和未堵塞態(tài)之間的L玻璃態(tài)仍然是一個未解決的問題.另外,由于L玻璃態(tài)不能嚴(yán)格定義橫波聲子,L玻璃態(tài)表現(xiàn)出與TL玻璃態(tài)非常不同的力學(xué)特性,目前關(guān)于L玻璃態(tài)力學(xué)特性的研究已經(jīng)成為一個新的熱點.

顆粒物質(zhì)是典型的無序系統(tǒng),內(nèi)部本征的不均勻性使得顆粒系統(tǒng)的力學(xué)和輸運特性與晶體的情況存在明顯不同[8].比如,顆粒材料中的振動自由度不是總能用普通的平面波表征,而是存在一個在基本成分(顆粒)的微觀尺寸和宏觀樣品尺寸之間的特征介觀長度尺度l?,低于l?的系統(tǒng)不再支持波長λ小于l?的聲學(xué)平面波,連續(xù)體彈性理論失效[9].但是,λ?l?的長波長聲子仍然能在無序固體中存在,在這個長度尺度上體系能被看作連續(xù)彈性介質(zhì).從這個角度講,顆粒材料等無序固體可以看作一系列由特征尺寸l?量級的區(qū)域結(jié)構(gòu)單元組成[10].近年來,關(guān)于顆粒材料中介觀長度尺度隨體積分?jǐn)?shù)的變化的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展.例如:文獻(xiàn)[11—13]通過研究振動態(tài)密度曲線發(fā)現(xiàn)顆粒體系中存在區(qū)分德拜標(biāo)度和態(tài)密度平臺的過渡頻率ω?[5],與ω?對應(yīng)的縱波特征波長vl為縱波聲速)及橫波特征波長vt為橫波聲速)均隨到J點的距離(???c)發(fā)散:Vitelli[14]數(shù)值研究了通過排斥彈簧互相作用的無摩擦軟球jammed體系剪切聲波的長波衰減,發(fā)現(xiàn)特征長度??～(???c)?1/2.Mizuno等[15]數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)3D無序體系偏離宏觀彈性性質(zhì)的特征尺度ξG～(?? ?c)?0.16.Wang等[7]數(shù)值確定顆粒材料等無序固體的特征長度??～P?2/9.同時Ikeda和Berthier[6]的研究給出了不同的結(jié)論,即縱向和橫向振動都在硬球區(qū)域中存在,且相關(guān)的長度尺度和時間尺度均隨著密度減少遠(yuǎn)離J點而變微觀.由于對無序材料中的特征尺度的研究還存在爭議,值得進(jìn)一步研究.

聲學(xué)測量是一種探測顆粒系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和力學(xué)特性的有效手段[16?19].目前,人們已經(jīng)利用聲學(xué)手段對3維(3D)顆粒體系低壓下聲學(xué)特性進(jìn)行了大量研究,但是關(guān)于2D圓盤顆粒體系低壓強下是否也存在L玻璃態(tài)以及其低壓強下的聲學(xué)衰減、聲學(xué)非線性等行為的研究還較少.本文利用數(shù)值模擬手段對卸載過程中2D顆粒圓盤體系在低壓強下的聲學(xué)行為展開了系統(tǒng)研究.首先,利用飛行時間法數(shù)值測量了卸載過程中不同壓強下二維單分散顆粒體系中的橫波聲速vt和縱波聲速vl,進(jìn)一步研究了剪切模量G與體積模量B的比值G/B隨壓強的變化規(guī)律,結(jié)果表明,在低壓強區(qū)域2D單分散圓盤顆粒體系處于L玻璃態(tài).其次,利用傅里葉變換研究了非線性系數(shù)、聲學(xué)衰減系數(shù)隨壓強P的變化以及衰減系數(shù)α隨頻率f的變化規(guī)律,并且進(jìn)一步研究了2D圓盤顆粒系統(tǒng)中散射相關(guān)的特征長度??隨壓強的變化規(guī)律.本文的結(jié)果對于進(jìn)一步理解2D顆粒體系中是否存在L玻璃態(tài)以及L玻璃態(tài)的聲學(xué)衰減及非線性行為的規(guī)律有所幫助.

2 數(shù)值模擬

研究的顆粒體系由2048個質(zhì)量相同的無摩擦單分散圓盤顆粒組成,它們被隨機放置在邊長為L的正方形盒子中,采用周期性邊界,且不考慮重力的影響.顆粒與顆粒間的相互作用為單邊線性彈簧,即當(dāng)顆粒i和j間距rij=ri?rj小于它們的半徑之和時存在相互作用,其中ri,rj分別為顆粒i和j的位置矢量.接觸力的法向分量由給出,其中,kn是法向接觸剛度,ζ為阻尼比,nij=rij/|rij|是顆粒i中心指向顆粒j中心的單位矢量,mi和mj是顆粒i和顆粒j的質(zhì)量.在本文的模擬中,顆粒法向剛度系數(shù)為1.0×106N/m,切向剛度系數(shù)為0.

非熱(T=0)顆粒體系的具體制備過程如下:首先,在邊長為L的正方形盒子中隨機生成2048個半徑很小的單分散光滑圓盤顆粒.接著,一步增大顆粒半徑使體系的體積分?jǐn)?shù)達(dá)到某一固定值(P/T=∞).然后,采用共軛梯度使得體積能量趨于能量極小的亞穩(wěn)態(tài),可認(rèn)為體系為非熱體系(T=0).最后,通過逐漸減小顆粒半徑的方法對體系進(jìn)行卸載,生成一系列壓強的穩(wěn)定顆粒構(gòu)形. 本文分別取σ,m,ε/σ2和（其中,σ=Ri+Rj為顆粒的平均直徑,m為顆粒的質(zhì)量,為體系特征能量,Ri與Rj分別為體系中顆粒i與顆粒j的半徑為長度、質(zhì)量、壓強和頻率的單位.

采用飛行時間(TOF)法測量顆粒體系的聲速,測量過程中分別使用單個顆粒作為激勵源和接收器.具體的測量過程如下:用單個正弦脈沖信號驅(qū)動激勵源顆粒,使它從初速度為零開始在水平(或垂直)方向上做一個完整的正弦振動(v=0.0001ωsin(ωt),時間步長t0=Tperiod/1000,Tperiod為周期,反比于圓頻率ω),同時記錄激勵和接收顆粒的v-t曲線.測量發(fā)射端信號、接收端信號第一個波峰的時間差tTOF=t2?t1(其中,t1和t2分別是激勵脈沖和接受脈沖的第一個波峰對應(yīng)的時間).進(jìn)而可以得到聲速vTOF=l/tTOF(l為激勵源和接收器顆粒間的距離).

采用傅里葉變換法來研究顆粒物質(zhì)中的聲學(xué)衰減和非線性現(xiàn)象.實驗過程中,用連續(xù)的正弦信號激勵顆粒,并同時記錄激勵顆粒和接受顆粒的振動速度隨時間的變化,如圖1所示.通過對接收和發(fā)射信號的傅里葉變換分析,從中提取出接收信號和發(fā)射信號的基頻、二倍頻幅值.可進(jìn)一步得到聲衰減系數(shù)其中,l為接收顆粒與激勵顆粒之間的距離,I0為激勵顆粒的振動強度即初始強度,I(l)為接收顆粒的振動強度即通過介質(zhì)顆粒衰減后的強度),及接收信號二倍頻幅值與接收信號基頻幅值平方的比值,進(jìn)而研究顆粒物質(zhì)的非線性特性.

圖1 激勵波形速度度幅A1(黑線)和接收波形的速度振幅A2(藍(lán)線)隨時間t的變化Fig.1.Time t dependence of velocity amplitude of exciting waveform A1(black line)and velocity amplitude of receiving waveform A2(blue line).

3 結(jié)果與討論

3.1 橫波、縱波聲速及材料剪切模量與體積模量比值G/B隨壓強的變化

圖2(a)和圖2(b)分別顯示了用飛行時間法測得的2D圓盤顆粒體系的橫波聲速vt和縱波聲速vl隨壓強的變化曲線.由圖2可知,vt(P)和vl(P)曲線均呈現(xiàn)分段行為:當(dāng)P＜10?4時,橫縱波聲速均隨壓強的增加冪律減小,vt～P?0.446,vl～P?0.232;當(dāng)P＞10?4時,橫波、縱波聲速均隨壓強增加冪律增大,vt～P0.202,vl～P0.338,與線彈性接觸理論[5,20]預(yù)言vt～P1/4一致.應(yīng)該指出的是,關(guān)于3D球形顆粒體系vt-P和vl-P曲線的分段行為在Somfai等[21]的數(shù)值模擬、Jia等[22]及張攀等[23]的實驗中也有報道,Lherminier等[24]在研究聲波通過受壓的二維顆粒介質(zhì)時也發(fā)現(xiàn)了類似現(xiàn)象.值得一提的是,圖2給出的vt(P)和vl(P)曲線的分段行為與理論的預(yù)言并不一致,即在本文的體系中vt(P)和vl(P)曲線呈現(xiàn)先冪律減小再冪律增大的規(guī)律.這可能對應(yīng)著卸載過程中在振動源顆粒和接收顆粒之間形成了一個強力鏈,導(dǎo)致測得的橫波和縱波聲速都按冪律增加.vt(P)和vl(P)曲線的拐點實際上對應(yīng)著在振動源顆粒和接收顆粒之間強力鏈的形成點.關(guān)于整體壓強降低過程中,在體系局部形成強力鏈的過程的物理機制值得進(jìn)一步研究.

圖2 聲波在光滑顆粒物質(zhì)中的傳播速度與壓強的依賴關(guān)系,實線為擬合曲線 (a)橫波速度與壓強的冪律關(guān)系;(b)縱波速度與壓強的冪律關(guān)系;(c)剪切模量與體積模量的比值G/B與壓強P的變化關(guān)系Fig.2.Pressure dependence of velocity of acoustic wave propagating through frictionless granular matter,the solid line are the fitted line:(a)The velocity of transversal wave versus pressure exhibits picewise power law scaling behaviors;(b)the velocity of longitudinal wave versus pressure shows similar picewise power law as that of transversal wave;(c)the ratio of shear modulus and bulk modulus G/B versus pressure P.

材料剪切模量與體積模量的比值G/B是反映材料塑性的重要物理量,例如:對于液體,G/B=0;對于赫茲接觸固體,G/B～P1/3.為了探究卸載過程中2D顆粒體系塑性轉(zhuǎn)變,根據(jù)進(jìn)一步得到2D顆粒體系的圖2(c)顯示了2D顆粒體系剪切模量與體積模量比值G/B隨壓強P的變化規(guī)律.由圖2(c)可知,在本文研究的低壓強范圍內(nèi),2D顆粒體系的G/B隨P的變化也出現(xiàn)了類似于在3D顆粒體系中[7,23]發(fā)現(xiàn)的隨壓強P增加G/B減小的現(xiàn)象,G/B～P?0.502,而與線彈性接觸理論[5,20]預(yù)言的在P＞Pj情況下G/B～P1/2不同.有趣的是,Wang等[7]的數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)在卸載過程中硬球膠體玻璃分別經(jīng)歷高壓強的TL玻璃態(tài)到低壓強的L玻璃態(tài)及從L玻璃態(tài)到未堵塞態(tài)的兩次轉(zhuǎn)變,并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)處在硬球玻璃的等效區(qū)域L玻璃區(qū)域,即Pg＜P＜Pj(Pg是玻璃化轉(zhuǎn)變點)時,赫茲接觸顆粒體系G/B～P?1/2,與張攀等[23]的實驗結(jié)果及本文在2D顆粒體系的低壓強范圍內(nèi)中發(fā)現(xiàn)的G/B～P?0.502接近,暗示在低壓強范圍內(nèi)2D顆粒體系也處于L玻璃態(tài).值得一提的是,2D顆粒體系和3D顆粒體系在L玻璃態(tài)的中G/B隨壓強的標(biāo)度指數(shù)與顆粒作用勢無關(guān),具體原因有待進(jìn)一步研究.

3.2 衰減系數(shù)隨頻率的變化

通常,非均勻介質(zhì)的聲學(xué)衰減分為吸收衰減αa(ω)=Aω和由于聲阻抗不連續(xù)發(fā)生在顆粒邊界和缺位的彈性散射αs(ω).其中αs(ω)隨頻率的冪律關(guān)系由散射機制決定[25],例如:對于瑞利散射,即入射波長頻率λ遠(yuǎn)大于散射體的平均尺寸D(λ ?D),αs(f)=S1D3ω4;對于隨機散射(λ≤D),αs(f)=S2Dω2;對于幾何散射(λ?D),αs(f)=S3/D.為了研究2D顆粒體系的聲學(xué)衰減機制,數(shù)值測量了壓強P=0.2,0.1,0.02,0.01,0.002,0.001,0.0002,0.0001時2D顆粒體系的橫波和縱波衰減系數(shù)隨頻率的變化,如圖3(a)和圖3(b)所示.為了避開系統(tǒng)共振的影響,本文對遠(yuǎn)離共振峰的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合,如圖3中的實線所示.由圖3(a)和圖3(b)可知,2D顆粒物質(zhì)的橫波、縱波衰減系數(shù)均隨頻率呈分段規(guī)律:當(dāng)f＜0.05時,橫波、縱波的衰減系數(shù)均不隨頻率的增加而變化;當(dāng)0.05＜f＜0.35時,橫縱波衰減系數(shù)與頻率成正比αT～f,αL～f,意味著在0.05—0.35頻率范圍(在P=0.02壓強下,對應(yīng)橫波波長2.11—15.464,縱波波長9.726—64.895)內(nèi),2D顆粒物質(zhì)中的衰減的主要機制為吸收衰減;當(dāng)f＞0.35時,αT～f2,αL～f1.5,此時衰減機制中除了吸收衰減還有瑞利散射衰減[25].值得一提的是,在f＞0.35范圍內(nèi),橫波和縱波衰減隨頻率的變化不同(αT～f2,αL～f1.5),可能與橫波和縱波波長不同導(dǎo)致散射衰減占總衰減的比例不同有關(guān)[26].

圖3 壓強P=0.2,0.1,0.02,0.01,0.002,0.001,0.0002,0.0001時,衰減系數(shù)α與頻率f的變化 (a)橫波的衰減系數(shù)αT隨頻率f的變化;(b)縱波的衰減系數(shù)αL隨頻率f的變化;圖中用實線顯示不同壓強范圍內(nèi)衰減系數(shù)隨頻率的冪律關(guān)系Fig.3.The attenuation coefficient α versus frequency f at P=0.2,0.1,0.02,0.01,0.002,0.001,0.0002,0.0001:(a)The attenuation coefficient of transversal acoustic αTversus frequency f;(b)the attenuation coefficient of longitudinal acoustic αLversus frequency f.The solid line in the figure shows the picewise power law frequency dependence of attenuation coefficient.

3.3 衰減系數(shù)隨壓強的變化

衰減系數(shù)的標(biāo)度分析能夠提供對jammed固體結(jié)構(gòu)的洞察力.為了研究2D顆粒體系中散射特征長度隨壓強的演化,本文測量了卸載過程2D顆粒物質(zhì)橫波、縱波長波長衰減系數(shù)隨壓強的變化,如圖4(a)和圖4(b)所示.由圖4(a)和圖4(b)可知,2D顆粒物質(zhì)的橫波、縱波衰減系數(shù)均隨壓強也呈分段現(xiàn)象.當(dāng)P＜10?4時,橫縱波的衰減系數(shù)αT,αL幾乎不隨壓強變化;而當(dāng)P＞10?4時,橫縱波的衰減系數(shù)αT,αL均隨壓強的增大而呈冪律減小,αT～P?0.099,αL～P?0.105.2D顆粒系統(tǒng)中聲衰減系數(shù)αT,αL隨壓強的變化與系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)隨壓強調(diào)整有關(guān).即隨著壓強的增大,顆粒的平均接觸數(shù)增加,顆粒體系內(nèi)部結(jié)構(gòu)更不容易發(fā)生調(diào)整,使得橫波和縱波的聲學(xué)耗散相應(yīng)減小.這一點與Hong[27]對一維水平干顆粒能量衰減的研究及Liu等[28,29]、張攀等[23]對顆粒3D體系衰減耗散的研究定性一致.注意到彈性散射對衰減系數(shù)的貢獻(xiàn)與散射平均自由程ls(ω)成反比,α(ω)～1/ls,在顆粒介質(zhì)中,觀察到聲音衰減由橫向波支配.根據(jù)瑞利定律,ls(ω)～(vt/ω)4(1/D)3(其中,D是表征對散射負(fù)責(zé)的無序結(jié)構(gòu)的長度尺度),可以得到α(ω)～(ω/vt)4D3.P＜10?4時,vt∝P?0.446,P＞10?4時,vt～P0.202,αT～P?0.099,將測得的2D顆粒體系的橫波聲速,代入α(ω)～(ω/vt)4D3式,可進(jìn)一步得到與散射相關(guān)特征長度隨壓強的標(biāo)度:P＜10?4時,??～D～P?0.595;P＞10?4時,??～D～P0.236.在低壓強下的結(jié)果與文獻(xiàn)[5,14]中長波長的剪切波在J點附近存在??～P?1/2并在J點處發(fā)散的結(jié)果一致.綜合考慮圖2中vt(P)和vl(P)曲線的分段行為(P=10?4為拐點),我們認(rèn)為這里發(fā)現(xiàn)的與散射相關(guān)特征長度隨壓強的分段標(biāo)度可能與vt(P)和vl(P)曲線的分段行為具有相同的結(jié)構(gòu)起源,即在卸載(整體壓強下降)過程中在振動源顆粒和接收顆粒之間形成了一個強力鏈有關(guān).對比圖4(a)和圖4(b)可知,橫波衰減隨壓強變化的冪指數(shù)與縱波衰減隨壓強的變化的冪指數(shù)基本一致,說明縱波與橫波的衰減行為并無太大不同.

圖4 衰減系數(shù)隨壓強的依賴關(guān)系 (a)在1×10?4—0.2的壓強范圍內(nèi),橫波衰減系數(shù)隨壓強冪律減小αT～P?0.099,實線為冪律擬合曲線;(b)在1×10?4—0.2的壓強范圍內(nèi),縱波衰減系數(shù)隨壓強的冪律依賴αL～P?0.105,實線為冪律擬合曲線Fig.4.The pressure dependence of attenuation coeffi-cient,the line is a power law fit:(a)The power law decrease of attenuation coefficient of transversal acoustic αTwith the pressure P increasing from 1×10?4to 0.2,αT～P?0.099;(b)the power law decrease of attenuation coefficient of longitudinal acoustic αLwith pressure P increasing from 1×10?4to 0.2,αL～P?0.105.

3.4 非線性系數(shù)隨壓強的變化

顆粒材料是典型的非均勻系統(tǒng),體系內(nèi)部的弱接觸使得體系表現(xiàn)出強烈的非線性.由于系統(tǒng)非線性的影響,當(dāng)用正弦信號激勵顆粒介質(zhì)時,顆粒介質(zhì)中聲波除了一階聲波外,還會出現(xiàn)二階甚至更高階的諧波.非線性系數(shù)（其中,A1是接收基頻振幅A2是接收二倍頻的振幅,v代表聲速,ω代表頻率)是一個表征非線性大小的重要參數(shù),非線性系數(shù)越大,二次諧波成分越大,波形畸變越嚴(yán)重.為了研究壓強變化對系統(tǒng)非線性的影響,本文數(shù)值測量了2D顆粒體系橫波、縱波非線性系數(shù)隨壓強的變化,如圖5(a)和圖5(b)所示.由圖5(a)和圖5(b)可知,2D顆粒體系橫波、縱波二倍頻振幅與基頻振幅平方的比值均隨壓強呈分段關(guān)系:當(dāng)P＜10?5時,橫縱波的不隨壓強變化;當(dāng)P＞10?5時,橫波、縱波二倍頻振幅與基頻振幅平方的比值均隨壓強增大冪律減小:利用本文測得的可進(jìn)一步得到橫波、縱波非線性系數(shù)隨壓強的冪律標(biāo)度:當(dāng)P＜10?4時,橫波非線性系數(shù)βT∝P?0.230,縱波則與壓強無明顯的依賴關(guān)系.當(dāng)P＞10?4時,兩者均隨壓強增大呈冪律減小βT～P?0.703,βL～P?0.684.顆粒體系非線性系數(shù)隨壓強增加而減小可能與體系結(jié)構(gòu)隨壓強調(diào)整有關(guān),即隨著壓強的增加,顆粒間的接觸緊密,隨著接觸網(wǎng)絡(luò)的變化,非線性系數(shù)減小.值得注意的是,2D顆粒體系表現(xiàn)出與3D赫茲接觸顆粒體系[30]類似的非線性隨壓強的冪律衰減.但是,當(dāng)P＞10?4時,2D體系的非線性系數(shù)隨壓強變化的冪指數(shù)的絕對值略大于3D體系β～P?0.51的冪指數(shù).

需要強調(diào)的是,以單一顆粒激勵作為聲源可能會測量到力鏈效應(yīng).本文中測量到的vt(P)和vl(P)曲線以及與散射相關(guān)特征長度隨壓強變化曲線的分段標(biāo)度很可能與卸載(整體壓強下降)過程中在振動源顆粒和接收顆粒之間形成了一個強力鏈有關(guān).另外,由單粒子源輻射引起的擴(kuò)散衰減的削減可能與在源顆粒和接收顆粒之間存在的多個衰減通路的統(tǒng)計平均有關(guān).

圖5 (a)橫波非線性系數(shù)隨壓強的變化,在低壓強下βT～P?0.230,在高壓強下βT～P?0.703,實線為擬合曲線;(b)縱波非線性系數(shù)隨壓強的變化,在高壓強下βL～P?0.684;插圖為橫縱波的二倍頻振幅與基頻振幅平方的比值隨壓強P的變化關(guān)系,實線為擬合曲線Fig.5.(a)The pressure dependence of the nonlinear coeffcient of transverse wave,βT～P?0.230,at lower pressure,βT～P?0.703,at higher pressure,and the solid line is a power law fit;(b)the pressure dependence of the nonlinear coefficient of longitudinal wave,βL～P?0.684,at higher pressure.The inset is the ratio of the second harmonic amplitude of the transverse and longitudinal wave to the square of the fundamental frequency amplitudewith pressure P,and the line is a power law fit.

4 結(jié) 論

數(shù)值研究了在二維光滑圓盤顆粒體系中傳播過程的橫波、縱波的聲速、剪切模量與體積模量的比值G/B、聲衰減及非線性效應(yīng)隨壓強的變化規(guī)律,得到如下結(jié)論.

1)2D顆粒體系中,橫波和縱波聲速隨壓強的變化均出現(xiàn)了分段現(xiàn)象,當(dāng)P＜10?4時,橫縱波聲速均隨壓強的增大而減小,vt～P?0.446,vl～P?0.232;而當(dāng)P＞10?4時,橫波、縱波聲速均隨壓強呈現(xiàn)冪律關(guān)系為vt～P0.202,vl～P0.338.由此可以得到2D圓盤顆粒體的G/B隨壓強P的變化關(guān)系G/B～P?0.502對應(yīng)著L玻璃態(tài).

2)2D顆粒體系中橫波和縱波衰減隨頻率的變化規(guī)律不同:對于橫縱波,在低頻率下,有α～f,暗示2D顆粒體系的橫縱向衰減主要是起因于阻尼導(dǎo)致的吸收衰減及少部分散射衰減.而在高頻率下,橫波經(jīng)歷了αT～f到αT～f2的轉(zhuǎn)變,縱波經(jīng)歷了αL～f到αL～f1.5的轉(zhuǎn)變.表明隨頻率的增加,橫縱波衰減中的散射衰減成分增加.

3)2D顆粒體系的聲衰減系數(shù)隨壓強也呈分段規(guī)律:當(dāng)P＜10?4時,橫波、縱波聲衰減系數(shù)αT和αL幾乎都不隨壓強變化;當(dāng)P＞10?4時,橫波、縱波聲衰減系數(shù)與壓強呈現(xiàn)冪律規(guī)律,αT～P?0.099,αL～P?0.105,進(jìn)而得到2D顆粒體系散射相關(guān)的特征長度??隨壓強P的冪律關(guān)系:當(dāng)P＜10?4時??～P?0.595;當(dāng)P＞10?4時??～P0.236.

4)2D顆粒體系的橫波的非線性響應(yīng)要略大于縱波,且橫波、縱波非線性系數(shù)隨壓強的變化也呈分段現(xiàn)象:當(dāng)P＜10?4時,橫波非線性系數(shù)βT～P?0.230,βL不隨壓強變化;而當(dāng)P＞10?4時,橫波、縱波非線性系數(shù)均隨壓強P的增加呈冪律減小,βT～P?0.703,βL～P?0.684.在高壓強下非線性系數(shù)的減小暗示高壓強下顆粒間的接觸緊密,沿強力鏈傳播的聲波產(chǎn)生了更少的非線性響應(yīng).

[1]Liu A J,Nagel S R 1998Nature396 21

[2]Henkes S,Chakraborty B 2005Phys.Rev.Lett.95 198002

[3]O’Hern C S,Silbert L E,Nagel S R 2003Phys.Rev.E68 011306

[4]O’Hern C,Langer S,Liu A,Nagel S 2002Phys.Rev.Lett.88 075507

[5]Xu N 2011Front.Phys.6 109

[6]Ikeda A,Berthier L 2015Phys.Rev.E92 012309

[7]Wang X,Zheng W,Wang L,Xu N 2015Phys.Rev.Lett.114 035502

[8]Coulais C,Behringer R P,Dauchot O 2014Soft Matter10 1519

[9]Karimi K,Maloney C E 2015Phys.Rev.E92 022208

[10]Sussman D M,Goodrich C P,Liu A J,Nagel S R 2015Soft Matter11 2745

[11]Wyart M,Nagel S R,Witten T A 2005Europhys.Lett.72 486

[12]Wyart M,Silbert L,Nagel S 2005Phys.Rev.E72 051306

[13]Silbert L,Liu A,Nagel S 2005Phys.Rev.Lett.95 098301

[14]Vitelli V 2010Soft Matter6 3007

[15]Mizuno H,Silbert L E,Sperl M 2016Phys.Rev.Lett.116 068302

[16]Merkel A,Tournat V,Gusev V 2014Phys.Rev.E90 023206

[17]Zhang Q,Li Y,Hou M,Jiang Y,Liu M 2012Phys.Rev.E85 031306

[18]Zhang Q,Li Y C,Liu R,Jiang Y M,Hou M Y 2012Acta Phys.Sin.61 234501(in Chinese)[張祺,李寅閶,劉銳,蔣亦民,厚美瑛2012物理學(xué)報61 234501]

[19]Zheng H P 2014Chin.Phys.B23 054503

[20]Vitelli V,Xu N,Wyart M,Liu A J,Nagel S R 2010Phys.Rev.E81 021301

[21]Somfai E,Roux J N,Snoeijer J,van Hecke M,van Saarloos W 2005Phys.Rev.E72 021301

[22]Jia X,Caroli C,Velicky B 1999Phys.Rev.Lett.82 1863

[23]Zhang P,Zhao X D,Zhang G H,Zhang Q,Sun Q C,Hou Z J,Dong J J 2016Acta Phys.Sin.65 024501(in Chinese)[張攀,趙雪丹,張國華,張祺,孫其誠,侯志堅,董軍軍2016物理學(xué)報65 024501]

[24]Lherminier S,Planet R,Simon G,Vanel L,Ramos O 2014Phys.Rev.Lett.113 098001

[25]West B J,Shlesinger M F 1984J.Stat.Phys.36 779

[26]Langlois V,Jia X 2015Phys.Rev.E91 022205

[27]Hong J 2005Phys.Rev.Lett.94 108001

[28]Wang P J,Li Y D,Xia J H,Liu C S 2008Phys.Rev.E77 060301

[29]Wang P J,Xia J H,Li Y D,Liu C S 2007Phys.Rev.E76 041305

[30]Brunet T,Jia X,Johnson P A 2008Geophys.Res.Lett.35 L19308

Numerical study on acoustic behavior of two-dimensional granular system?

Liu Xiao-Yu1)Zhang Guo-Hua1)?Sun Qi-Cheng2)?Zhao Xue-Dan1)Liu Shang1)

1)(Department of Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China)
2)(State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

15 May 2017;revised manuscript

17 July 2017)

The transversal and longitudinal wave velocities,the acoustic attenuation coefficients,the nonlinear coefficients at different pressures and the acoustic attenuation coefficient as a function of frequency in a two-dimensional(2D)monodisperse disc system are numerically calculated.The results show that the transversal and longitudinal wave velocities both exhibit a piecewise power law with pressureP.WhenP＜10?4,the velocity decreases with the increase of pressure in the 2D disc granular system,and whenP＞10?4,the transversal wave velocityVtand longitudinal wave velocityVlshow the scaling power laws,i.e.,vt～P0.202andvl～P0.338,respectively.The ratio of the shear modulus to the bulk modulusG/Bshows a power law scaling with the pressure,G/B～P?0.502,implying that the system lies in an L glass state at low pressure,similar to that of a three-dimensional(3D)spherical granular system.The attenuation coefficients(αT,αL)of the horizontal excitation and vertical excitation also show the picecewise behaviors with the change of frequencyf.Whenf＜0.05,neither of the two attenuation coefficients changes with frequencyf.Whenf＞0.05,α∝fαT,αL∝f.And whenf＞0.35,αT∝f2andαL∝f1.5.In addition,the nonlinear coefficient and the attenuation coefficient of the 2D disc granular system under the vertical and horizontal excitation both also show a piecewise law behavior with pressure,similar to that of the acoustic velocity.WhenP＜10?4,only the transversal nonlinear coefficient changes according toβT∝P?0.230,while the other coefficient has no change.WhenP＞10?4,the attenuation coefficients and nonlinear coefficients decrease according to their power law with the increase of pressure,i.e.,βT∝P?0.703,βL∝P?0.684,αT∝P?0.099,αL∝P?0.105.The characteristic length??,which characterizes the disordered structure responsible for the scattering,also decreases according to power law with the increase of pressure,whenP＜10?4,?? ∝P?0.595;whenP＞10?4,?? ∝P0.236.

granular matter,acoustic velocity,nonlinear,acoustic attenuation

PACS:45.70.–n,46.40.Cd,43.40.+sDOI:10.7498/aps.66.234501

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11272048,11572178,91634202).

?Corresponding author.E-mail:zhguohua@sas.ustb.edu.cn

?Corresponding author.E-mail:qcsun@tsinghua.edu.cn

(2017年5月15日收到;2017年7月17日收到修改稿)

數(shù)值測量了卸載過程中二維單分散圓盤顆粒系統(tǒng)的橫波、縱波聲速、聲衰減系數(shù)、非線性系數(shù)隨壓強的變化以及聲衰減系數(shù)隨頻率的變化.結(jié)果表明,二維(2D)圓盤顆粒體系的橫波、縱波聲速均隨壓強呈分段冪律標(biāo)度:當(dāng)壓強P＜10?4時,橫波、縱波聲速隨壓強的增大而減小;當(dāng)P＞10?4時,有vt～P0.202,vl～P0.338.進(jìn)一步得到其剪切模量和體積模量的比值G/B也隨壓強呈冪律標(biāo)度,G/B～P?0.502,暗示在低壓強下,與三維(3D)球形顆粒體系類似,2D圓盤顆粒體系也處于L玻璃態(tài).水平激勵和垂直激勵下2D圓盤顆粒系統(tǒng)的衰減系數(shù)隨頻率變化也呈現(xiàn)分段行為:當(dāng)頻率f＜0.05時,衰減系數(shù)不隨f變化;當(dāng)f＞0.05時,橫波縱波的衰減系數(shù)α～f;當(dāng)f＞0.35時,橫波衰減系數(shù)αT～f2,縱波衰減系數(shù)αL～f1.5.此外,豎直水平激勵下的2D圓盤顆粒系統(tǒng)的非線性系數(shù)和衰減系數(shù)隨壓強也呈現(xiàn)與聲速類似的分段規(guī)律:當(dāng)P＜10?4時,橫波非線性系數(shù)βT～P?0.230,其余都不隨壓強變化.當(dāng)P＞10?4時,兩者均隨壓強增大呈冪律減小:βT～P?0.703,βL～P?0.684,αT～P?0.099,αL～P?0.105.進(jìn)而得到2D圓盤顆粒系統(tǒng)中散射相關(guān)的特征長度??隨壓強呈冪律標(biāo)度,當(dāng)P＜10?4時,??～P?0.595;當(dāng)P＞10?4時,??～P0.236.

10.7498/aps.66.234501

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11272048,11572178,91634202)資助的課題.

?通信作者.E-mail:zhguohua@sas.ustb.edu.cn

?通信作者.E-mail:qcsun@tsinghua.edu.cn