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      厘清銳角三角函數(shù)中的邊、角、形

      2017-12-25 02:18:19金文衛(wèi)
      初中生世界 2017年47期
      關鍵詞:銳角三角鈍角直角

      金文衛(wèi)

      厘清銳角三角函數(shù)中的邊、角、形

      金文衛(wèi)

      正確理解銳角三角函數(shù)的定義是學好銳角三角函數(shù)的基礎,如果對銳角三角函數(shù)中的邊、角、形概念及相互關系理解不準確,就會出現(xiàn)諸多錯誤,如特殊角的三角函數(shù)值混淆,或在非直角三角形中想當然直接求解,或?qū)忣}思路不清,或思考不周全、分類不全面等.現(xiàn)對一些常見的因概念理解不清產(chǎn)生的錯誤解答加以剖析.

      一、忽略直角三角形存在性

      例1 在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,則tanB=________.

      【錯誤解法】解:如圖1,在△ABC中,

      圖1

      【錯解分析】銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的.本題中求tan∠B的值,而∠B所在的三角形不是直角三角形,就不能直接用三角函數(shù)定義去求解.解決這類問題通常有兩種方法:1.構造直角三角形;2.等角代換,即在已有的直角三角形中找到與所求角相等的角.這道題中沒有直角三角形,忽視直角三角形的存在性,因此導致解法錯誤.

      【正確解法】解:如圖2,作AD⊥BC于D點,

      ∵AB=AC,∴BD=CD=6,

      在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=10,BD=6,

      由勾股定理得

      圖2

      例2 如圖3,在△ABC中,AC=1,AB=2,∠BAC=60°,求BC的長.

      【錯誤解法】在△ABC中,AC=1,AB=2,∠BAC=60°,

      圖3

      【錯解分析】此題只給出條件“△ABC”,并沒有給出關于直角三角形的任何條件,在解答時,直接根據(jù)三角函數(shù)定義給予解答,導致錯誤的產(chǎn)生.本題要么先證出直角三角形,要么另作垂線構造直角三角形,然后再根據(jù)正弦定義進行求解.

      【正確解法1】如圖4,作BD⊥AC于D點,則∠BDA=90°,∴

      圖4

      【正確解法2】如圖5,過點C作CH⊥AB于H,則∠AHC=90°,∠BHC=90°,

      圖5

      在Rt△BHC中,∴BC=CH2+BH2=3.

      【啟示】數(shù)學問題的解決必須具備一定的條件背景,像解決有關三角函數(shù)問題就必須在直角三角形前提條件下解決.只要題目條件中沒有直角條件的,要么證出直角,要么添加輔助線構造直角,然后再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行求解.

      二、忽略邊角確定性

      例3 在等腰△ABC中,AB=5,BC=4,則sinA=________.

      【錯誤解法】如圖6,作CD⊥AB于D點,

      圖6

      【錯解分析】題干中只給出條件“等腰三角形”,并沒給出哪兩條邊是腰,而本題在解答時卻默認為AC、BC是腰,導致本題解答產(chǎn)生錯誤.本題應該分AC、BC為腰和AB、AC為腰兩種情況分別進行解答,才能使本題得到完整的解答.

      【正確解法】解:(1)當AC、BC為腰時,即AC=BC=4,如圖7,作CD⊥AB,交AB于點D,

      圖7

      (2)當AB、AC為腰時,即AC=AB=5,

      如圖8,作BD⊥AC,交AC于D點,

      圖8

      設AD=x,則CD=AC-AD=5-x,

      【啟示】通過添加輔助線,構造直角三角形,把非直角三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題,是求銳角三角函數(shù)的常用方法.但對一個三角形中邊角沒有確定時,必須要分類,即解答時能根據(jù)題意將各種情況羅列出來,分別進行解答.

      三、忽略直角三角形形狀的多樣性

      例4 在△ABC中,AB=2,AC=2,∠B=30°,求∠BAC的度數(shù).

      【錯誤解法】如圖9,過A點AD⊥CB于點D,∵在Rt△ADB中,∠B=30°,AB=2,

      圖9

      ∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°,

      ∴∠CAD=45°,

      ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°.

      【錯解分析】本題已知三角形中兩邊和其中一邊的對角,但題目中一沒給出具體圖形,二沒說明∠BAC是銳角還是鈍角,即三角形形狀不確定,所以解答時直接將∠BAC作為鈍角考慮,導致解答不全.要完整正確地解答此題,必須分清圖形形狀,即∠BAC是銳角還是鈍角,然后再分別解答.

      【正確解法】根據(jù)題意畫出草圖,并作AD⊥CB,垂足為D.

      ∵在Rt△ADB中,∠B=30°,AB=2,

      ∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°,

      在Rt△ADC中,AC=2 ,

      ∵AC>AD,

      ∴點D在線段BC上,或在BC延長線上.(1)當點D在線段BC上時,如圖10所示,則∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°.

      圖10

      (2)當D點在BC延長線上時,如圖11所示,則∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-45°=15°.

      綜上所述,∠BAC的度數(shù)為105°或15°.

      圖11

      【啟示】像這樣已知兩邊和其中一邊對角的三角形,其形狀不唯一,在實際應用時,往往忽略高在三角形外,即第二種情況.恰當應用分類討論思想是解決此題的關鍵.

      小試牛刀

      1.已知某等腰三角形的面積為2,腰長為 5,底角為α,求tanα的值.

      2.如圖,在△ABC中,點D為AB中點,DC⊥AC,sin∠BCD=,求tanA.

      (關注公眾號,回復“2017年12月數(shù)學”查答案)

      江蘇省宿遷市鐘吾初級中學)

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