基于Pareto分布的風(fēng)壓極值計算方法

李正農(nóng),曹守坤,王澈泉

(湖南大學(xué) 建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室,湖南 長沙 410082)

基于Pareto分布的風(fēng)壓極值計算方法

李正農(nóng)*,曹守坤,王澈泉

(湖南大學(xué) 建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室,湖南 長沙 410082)

為了利用短時距樣本得到具有指定保證率的風(fēng)壓極值，根據(jù)風(fēng)壓時程的自相關(guān)分析，從短時距風(fēng)壓樣本中得到足夠的峰值風(fēng)壓樣本，通過Pareto分布I型分布擬合峰值樣本的高尾部數(shù)據(jù)，并利用廣義極值分布和廣義Pareto 分布之間的關(guān)系對風(fēng)壓的極值做出估計，得到基于Pareto分布的風(fēng)壓極值計算方法。高層建筑表面的圍護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計取決于結(jié)構(gòu)的表面風(fēng)壓極值的選取。為了獲得準(zhǔn)確的風(fēng)壓極值，利用高層建筑風(fēng)洞試驗多次獨立采樣得到的數(shù)據(jù)，將基于Pareto分布的風(fēng)壓極值計算方法與基于經(jīng)典極值理論改進(jìn)的Gumbel法、改進(jìn)峰值因子法和Sadek-Simiu法進(jìn)行了比較，從風(fēng)壓極值的期望值和指定保證率的極值兩個方面對比可以發(fā)現(xiàn)，前者可以得到更為準(zhǔn)確的估計。

風(fēng)壓極值；風(fēng)洞試驗；Pareto分布；閾值；高層建筑

0 引 言

作用在建筑物表面的風(fēng)壓極值計算一直是風(fēng)工程中倍受關(guān)注的問題，研究人員和工程師們將得到的風(fēng)荷載極值用以驗算如幕墻等圍護(hù)結(jié)構(gòu)的局部安全性。由于風(fēng)荷載對于高層建筑的影響尤為突出，且高層建筑表面存在較多的圍護(hù)結(jié)構(gòu)或裝飾結(jié)構(gòu)，這些圍護(hù)結(jié)構(gòu)的存在對于表面風(fēng)場分布有較大的影響，因此對高層建筑結(jié)構(gòu)表面風(fēng)壓極值的計算就顯得尤為重要。

在風(fēng)洞試驗中，普遍應(yīng)用的風(fēng)荷載極值計算基本方法是Davenport[1]提出的基于高斯分布假定的峰值因子法。該方法基于脈動風(fēng)壓服從高斯分布為理論基礎(chǔ)，通過將平均風(fēng)壓加上峰值因子與脈動風(fēng)壓均方根的乘積得到風(fēng)壓的極值。對于建筑物表面的風(fēng)壓分布，有些區(qū)域風(fēng)壓服從高斯分布，但有些區(qū)域表面(如氣流分離區(qū))風(fēng)壓分布表現(xiàn)出明顯的非高斯特性，峰值因子法的假定就不成立，此時峰值因子法的應(yīng)用就受到很大的限制。

對于偏離高斯分布的風(fēng)壓極值計算方法,研究人員采用很多方法做了改進(jìn)。其中具有代表性的有：Kwon等[2]和Yang等[3]分別先后提出了基于Hermite多項式[4]模型的改進(jìn)峰值因子法；Simiu等[5]利用三參數(shù)Gumma分布和高斯分布擬合非高斯時程尾部的方法；Cook[6]提出了計算極值風(fēng)速的獨立風(fēng)暴法，簡記為MIS法，Harris[7-8]在此基礎(chǔ)上對MIS法進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)峰值因子法需要轉(zhuǎn)換公式滿足單調(diào)性的條件，但峰度和偏度有時不滿足該條件，限制了該方法的應(yīng)用范圍。Simiu等的映射方法在計算極值的過程中，采用了樣本的零值穿越率代替高斯過程的穿越率，并沒有從根本上擺脫高斯假定帶來的誤差。全涌等[9]采用了經(jīng)典極值理論，并根據(jù)風(fēng)壓時程樣本的相關(guān)系數(shù)發(fā)展了Gumbel法，采用全部觀察極值樣本計算極值分布參數(shù)，充分利用了樣本的內(nèi)部信息，且保證了風(fēng)壓極值樣本之間的獨立性；Quan等[10]采用廣義極值理論擴(kuò)展了該方法的實用范圍。

本文基于上述研究，根據(jù)廣義Pareto分布和廣義極值分布之間的關(guān)系，得到新的極值估計方法。通過高層建筑風(fēng)洞試驗對高層建筑表面的風(fēng)壓進(jìn)行多次采樣，得到足夠多的樣本數(shù)據(jù)，對現(xiàn)有幾種經(jīng)典的極值計算方法進(jìn)行比較，驗證新方法的有效性。

1 基于Pareto分布風(fēng)壓極值計算方法

1.1 基于Gumbel分布的極值計算方法

已有的研究表明，Gumbel分布由于擬合所需要的數(shù)據(jù)較少，且符合工程的要求，因此經(jīng)常采用Gumbel分布擬合極值分布。假定一個時間序列X，其概率密度函數(shù)如式(1)所示。

其中，σt和bt分別為觀察時距t對應(yīng)下的尺度參數(shù)和位置參數(shù)，x和t分別為風(fēng)壓系數(shù)和觀察時距。

為了擬合上述參數(shù)，傳統(tǒng)方法需要大量的樣本，先從N個觀察時距為t的樣本中獲取N個觀察極值，進(jìn)而獲取極值的概率分布函數(shù)。為了在有限的試驗樣本中獲取足夠數(shù)量的觀察極值，Cook等[11]提出將不同觀察時距下參數(shù)轉(zhuǎn)化的方法，對于不同觀察時距t和T下的位置參數(shù)和尺度參數(shù)，其關(guān)系如式(3)、式(4)所示。全涌等[9]根據(jù)時間序列的自相關(guān)系數(shù)與時間延遲的關(guān)系，確定了最小觀察時距，這樣就可以充分利用有限的數(shù)據(jù)擬合得到可靠的參數(shù)，從而得到極值的概率密度函數(shù)，進(jìn)而得到不同保證率下的風(fēng)壓極值系數(shù)。

1.2 極值概率分布模型的建立

通過式(2)我們可以知道，在短時距拓展到長時距的過程中，長時距下的極值分位數(shù)對應(yīng)于短時距下的極值高分位數(shù)，時距拓展的越長，極值對短時距下的極值分布尾部越敏感。圖1為高層建筑2個不同測點的風(fēng)壓極值分布，當(dāng)采用Gumbel分布擬合時，由于兼顧了全部的極值數(shù)據(jù)，導(dǎo)致對極值分布高尾部分估計存在誤差，導(dǎo)致對長時距下極值估計的偏差放大，因此，可以采用更為合理的方法對極值分布尾部做出更為準(zhǔn)確的估計。

根據(jù)經(jīng)典極值理論，對于式(1)，即Gumbel分布，設(shè)有足夠大的臨界點u，對于X>u的情況，有(X-u)服從廣義Pareto分布I型分布，兩者存在如下關(guān)系：

式中，H代表廣義極值分布I型分布，即Gumbel分布，G代表廣義Pareto分布I型分布。

基于廣義極值I型分布和廣義Pareto分布中的I型分布之間的關(guān)系，本文采用廣義Pareto分布中的I型分布來擬合極值分布的尾部數(shù)據(jù)，從而根據(jù)有限的數(shù)據(jù)得到風(fēng)壓極值的合理估計，在此簡記為S01法。在Gumbel分布的基礎(chǔ)上，對于式(1)，設(shè)定足夠大的臨界點u，對于X>u的情況，有(X-u)服從Pareto分布：

其中，u為閾值，σ、μ分別為尺度參數(shù)和位置參數(shù)。

根據(jù)式(6)，確定極值的概率分布函數(shù)為：

然后根據(jù)式(2)建立短時距與標(biāo)準(zhǔn)時距之間的關(guān)系，從而得到指定保證率p對應(yīng)的極值xp：

上述公式用于風(fēng)壓極大值的計算。對于風(fēng)壓極小值，對風(fēng)壓樣本取相反數(shù)，按求取極大值的方法得到風(fēng)壓的極小值。

1.3 極值分布參數(shù)的確定

基于Pareto分布的極值計算方法，需要確定式(8)中閾值u、尺度參數(shù)σ的值。對于閾值u的選取，本文采用Hasofer[12]建議取值：

其中：k為全部的觀察極值的個數(shù)，kTail為尾部數(shù)據(jù)的個數(shù)，對應(yīng)于閾值u的位置。閾值u確定以后，可以得到：

然后對式(7)進(jìn)行變換得到關(guān)于分布參數(shù)的線性函數(shù)：

對選取的高于閾值的kTail個獨立峰值按由小到大進(jìn)行排序，記為xv，對應(yīng)的可以得到FX(x)的估計量：

式(13)中fv(y)的函數(shù)表達(dá)式為：

通過對式(11)進(jìn)行最小二乘擬合即可得到分布參數(shù)的估計量使差平方和s2最小。對于平方和中每一項的作用大小，采用權(quán)系數(shù)wv來調(diào)整各項在平方差中的權(quán)重。差平方和的表達(dá)式如下：

為了使式(15)中對應(yīng)于自變量a、b的函數(shù)取最小值，分別令自變量的一階偏導(dǎo)數(shù)為0，得到關(guān)于自變量a、b線性方程組，然后根據(jù)線性方程組即可得到估計量：

2 風(fēng)洞試驗概況

試驗在湖南大學(xué)風(fēng)洞實驗室的HD-3大氣邊界層風(fēng)洞中進(jìn)行。試驗段長10 m，截面寬2.5 m，高3 m，轉(zhuǎn)盤直徑1.8 m，試驗段風(fēng)速0～20 m/s連續(xù)可調(diào)。試驗?zāi)Ｐ蜑閺B門沿海某高層建筑，測點沿模型高度分層布置，除3層布置22個測點外，其余層布置15個測點。

試驗采用A類風(fēng)場,試驗的幾何比尺、風(fēng)速比尺和時間比尺分別為1/200、1/8和1/25。風(fēng)壓數(shù)據(jù)采樣頻率為312.5 Hz。試驗中共進(jìn)行80次重復(fù)獨立采樣，每個樣本的數(shù)據(jù)為7500個，對應(yīng)于實際采樣時間600 s,即10 min。圖2為側(cè)風(fēng)面測點111的風(fēng)壓系數(shù)樣本。

各測點的風(fēng)壓系數(shù)由下式計算：

式中：Cpi(t)為試驗?zāi)Ｐ蜕系趇測壓孔所在位置的風(fēng)壓系數(shù)時間序列；Pi(t)為該位置處測得的表面風(fēng)壓的時間序列；V∞為參考點高度處的來流平均風(fēng)速。

3 基于高層建筑風(fēng)洞試驗數(shù)據(jù)的極值計算結(jié)果比較

已有研究表明，常用的峰值因子法對于非高斯風(fēng)壓的估計明顯存在誤差，因此本文只對改進(jìn)峰值因子法、Sadek-Simiu法、改進(jìn)Gumbel法(Quan法)和本文方法進(jìn)行比較，這四種方法依次簡記為KWO、SAD、H01和G01。

1) 對于H01法，通過對試驗數(shù)據(jù)的分析，確定最小觀察時距為4 s，因此從每個風(fēng)壓樣本中得到150個獨立峰值風(fēng)壓進(jìn)行擬合分析。

2) 采用KWO法計算時，要求偏度和峰度滿足要求：3-r4+(1.25r3)2≤0，其中r3、r4分別為風(fēng)壓樣本的偏度和峰度。對于不符合要求的點，通過調(diào)整偏度使3-r4+(1.25r3)2=0，滿足該方法要求。

3) 對于SAD法，計算三參數(shù)Gamma分布有極大似然估計法和矩估計法，由于兩者差別不大[5]，因此本文采用矩估計法。

將試驗得到的80個樣本的觀察極值xi進(jìn)行排序，并得到經(jīng)驗極值概率分布函數(shù)Femp：

根據(jù)經(jīng)驗極值概率分布函數(shù)式(19)得到指定保證率下的極值，并將此極值作為標(biāo)準(zhǔn)極值，同時將觀察極值的平均值作為標(biāo)準(zhǔn)的極值期望值。

首先，驗證上述四種方法對于風(fēng)壓極值計算的準(zhǔn)確性。圖3中分析的測點為高層建筑角部邊緣的側(cè)風(fēng)面測點111，具有明顯的非高斯特性，分別采用上述四種風(fēng)壓極值計算方法對該點的80個采樣樣本進(jìn)行計算。由于Gumbel分布的均值對應(yīng)于其57%分位數(shù)值，因此對保證率57%[15]下的計算極值與標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行對比，其結(jié)果如圖3所示。圖3中的紅色橫線為通過式(19)得到的57%保證率極值的標(biāo)準(zhǔn)值，分別采用箱形圖表示通過上述四種方法計算得到的極值，從圖中可以明顯看到上述四種方法對于極值計算的準(zhǔn)確性。對于極大值，采用SAD和G01計算得到的極值更接近于標(biāo)準(zhǔn)值，H01和KWO則明顯偏離標(biāo)準(zhǔn)值；對于極小值，采用G01、H01和KWO計算得到的極值接近于標(biāo)準(zhǔn)值，其中G01最為接近，而SAD則偏離較為嚴(yán)重。

其次，通過全部測點來驗證計算方法的穩(wěn)定性。對計算極值和標(biāo)準(zhǔn)值之間的誤差進(jìn)行量化處理，本文定義平均標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)SD[16]作為衡量標(biāo)準(zhǔn)：

從表1中可以發(fā)現(xiàn)，采用本文方法得到的極值和標(biāo)準(zhǔn)極值最為接近，平均標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)SD最小，H01法次之，SAD法誤差最大。

表1 平均標(biāo)準(zhǔn)差-57%保證率極值Table 1 The average of standard deviation for 57% guaranteed extreme

4 結(jié) 論

通過對高層建筑風(fēng)洞試驗多次采樣得到的數(shù)據(jù)，提出了用于計算高層建筑表面風(fēng)壓極值的計算方法。主要結(jié)論有：

1) 對于高層建筑整體的風(fēng)壓，由于選用的測點比較多，且測點包含高斯與非高斯風(fēng)壓，采用本文方法可以獲得更為準(zhǔn)確的風(fēng)壓極值，研究方法具有一般性的意義，可靠性較高。

2) 本文只是對高層建筑表面的風(fēng)壓進(jìn)行研究，對于其他建筑類型表面的風(fēng)壓，尚需要更多試驗的驗證。

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MethodofestimatingextremewindpressurebasedontheParetodistribution

LI Zhengnong*,CAO Shoukun,Wang Chequan

(KeyLaboratoryofBuildingSafetyandEnergyEfficiencyoftheChinaMinistryofEducation,HunanUniversity,Changsha410082,China)

In order to estimate extreme wind pressure with a determined guaranteed ratio,the Pareto distribution was applied to fit the tail part of peak wind pressures,which were extracted by using the autocorrelation of a wind pressure time history.The relationship between the Pareto distribution and the Gumbel distribution was also used for this estimation.The extreme wind pressure on the surface of high-rise buildings is closely associated with the safety of enclosure structures,so the accuracy of the calculated extreme value is essential.This new approach was applied to a high-rise building model repeatedly tested in wind tunnel experiments.The result show that the new approach delivers better estimations for the expectation and guaranteed ratio of extreme wind pressure than traditional methods such as the Gumbel model,modified Hermite model,and Sadek-Simiu model.Averaged standard deviation and specified warranty of wind pressure coefficient also show that the new approach provides not only more accurate but also more robust extreme value than current common methods.

extreme wind pressure; wind tunnel test; the Pareto distribution; threshold；high-rise building

0258-1825(2017)06-0812-05

TU312+.1

A

10.7638/kqdlxxb-2015.0143

2015-08-06;

2016-01-07

國家自然科學(xué)基金項目(51478179,51678233)

李正農(nóng)*(1962-)，男，湖北武漢人，工學(xué)博士，教授，主要從事建筑物抗震抗風(fēng)研究等.E-mail：zhn88@263.net

李正農(nóng),曹守坤,王澈泉.基于Pareto分布的風(fēng)壓極值計算方法[J].空氣動力學(xué)學(xué)報,2017,35(6):812-816.

10.7638/kqdlxxb-2015.0143 LI Z N,CAO S K,WANG C Q.Method of estimating extreme wind pressure based on the Pareto distribution[J].Acta Aerodynamica Sinica,2017,35(6):812-816.