三角形與其內(nèi)接相似三角形有關(guān)問題的研究

焦青云 郭要紅

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 241000)

設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB邊上的點(diǎn)，若△DEF∽△ABC，則稱△DEF為△ABC的內(nèi)接相似三角形.

文[1]給出了任意三角形與其內(nèi)接三角形相似的一個(gè)充要條件，讀后頗受啟發(fā)，由此引發(fā)的、需要研究的問題是：三角形的內(nèi)接相似三角形有多少個(gè)？三角形的內(nèi)接相似三角形的周長與面積有無最大、最小值？本文研究這些問題.

1 任意三角形的內(nèi)接相似三角形的個(gè)數(shù)

定理1任意三角形有無數(shù)個(gè)內(nèi)接相似三角形.

任意三角形的內(nèi)接相似三角形的畫法，如圖1.

圖1

在△ABC中，分別過A，B點(diǎn)作BC，AC的平行線交于點(diǎn)M，將△ABM繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)后與△ABC不重合)得△A′BM′，旋轉(zhuǎn)角度設(shè)為θ.連接M′C交AB于點(diǎn)F′，作F′D′∥BM′交BC于D′，D′E′∥A′B交A′C于E′.連接BE′并延長交AC于E點(diǎn)，作EF∥E′F′交AB于F，F(xiàn)D∥F′D′交BC于D，則△DEF為△ABC的內(nèi)接相似三角形.

證明顯然△BA′M′∽△BAM.

因?yàn)镋F∥E′F′，F(xiàn)D∥F′D′，

所以∠D′F′E′=∠DFE，

從而∠E′D′F′=∠EDF，△DEF∽△D′E′F′，

于是△DEF∽△ABC.

旋轉(zhuǎn)角θ不斷變化，定理1得證.

2 三角形的內(nèi)接相似三角形的周長、面積的最大、最小值

證明設(shè)a，b，c分別為∠A，∠B，∠C對應(yīng)邊的邊長，α，β，γ分別為∠A，∠B，∠C的角度，其中β≤α≤γ.P，S為△DEF的周長與面積，P′，S′為△D′E′F′的周長與面積.先討論θ的取值范圍.

顯然θ的最小值為0，隨著θ不斷增大，當(dāng)E′在AB上時(shí)，θ有最大值，此時(shí)內(nèi)接相似三角形與原三角形的一組對應(yīng)頂點(diǎn)共邊.如圖2，

θ=∠MBM′=∠MBN-∠M′BN

=∠MBN-∠F′D′B

=∠MBN-(∠E′F′D′-∠ABC)

=γ-(γ-β)=β

所以θ∈[0，β].

如圖3建立平面直角坐標(biāo)系.

圖3

因?yàn)镕′為lAB和lM′C的交點(diǎn)，于是

其中

T=bsin(α+β+θ)-tanβ(bcos(α+β+θ)-a).

并由正弦定理可得

P′ =|D′E′|+|D′F′|+|E′F′|

由yE′=|D′E′|sin(β+θ)，

+|D′E′|cos(β+θ)，

得

與lAC聯(lián)立解得

其中H=csinβsin(α+θ)-csinγsinθ+

asinγsin(β+θ).

令H′≤0，解得θ≥0.

于是P與S在θ=0處取得最小值，在θ=β處取得最大值，代入得

定理2得證.