在大學(xué)物理中適當(dāng)增加斑圖動(dòng)力學(xué)內(nèi)容的重要性

陳紹英袁國(guó)勇

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在大學(xué)物理中適當(dāng)增加斑圖動(dòng)力學(xué)內(nèi)容的重要性

陳紹英1袁國(guó)勇2

（1.呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào)編輯部 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008； 2.河北師范大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院 河北 石家莊 050016）

作為非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，斑圖動(dòng)力學(xué)是中一直受到廣大學(xué)者的重視，而螺旋波動(dòng)力學(xué)又是斑圖動(dòng)力學(xué)中的重要研究方向。把斑圖動(dòng)力學(xué)的核心內(nèi)容介紹給本科生，可進(jìn)一步豐富學(xué)生的非線性科學(xué)知識(shí)，加深其對(duì)學(xué)科交叉重要意義的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

斑圖 螺旋波 交叉學(xué)科

當(dāng)前,非線性科學(xué)各個(gè)研究領(lǐng)域非?；钴S，其中斑圖（pattern）動(dòng)力學(xué)的研究一直受到專家、學(xué)者們的關(guān)注。把非線性科學(xué)的知識(shí)內(nèi)容融入到本科課堂中已有了很多探索[1-3]，并且在有些高校中已取得很好的效果，編寫了相應(yīng)的教材，開設(shè)了相關(guān)課程或選修課[4-5]，但在非線性知識(shí)內(nèi)容介紹上主要集中在混沌（包括量子混沌）、分形、混沌控制等方面[6-9]，而對(duì)和大自然及人們生活緊密相關(guān)的斑圖動(dòng)力學(xué)內(nèi)容介紹的較少。斑圖是在空間或時(shí)間上具有某種規(guī)律性的非均勻宏觀結(jié)構(gòu)，許許多多的斑圖結(jié)構(gòu)形成了絢麗多彩的大自然。不同的系統(tǒng)在不同的條件下可產(chǎn)生各式各樣的斑圖，它廣泛存在于我們的世界中。如宇宙中的星際分布，連綿起伏的沙丘及微觀世界原子、分子的自組織排列。同樣，在人們?nèi)粘Ｉ钪邪邎D也是隨處可見的。例如，動(dòng)物皮毛表面上的斑紋，土地的龜裂，液體受熱的對(duì)流花樣等等，可以說綺麗多彩的各種各樣的斑圖是自然給予人類最美麗的饋贈(zèng)，如圖1所示。而人類在對(duì)這些瑰麗的時(shí)空結(jié)構(gòu)充滿好奇的同時(shí)，也在孜孜不倦地探究著這些時(shí)空斑圖背后的產(chǎn)生機(jī)理和規(guī)律。因而了解斑圖的產(chǎn)生機(jī)制，對(duì)于揭開自然界形成之謎有重要意義。在斑圖動(dòng)力學(xué)的研究領(lǐng)域中,螺旋波動(dòng)力學(xué)一直是一個(gè)重要的研究方向并取得長(zhǎng)足的進(jìn)展，也是在實(shí)踐中有重要應(yīng)用的研究領(lǐng)域，特別是其在醫(yī)學(xué)上對(duì)開發(fā)新的治療心臟病方法將具有重要的指導(dǎo)意義。時(shí)代發(fā)展要求高校物理教育改革不斷深化，將新的研究成果引入到本科課程中有助于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)，促進(jìn)本科教學(xué)水平的不斷提升。斑圖動(dòng)力學(xué)作為一門橫向科學(xué)，研究的內(nèi)容學(xué)科交叉是它一大特點(diǎn)，涉及到物理學(xué)、化學(xué)、數(shù)學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域。因此，將斑圖動(dòng)力學(xué)研究比較成熟的部分內(nèi)容適當(dāng)引入大學(xué)物理本科課程中有利于學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。筆者一直關(guān)心大學(xué)物理教學(xué)現(xiàn)代化問題，此前也曾撰文討論過把混沌理論及混沌控制的思想引入大學(xué)物理本科教學(xué)中[8]。國(guó)內(nèi)有很多院校也在此方面做了有益的嘗試，在拓展學(xué)生知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)方面起到較好的作用。

圖1 自然界中存在的典型時(shí)空斑圖結(jié)構(gòu)[引自文獻(xiàn)10]

1. 斑圖動(dòng)力學(xué)的歷史和研究進(jìn)展

斑圖動(dòng)力學(xué)是非線性科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)重要分支，它和孤立子與孤波,時(shí)空混沌,元胞自動(dòng)機(jī)，分形結(jié)構(gòu)等非線性問題同樣受到研究者的關(guān)注。從熱力學(xué)角度看，自然界的斑圖既可存在熱力學(xué)斑圖動(dòng)力學(xué)是非線性科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)重要分支，它和孤立子與孤波,時(shí)空混沌,元胞自動(dòng)機(jī)，分形結(jié)構(gòu)等非線性問題同樣受到研究者的關(guān)注。從熱力學(xué)角度看，自然界的斑圖既可存在熱力學(xué)平衡條件下的系統(tǒng)中，也可存在于許多遠(yuǎn)離平衡態(tài)的非線性系統(tǒng)中。對(duì)于前者，例如各種礦石上出現(xiàn)的沉積結(jié)構(gòu)、無機(jī)化學(xué)中晶體結(jié)構(gòu)形成的斑圖等，可用統(tǒng)計(jì)物理的有關(guān)原理和熱力學(xué)平衡態(tài)知識(shí)解釋。根據(jù)平衡態(tài)熱力學(xué)規(guī)律，在給定的溫度與壓強(qiáng)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)自發(fā)地向吉布斯自由能最小的方向移動(dòng)，形成某些空間有序結(jié)構(gòu)[10]。而對(duì)于后者，例如斑馬體表的條紋、化學(xué)反應(yīng)的振蕩波等,則需要從動(dòng)力學(xué)角度探討這類斑圖的成因和規(guī)律，因?yàn)樗鼈兪窃谶h(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)的情況下形成的，經(jīng)典的熱力學(xué)理論對(duì)其不再適用?，F(xiàn)在所說的斑圖動(dòng)力學(xué)就是以遠(yuǎn)離平衡態(tài)條件下形成的斑圖為研究對(duì)象的科學(xué)。對(duì)于非平衡態(tài)斑圖的形成機(jī)制還沒有成熟的理論，均勻定態(tài)的線性失穩(wěn)導(dǎo)致圖靈分岔、霍普夫分岔、有限波失穩(wěn)是目前的一個(gè)基本觀點(diǎn)。隨著人們的深入研究，十幾年來在流體對(duì)流系統(tǒng)、振蕩沙盤系統(tǒng)、非線性光學(xué)系統(tǒng)、反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)以及介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)中都獲得了豐富的斑圖模式[11],如圖2所示。在斑圖動(dòng)力學(xué)的研究中,有兩類斑圖引起了不同領(lǐng)域的研究者廣泛的關(guān)注。一類是空間上呈現(xiàn)周期有序而時(shí)間靜態(tài)的定態(tài)結(jié)構(gòu)，如體表帶有條紋狀、斑點(diǎn)狀花紋的斑馬、海螺、豹子等，由被稱為計(jì)算機(jī)理論之父的英國(guó)著名科學(xué)家阿倫圖靈（Alan Turing）最早對(duì)此作了預(yù)言和解釋，故這類斑圖稱之為圖靈斑圖。圖靈斑圖對(duì)應(yīng)空間平移對(duì)稱性破缺，是由系統(tǒng)局部失穩(wěn)形成的，系統(tǒng)在相空間中一個(gè)空間均勻定態(tài)的失穩(wěn)是其發(fā)生的機(jī)制，它對(duì)應(yīng)的非平衡相變可以通過對(duì)方程均勻定態(tài)解的微擾分析得到。直到上世紀(jì)九十年代初，圖靈斑圖才首次在實(shí)驗(yàn)上由我國(guó)學(xué)者歐陽(yáng)頎等人觀察到[12]。另一類斑圖的特點(diǎn)是不僅在空間上呈現(xiàn)周期性的結(jié)構(gòu)，而且在時(shí)間上也呈現(xiàn)周期性的振蕩行為，這類斑圖起源于系統(tǒng)的全局失穩(wěn)，其系統(tǒng)在相空間中的空間均勻定態(tài)解是穩(wěn)定的，但由于系統(tǒng)的某些特殊性質(zhì)，它在一定條件下會(huì)自組織形成各類時(shí)空斑圖，這類斑圖通常被稱之為波斑圖[13]。

圖2 各種系統(tǒng)的斑圖(a)生物系統(tǒng); (b)化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng); (c)Faraday系統(tǒng);(d)對(duì)流系統(tǒng);(e) 非線性光學(xué)系統(tǒng);（f）介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)。引自文獻(xiàn)[11]

1900年法國(guó)科學(xué)家貝納爾(H.Bénard)對(duì)流體力學(xué)中熱對(duì)流現(xiàn)象的研究可認(rèn)為是對(duì)斑圖的形成及其動(dòng)力學(xué)最早開始的系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)和理論研究。而現(xiàn)代斑圖動(dòng)力學(xué)研究的開端，一般認(rèn)為始于圖靈為解釋動(dòng)物皮毛表面的斑紋以及生物發(fā)育過程中的各種器官的分化問題于1952年提出的圖靈斑圖理論。但這一工作在當(dāng)時(shí)沒有引起足夠重視，幾乎與此同時(shí)，前蘇聯(lián)科學(xué)家別洛烏索夫（B.P.Belousov）和扎包廷斯基（A.M.Zhabotinsky）在著名的Belousov-Zhabotinsky化學(xué)振蕩反應(yīng)（簡(jiǎn)稱B-Z反應(yīng)）實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了一類更具有廣泛意義的動(dòng)態(tài)自波斑圖，如螺旋波（spiral wave）、靶波（target wave）[14-15]等。斑圖動(dòng)力學(xué)真正作為一門科學(xué)并引起研究者重視得益于上世紀(jì)七十年代美國(guó)科學(xué)家維夫瑞（A.T.Winfree）的工作，他將這一發(fā)現(xiàn)介紹給西方科學(xué)界，自此，在很多學(xué)科領(lǐng)域斑圖動(dòng)力學(xué)研究得到了快速發(fā)展，特別是1990年實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了圖靈斑圖后，斑圖動(dòng)力學(xué)的研究就一直成為非線性研究中的熱點(diǎn)。

2. 研究螺旋波的重要意義

螺旋波和回卷波是在遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)情況下形成的斑圖之一，人們把二維系統(tǒng)的叫螺旋波，三維系統(tǒng)的叫回卷波，螺旋波動(dòng)力學(xué)是斑圖動(dòng)力學(xué)研究中最受關(guān)注的方向。因此我們認(rèn)為在課程中應(yīng)主要介紹反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中螺旋波的研究成果。因?yàn)榉磻?yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)涉及的范圍非常廣泛，其動(dòng)力學(xué)行為豐富并和很多生命現(xiàn)象相聯(lián)系，包括半貧瘠地區(qū)的植物生長(zhǎng)模型[16]物理系統(tǒng)的氣體放電模型[17]、生態(tài)系統(tǒng)中的捕食者-獵物模型[18]以及傳染病的傳播[19]、農(nóng)業(yè)人口的遷移[20]、森林火災(zāi)的蔓延[21]、球場(chǎng)觀眾席上的人浪[22]等都可以演化成為反應(yīng)擴(kuò)散方程。從某種角度說，反應(yīng)擴(kuò)散方程是描寫自然界運(yùn)動(dòng)的基本方程之一，因此，吸引了包括化學(xué)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)、生命科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等諸多領(lǐng)域的研究者。反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中的螺旋波按其形式分為兩類：時(shí)序振蕩系統(tǒng)中的螺旋波和可激發(fā)系統(tǒng)中的螺旋波。時(shí)序振蕩系統(tǒng)中的螺旋波屬于相波；可激發(fā)系統(tǒng)中的螺旋波屬于激發(fā)波，兩者的成因是不同的。在這里以介紹可激系統(tǒng)中產(chǎn)生的螺旋波為主。螺旋波的動(dòng)力學(xué)中心（波頭）是一個(gè)時(shí)空點(diǎn)拓?fù)淙毕?，即?shù)學(xué)上的奇點(diǎn)，這也是吸引科學(xué)工作者對(duì)螺旋波研究感興趣的另一個(gè)重要原因。因?yàn)樵诓^鄰域內(nèi)反應(yīng)擴(kuò)散方程不再成立，解決此類點(diǎn)缺陷問題始終是非線性研究的難點(diǎn)。

螺旋波和回卷波是最常見又比較穩(wěn)定的非平衡斑圖中的一種圖像。與形成靶波和平面波斑圖不同，螺旋波不需要持續(xù)的激發(fā)源，它本身是自激的，在可激媒質(zhì)、振蕩介質(zhì)和雙穩(wěn)系統(tǒng)中都能產(chǎn)生螺旋波。例如心肌組織的電信號(hào)[23]、反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的化學(xué)波[24]、正在聚集的粘性霉菌[25]、小雞的視網(wǎng)膜[26]、蛙類卵細(xì)胞中的鈣離子波[27]以及鉑催化劑表面的一氧化碳氧化[28]等都能觀測(cè)到這種斑圖。這里重點(diǎn)介紹一種典型的可激發(fā)介質(zhì)—心肌組織。心臟中的組織變異即組織的纖維化以及組織局部缺血等現(xiàn)象是心臟疾病發(fā)生的重要原因之一。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：心肌中血液流動(dòng)性降低可以導(dǎo)致心肌梗塞，有可能造成心肌細(xì)胞的大片死亡，從而形成整片的非傳導(dǎo)性組織[29]，即可能形成螺旋波的缺陷。在心臟病患者中觀察到的一類心律不齊或心動(dòng)過速現(xiàn)象，可能是由于心肌電信號(hào)出現(xiàn)螺旋波而引起的。心動(dòng)過速一般是心肌纖維性顫動(dòng)的預(yù)兆。纖維性顫動(dòng)分為房顫和室顫。房顫一般會(huì)在較短的時(shí)間自行消失,威脅人的生命程度不大。但室顫卻不同,它是一種極其嚴(yán)重的心律失常，若不及時(shí)處理,很快就會(huì)危及人的生命，而心顫致死的過程與螺旋心肌電波的失穩(wěn)有密切的關(guān)系。到目前為止，越來越多的實(shí)驗(yàn)研究都表明，心律不齊，尤其是心室顫動(dòng)（ventricular fibrillation）和心動(dòng)過速，與螺旋波及其失穩(wěn)而形成的湍流態(tài)有著密切的關(guān)系[30]。室顫發(fā)生時(shí)，人體心臟的電活動(dòng)趨于紊亂。由于完全失去同步性，心肌細(xì)胞不能協(xié)調(diào)一致地、有節(jié)律地收縮和舒張，心臟正常供血功能喪失，具有突發(fā)性和搶救難度大的特點(diǎn)[31]。目前對(duì)于這類病變，人們主要用電極將6 kV的電壓直接作用在患者胸部(閉腔療法)或者將約0. 6 kV電壓直接作用在心臟上來刺激心臟，將心臟打停,待螺旋波消失，然后再用心臟起搏器重新啟動(dòng)心臟。臨床上使用除顫器除顫雖已是一種較成熟的方法，但用這種方法病人較為痛苦而且還會(huì)給心肌組織造成解剖性缺陷，為以后心顫發(fā)生留下隱患，整體治愈率并不理想。發(fā)生室顫有多種原因，如心臟原來有解剖性問題，還有的是由突發(fā)事件引起的，如很多心臟病人猝死就是這種情況。據(jù)調(diào)查，在美國(guó)每年發(fā)生大約30萬人心臟猝死的病人中，有一多半源于室顫。號(hào)稱我國(guó)三大殺手的疾病即心臟病、癌癥、中風(fēng)中,室顫也位列其中[32]。因此，室顫引起的心臟猝死對(duì)當(dāng)今心臟病專家、相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者提出了重要挑戰(zhàn)。通過對(duì)螺旋波理論的研究得出的初步結(jié)論，如果螺旋波運(yùn)動(dòng)規(guī)律能被掌握,使用很小的電壓（5mV左右）就能將螺旋波引出心臟[33]，如果能付諸實(shí)踐將是極有實(shí)際意義的。隨著對(duì)螺旋波機(jī)制的深入研究，對(duì)室顫的發(fā)生機(jī)制、電生理活動(dòng)及治療方法將不斷有新的了解和更新，能為獲得更有效果的治療方法奠定基礎(chǔ)。因此，把心臟中的螺旋波電信號(hào)及其失穩(wěn)形成的湍流態(tài)消除，一直是心臟病學(xué)研究的重點(diǎn)之一，這個(gè)問題最終解決考驗(yàn)著非線性科學(xué)家的智慧。

3. 引入教學(xué)的內(nèi)容

斑圖現(xiàn)象是一種跨學(xué)科的普適現(xiàn)象，涉及很多學(xué)科和領(lǐng)域，有些現(xiàn)象的機(jī)理還不是很清楚，顯然在課程中不能一一介紹。因此，我們認(rèn)為應(yīng)主要介紹在斑圖動(dòng)力學(xué)中已比較成熟的具有代表性的基礎(chǔ)理論、實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用，特別是要體現(xiàn)出現(xiàn)代科學(xué)多學(xué)科交叉融合的特點(diǎn)。

3.1 可激發(fā)系統(tǒng)與螺旋波

簡(jiǎn)單的可激系統(tǒng)一般用一個(gè)雙變量反應(yīng)擴(kuò)散方程描述，其形式為：

如果系統(tǒng)中的激發(fā)源是一個(gè)點(diǎn)，周期性地激發(fā)這個(gè)點(diǎn)波源，則在系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)以波源為圓心的環(huán)狀系列行波，通常稱之為“靶波”。如果激發(fā)源為一條直線，且被周期性地激發(fā)，則系統(tǒng)中會(huì)形成一平行線狀波，波的行進(jìn)方向與線的方向垂直。一般可用產(chǎn)生行波的方式，在給定特殊初始條件下可產(chǎn)生出螺旋波。首先制造一個(gè)線狀波行波(圖4（a）)，然后截去線狀波的上半部(圖4（b）)，這樣遠(yuǎn)離端點(diǎn)的區(qū)域，線狀波波前的鄰近點(diǎn)因受兩個(gè)方向觸發(fā)變量激發(fā)，因而波速較高；而在端點(diǎn)區(qū)域，因只受一個(gè)方向觸發(fā)變量激發(fā)，線狀波波前的鄰近點(diǎn)波速較慢，從總體上看，當(dāng)線狀波向前移動(dòng)時(shí)，端點(diǎn)的位置相對(duì)會(huì)有一個(gè)滯后，這個(gè)滯后使得線狀波局部運(yùn)動(dòng)方向變化，在端點(diǎn)附近彎曲(圖4（c）)，由于這種端點(diǎn)效應(yīng)總是存在，隨著時(shí)間變化，線狀波會(huì)逐漸轉(zhuǎn)變成螺旋波(圖4（d）)。螺旋波波頭是其動(dòng)力學(xué)行為的控制中心，其運(yùn)動(dòng)不只是簡(jiǎn)單的圓周運(yùn)動(dòng)，存在維夫瑞所說的“漫游”現(xiàn)象[35]。

圖4 螺旋波產(chǎn)生過程。引自文獻(xiàn)[34]

3.2 Belousov-Zhabotinsky（B-Z反應(yīng)）化學(xué)振蕩反應(yīng)實(shí)驗(yàn)

在介紹斑圖動(dòng)力學(xué)內(nèi)容中，Belousov-Zhabotinsky化學(xué)振蕩反應(yīng)實(shí)驗(yàn)是研究斑圖現(xiàn)象的一個(gè)典型實(shí)驗(yàn)。B-Z反應(yīng)是用過渡金屬離子作催化劑，在酸性水溶液中，用嗅酸鹽來氧化、嗅化有機(jī)二元酸的過程，是目前最引人注目的斑圖實(shí)驗(yàn)研究和理論分析的對(duì)象。該實(shí)驗(yàn)顯示出諸多的非線性內(nèi)容，既涉及豐富的混沌動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象又涉及多樣的斑圖動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，是最早發(fā)現(xiàn)螺旋波現(xiàn)象和最簡(jiǎn)單的反應(yīng)系統(tǒng)。同時(shí)，該實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的分析需要諸如化學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域知識(shí)，對(duì)提升學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)有重要意義，也體現(xiàn)出現(xiàn)代科學(xué)研究學(xué)科交叉的特點(diǎn)。因此，讓學(xué)生了解該實(shí)驗(yàn)的背景和過程對(duì)了解螺旋波產(chǎn)生和歷史具有十分重要意義。該實(shí)驗(yàn)可用FKN機(jī)理解釋, 用二維Tyson模型可以模擬B-Z反應(yīng)中化學(xué)波的產(chǎn)生過程[36、37]

3.3 描述心肌組織的簡(jiǎn)易模型

心臟對(duì)人體來說是極其重要的器官，但由于心臟結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，特別是倫理道德的約束對(duì)心臟結(jié)構(gòu)、功能無論從實(shí)驗(yàn)還是從臨床上探究都十分困難，一般只能借助一些儀器如心電圖等來實(shí)現(xiàn)，給研究工作帶來極大的不便。由于用實(shí)驗(yàn)的方式研究心臟本身成本非常高，促使人們建立成本較低的能夠模擬心臟的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型[38]。隨著計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的不斷提高，心肌組織的一些電生理活動(dòng)已能夠逐步模擬出來，用模型方式研究心肌組織行為已經(jīng)成為重要方式之一，諸多心臟動(dòng)力學(xué)新現(xiàn)象和概念都是在模型模擬研究中發(fā)現(xiàn)或提出的。例如可激發(fā)心肌組織產(chǎn)生螺旋波，螺旋波的失穩(wěn)、破碎造成心顫現(xiàn)象、APD恢復(fù)曲線理論等等。

3.4 描述心肌組織的離子模型

在離子通道的水平上理解心律失常和室顫發(fā)生的基本機(jī)制以及單個(gè)心肌細(xì)胞的動(dòng)作電位（Action Potential，AP）的變化性質(zhì)是降低心臟病的病發(fā)率的重要前提。FHN模型雖較為簡(jiǎn)單，但存在不能分析離子電流變化對(duì)動(dòng)作電位的影響、離子通道藥物對(duì)某種離子電流的作用等缺點(diǎn)。要想研究更為復(fù)雜的一些心臟現(xiàn)象，一般要采用離子模型。相比簡(jiǎn)易模型，離子模型中包含更多的參量，計(jì)算起來也更為復(fù)雜。從細(xì)胞尺度研究得出，帶電離子通過離子通道進(jìn)出細(xì)胞。心肌細(xì)胞的電學(xué)行為是由通過離子通道的電流決定的，這樣可把離子通道等效成有一定電阻的電流通道，把細(xì)胞膜等效成一個(gè)帶電阻的“電容器”，它和可變電阻、電池并聯(lián)在一起正好能夠體現(xiàn)出不同的離子電流和泵的作用，如圖5所示。

圖5 心臟細(xì)胞膜的簡(jiǎn)單等效電路（引自文獻(xiàn)[38]）

描述心室細(xì)胞膜間電壓變化規(guī)律一般用L-R 相I心臟模型，是Luo和Rudy在1991年提出的[41]，這個(gè)模型能較好的呈現(xiàn)心肌細(xì)胞的動(dòng)力學(xué)行為，被廣泛用于數(shù)值仿真研究中。單個(gè)心室肌細(xì)胞動(dòng)作電位可以用如下方程表示：

5.結(jié)語

在斑圖動(dòng)力學(xué)研究過程中，B-Z反應(yīng)是產(chǎn)生各類斑圖現(xiàn)象的具有標(biāo)志性的代表，可根據(jù)教學(xué)需要，或從實(shí)驗(yàn)或從理論分析角度進(jìn)行較詳細(xì)介紹。文獻(xiàn)[36、37]從BZ反應(yīng)的機(jī)理出發(fā)用實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬方法給出了反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)各種斑圖形式，特別是對(duì)于螺旋波，從理論和實(shí)驗(yàn)上相互做了驗(yàn)證，并在非線性實(shí)驗(yàn)教學(xué)中進(jìn)行了實(shí)踐，很有參考價(jià)值。目前對(duì)于螺旋波的研究方法主要有三種[43]。一是實(shí)驗(yàn)研究。主要的實(shí)驗(yàn)有兩個(gè)，一個(gè)是人們已經(jīng)研究多年的B-Z反應(yīng)，另一個(gè)是CO在Pt（110）表面的吸附氧化反應(yīng)。二是理論分析方法。這種分析方法難度一般較大，主要是因?yàn)楫a(chǎn)生螺旋波的方程基本都是難以解析的非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程。如能找出描述螺旋波的運(yùn)動(dòng)方程，可運(yùn)用分岔理論或其他一些數(shù)學(xué)方法，對(duì)螺旋波進(jìn)行定量分析。三是數(shù)值模擬方法。數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)是一門新興交叉學(xué)科，是現(xiàn)代科學(xué)研究的一種重要手段。和絕大多數(shù)的自然科學(xué)研究一樣，斑圖動(dòng)力學(xué)的常用研究方法主要是實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)值模擬。由于產(chǎn)生斑圖的各種實(shí)驗(yàn)從原理與設(shè)備上較為復(fù)雜，在教學(xué)中各學(xué)?？赡苁軐?shí)驗(yàn)設(shè)備條件的影響很難實(shí)現(xiàn)。因此，我們建議多從數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)的角度來理解和驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)過程，可多利用MATLAB等計(jì)算機(jī)軟件較強(qiáng)的編程計(jì)算仿真能力來實(shí)現(xiàn)一些教學(xué)內(nèi)容的展現(xiàn)[44]。這不僅可以直觀地觀察各種形式的斑圖，還可提升學(xué)生的計(jì)算機(jī)的編程能力和處理實(shí)際問題能力。通過上述幾個(gè)斑圖產(chǎn)生的重要實(shí)驗(yàn)和模型的介紹，能使學(xué)生對(duì)現(xiàn)代斑圖動(dòng)力學(xué)有一定的了解，同時(shí)體會(huì)當(dāng)今科學(xué)研究中學(xué)科交叉的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，推進(jìn)物理課程教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化。

[1]徐紅霞，周永平.21世紀(jì)大學(xué)物理教材框架中不可缺少的一根支柱--混沌[J].大學(xué)物理，1998,17（02）: 36-37.

[2]單曉云，戴占海.在大學(xué)物理教學(xué)中引入非線性物理的探索與實(shí)踐[J].大學(xué)物理，2001，20(03):31-36.

[3]易麗莎，周卓微，湯鈞民.大學(xué)物理教學(xué)中引入非線性科學(xué)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐[J].物理與工程，2000(01):63-64.

[4]陸同興，崔執(zhí)鳳.我們的“非線性物理”課[J].大學(xué)物理，2003,22(01):37-39.

[5]李蓉，原如領(lǐng)，汪華英.以科研帶教學(xué),建設(shè)《非線性系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)》課程[C]// 全國(guó)高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)研討會(huì)，2001:26-28.

[6]安宇.理論力學(xué)中混沌內(nèi)容的講授[J].大學(xué)物理, 2004，23(08):3-12.

[7] 李元杰，湯正新.如何給工科學(xué)生講分形物理——介紹華中科技大學(xué)非線性物理教學(xué)改革之一[J].物理與工程，2001，11(03):15-17.

[8]陳紹英，袁國(guó)勇.在大學(xué)物理教學(xué)中適當(dāng)增加混沌控制和同步內(nèi)容的重要性[J].大學(xué)物理，2007，26 (02):50-55.

[9] 鐘光輝, 袁國(guó)勇, 楊世平.淺析量子混沌教學(xué)[J].大學(xué)物理, 2011,30(11):38-38.

[10]唐曉棟. 多反饋反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)斑圖動(dòng)力學(xué)研究[D]. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué), 2014.

[11]賀亞峰, 董麗芳, 劉富成,等.介質(zhì)阻擋放電斑圖動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展[J].自然科學(xué)進(jìn)展，2007, 17(05):561-567.

[12] Q. Ouyang, Harry L. Swinney. Transition from a uniform state to hexagonal and striped Turing patterns[J]. Nature, 1991, 352(6336):610-612.

[13]劉貴泉. 可激發(fā)介質(zhì)中螺旋波動(dòng)力學(xué)及其控制的研究[D]. 浙江大學(xué), 2014.

[14] Zaikin A N, Zhabotinsky A M. Concentration wave propagation in two-dimensional liquid-phase self-oscillating system[J]. Nature, 1970, 225(5232):535.

[15] Arthur T. Winfree. Spiral Waves of Chemical Activity[J]. Science (New York, N.Y.), 1972, 175(4022):634.

[16] Christopher A. Klausmeier. Regular and Irregular Patterns in Semiarid Vegetation[J]. Science (New York, N.Y.), 1999, 284(5421):1826.

[17] Ammelt E, Astrov Y A, Purwins H G. Hexagon structures in a two-dimensional dc-driven gas discharge system[J]. Physical Review E Statistical Physics Plasmas Fluids & Related Interdisciplinary Topics, 1998, 58(6):7109-7117.

[18]Frs J D M. Mathematical Biology[M]. 世界圖書出版公司, 2013.

[19]Méndez, Vicen?. Epidemic models with an infected-infectious period[J]. Physical Review E Statistical Physics Plasmas Fluids & Related Interdisciplinary Topics, 1998, 57(3):3622-3624.

[20]Fort J, Méndez V. Reaction-diffusion waves of advance in the transition to agricultural economics[J]. Physical Review E Statistical Physics Plasmas Fluids & Related Interdisciplinary Topics, 1999, 60(5 Pt B):5894.

[21]Méndez V, Llebot J E. Hyperbolic reaction-diffusion equations for a forest fire model[J]. Physical Review E Statistical Physics Plasmas Fluids & Related Interdisciplinary Topics, 1997, 56(6):6557-6563.

[22]Farkas I, Helbing D, Vicsek T. Mexican waves in an excitable medium.[J]. Nature, 2002,419(6903):131.

[23]Witkowski F X, Leon L J, Penkoske P A, et al. Spatiotemporal evolution of ventricular fibrillation[J]. Nature, 1998, 392(6671):78.

[24] Arthur T. Winfree. Spiral Waves of Chemical Activity[J]. Science (New York, N.Y.), 1972, 175(4022):634.

[25] Siegert F, Weijer C J. Digital Image-Processing of Optical-Density Wave-Propagation in Dictyostelium-Discoideum and Analysis of the Effects of Caffeine and Ammonia[J]. International Journal of Cancer, 1989, 132(8):1966–1967.

[26] Gorelova N A, Bures J. Spiral waves of spreading depression in the isolated chicken retina.[J]. Developmental Neurobiology, 1983, 14(5):353.

[27] Camacho P, Lechleiter J D. Increased frequency of calcium waves in Xenopus laevis oocytes that express a calcium-ATPase[J]. Science, 1993, 260(5105):226.

[28] Rotermund H H, Engel W, Kordesch M, et al. Imaging of spatio-temporal pattern evolution during carbonmonoxide oxidation on platinum[J]. Nature, 1990, 343(6256):355-357.

[29] de Bakker J M, van Capelle F J, Janse M J, et al. Slow conduction in the infarcted human heart. 'Zigzag' course of activation.[J]. Circulation, 1993, 88(3):915-26.

[30]錢郁. 可激發(fā)介質(zhì)螺旋波和時(shí)空混沌耦合控制研究[D]. 廣西大學(xué), 2007.

[31]Holden A V. A last wave from the dying heart[J]. Nature, 1998, 392(6671):20-1.

[32]張立升. 用元胞自動(dòng)機(jī)模型研究二維激發(fā)介質(zhì)中的非線性波[D]. 廣西師范大學(xué), 2005.

[33]歐陽(yáng)頎. 反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中螺旋波的失穩(wěn)[J]. 物理, 2001, 30(01):30-36.

[34]肖向華. 心臟組織中螺旋波和時(shí)空混沌的控制研究[D]. 廣西師范大學(xué), 2011.

[35]Winfree A T. Scroll-Shaped Waves of Chemical Activity in Three Dimensions[J]. Science, 1973, 181(4103):937-9.

[36]鄭佳喻, 周華喜, 孫金芳. B-Z反應(yīng)中斑圖的數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)研究[J].大學(xué)物理, 2008,27(10):50-54.

[37]鄭佳喻, 周華喜, 孫金芳,等.B-Z反應(yīng)中斑圖的數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)研究[J]. 大學(xué)物理，2008，27(10):50-54.

[38]陳紹英, 袁國(guó)勇.離子電流對(duì)心臟組織中螺旋波的影響[J].呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào), 2016, 24(01):75-81.

[39] Fitzhugh R. Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane[J]. Biophysical Journal, 1961, 1(6):445.

[40] Nagumo J, Arimoto S, Yoshizawa S. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon[J]. Proceedings of the Ire, 1962, 50(10):2061-2070.

[41] Luo CH, Rudy Y. A model of the ventricular cardiac action potential. Depolarization, repolarization, and their interaction.[J]. Circulation research, 1991, 68(6):1501.

[42]何東影，沙憲政，李莉.心肌固有電生理異質(zhì)性對(duì)螺旋波穩(wěn)定性影響的模擬研究[J].中國(guó)醫(yī)科大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，39(11):904-907.

[43]陳紹英, 吳剛, 袁國(guó)勇. 螺旋波動(dòng)力學(xué)及其在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用[J].呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào), 2013, 21(1):103-111.

[44]宋麗紅, 羅澤舉.用Matlab仿真噪聲激勵(lì)的FitzHugh-Nagumo系統(tǒng)模型[J]. 實(shí)驗(yàn)室研究與探索, 2010, 29(9):56-58.

責(zé)任編輯：烏曉梅

2017-11-28

陳紹英（1964—），男，漢族，呼倫貝爾學(xué)院物理與電子信息學(xué)院教授，博士。研究方向：非線性理論方面研究。

內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目(NJZZ14310),河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（ZD2015080）。

O415.6；Q612

A

1009-4601（2017）06-0095-07