數(shù)列模式化解題策略研究（3）

孫亞坤

內(nèi)容提要：數(shù)列與不等式交匯在高考中主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導數(shù)、函數(shù)等知識綜合一起考查，以函數(shù)與數(shù)列、不等式為命題載體，有著高等數(shù)學背景的數(shù)列與不等式的交匯試題是未來高考命題的一個新的亮點，而命題的冷門則是數(shù)列與不等式綜合的應用性解答題.

關鍵詞：不等式與數(shù)列綜合；數(shù)列壓軸；激發(fā)潛能；模式化

數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導數(shù)、函數(shù)等知識綜合一起考查.主要考查知識重點和熱點是數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移，考查學生數(shù)學視野的廣度和進一步學習數(shù)學的潛能.近年來加強了對遞推數(shù)列考查的力度，這點應當引起我們高度的重視，考查數(shù)學歸納法與不等式的交匯等.比較新穎的數(shù)列與不等式選擇題或填空題一定會出現(xiàn).數(shù)列解答題的命題熱點是與不等式交匯，呈現(xiàn)遞推關系的綜合性試題.其中，以函數(shù)與數(shù)列、不等式為命題載體，有著高等數(shù)學背景的數(shù)列與不等式的交匯試題是未來高考命題的一個新的亮點，而命題的冷門則是數(shù)列與不等式綜合的應用性解答題.筆者結(jié)合教學工作的實際談談數(shù)列綜合問題和不等式方面的粗淺認識。

類型一、求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題

例1、設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，2Snn=an+1-13n2-n-23，n∈N*.

（1）求a2的值；

（2）求數(shù)列{an}的通項公式；

（3）證明：對一切正整數(shù)n，有1a1+1a2+…+1an<74.

解（1）、2S1=a2-13-1-23，又S1=a1=1，所以a2=4.

（2）、當n≥2時，2Sn=nan+1-13n3-n2-23n， 2Sn-1=（n-1）an-13（n-1）3-（n-1）2-23（n-1），兩式相減得2an=nan+1-（n-1）an-13（3n2-3n+1）-（2n-1）-23，

整理得（n+1）an=nan+1-n（n+1），即an+1n+1-ann=1，又a22-a11=1，

故數(shù)列ann是首項為a11=1，公差為1的等差數(shù)列，所以ann=1+（n-1）×1=n，所以an=n2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n2，n∈N*.

（3）證明：當n=1時，1a1=1<74；當n=2時，1a1+1a2=1+14=54<74；

當n≥3時，1an=1n2<1（n-1）n=1n-1-1n，此時1a1+1a2+1a3+…+1an=1+14+132+142+…+1n2<1+14+12×3+13×4+…+1n（n-1）

=1+14+12-13+13-14+…+1n-1-1n=54+12-1n=74-1n<74，

所以對一切正整數(shù)n，有1a1+1a2+…+1an<74.

注：求得數(shù)列與不等式綾結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：（1）若函數(shù)f（x）在定義域為D，則當x∈D時，有f（x）≥M恒成立f（x）min≥M；f（x）≤M恒成立f（x）max≤M；（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識化簡不等式，再通過解不等式解得.

類型二 數(shù)列參與的不等式的證明問題

例2、已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，a3=7，S4=24.

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

（Ⅱ）設p、q都是正整數(shù)，且p≠q，證明：Sp+q<12（S2p+S2q）.

解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的公差是d，依題意得， a1+2d=74a1+6d=24，解得 a1=3d=2，

∴數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+（n-1）d=2n+1.

（Ⅱ）證明：∵an=2n+1，∴Sn=n（a1+an）2=n2+2n.

2Sp+q-（S2p+S2q）=2[（p+q）2+2（p+q）]-（4p2+4p）-（4q2+4q）=-2（p-q）2，

∵p≠q，∴2Sp+q-（S2p+S2q）<0，∴Sp+q<12（S2p+S2q）.

注：利用差值比較法比較大小的關鍵是對作差后的式子進行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.

類型三、求數(shù)列中的最大值問題

例3、設等差數(shù)列{an}的前項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為______.

解： ∵等差數(shù)列{an}的前項和為Sn，且S4≥10，S5≤15，

∴ S4=4a1+4×32d≥10S5=5a1+5×42d≤15，即 a1+3d≥5a1+2d≤3，∴ a4=a1+3d≥5-3d2+3d=5+3d2a4=a1+3d=（a1+2d）+d≤3+d，

∴5+3d2≤a4≤3+d，則5+3d≤6+2d，即d≤1.

∴a4≤3+d≤3+1=4，故a4的最大值為4.

注：求解數(shù)列中的某些最值問題，有時須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：（1）建立目標函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關系確定最值.

類型四、求解探索性問題

例4、已知{an}的前n項和為Sn，且an+Sn=4.

（Ⅰ）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）是否存在正整數(shù)k，使Sk+1-2Sk-2>2成立.

解：（Ⅰ）由題意，Sn+an=4，Sn+1+an+1=4，

由兩式相減，得（Sn+1+an+1）-（Sn+an）=0，即2an+1-an=0，an+1=12an，

又2a1=S1+a1=4，∴a1=2，∴數(shù)列{an}是以首項a1=2，公比為q=12的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ），得Sn=2[1―（12）n]1―12=4-22n.又由Sk+1-2Sk-2>2，得4-21k-24-22k-2>2，整理，得23<21k<1，即1<2 k 1<32，∵k∈N*，∴2k1∈N*，這與2k1∈（1，32）相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立.

注：數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.

總之，數(shù)列綜合問題，在每年的高考中都是考察的重點，特別是綜合問題與不等式的結(jié)合，學生在解決時有很大的難度，得分不易，得滿分更不易。因此在教學中，歸納一類問題的解題策略和解題模式對提高教學水平和學生高考成績有極其重要的作用。

參考文獻：

[1]高中數(shù)學課程標準；

[2]2000--2017年高考考綱；

[3]2000--2017年高考數(shù)學原題。endprint