基于滑動式算法的IGS精密星歷內(nèi)插與擬合精度

吳 偉, 任 超, 王文杰, 黃征凱

在高精度GPS精密測量中，基線處理采用了經(jīng)過后處理的IGS精密星歷，它在GPS精密定位、精密單點定位（PPP）和低軌衛(wèi)星精密定軌中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用[1]。IGS提供的精密星歷可達mm級，但是，其星歷間隔一般為15 min，而一般接收機接收到的觀測值間隔小于1 min，要想獲得觀測瞬間衛(wèi)星的位置，就涉及到衛(wèi)星星歷的插值問題[2,3]。目前，國內(nèi)外較常用的精密星歷插值方法是Lagrange內(nèi)插和Chebyshev多項式擬合[4]。多項式插值一般采用滑動式窗口算法，該算法將插值區(qū)間作為一個窗口，窗口大小始終保持不變，每次將窗口向后移動一個時間段，用于插值窗口中間2點之間的時間段。雖然滑動式窗口算法已然是精密星歷插值的成熟算法[5,6]，但是之前的相關(guān)論著卻并未對該算法進行深入、詳細探究。

1 精密星歷插值多項式及插值余項

1.1 Lagrange多項式內(nèi)插

n階Lagrange多項式插值模型為：

式中，點xi(i=0,1…,n)稱為插值節(jié)點，包含插值節(jié)點的區(qū)間[a，b]稱為插值區(qū)間。對于任意x∈[a,b]，插值余項[7，8]：

式中，ξ∈[a,b]且依賴于

由式(2)可以看出，插值點與插值節(jié)點越接近，|wn+1(x)|越小，則|Rn(x)|也越?。环粗?，|Rn(x)|越大。因此，求插值點x處f（x）的近似值時，應盡量選與x最接近的插值節(jié)點作插值運算，這也體現(xiàn)了滑動式窗口插值的思想，且最好使用內(nèi)插公式，因內(nèi)插比外推誤差小。

1.2 Chebyshev多項式擬合

由于Chebyshev多項式只適用于自變量區(qū)間為[-1,1]的情況，因此在時間段[t0,t0+?t]內(nèi)（t0為初始時刻，?t為擬合時間長度)采用n階Chebyshev多項式擬合時，首先需利用公式將變量的區(qū)間歸化到[-1,1]。Chebyshev多項式擬合模型[9]為：

式中，n為多項式階數(shù)；Cyi為多項式系數(shù)；Ti(τ)為第i階Chebyshev多項式，可通過其具有的下列遞推關(guān)系[10]求出：T0(τ)=1,T1(τ)=τ,Tn(τ)=2τTn -1(τ)-Tn-2(τ)(n=2,3,…)。

根據(jù)Chebyshev最小零偏差定理[8]，在[-1,1]上所有首項系數(shù)為1的n次多項式pn(x)，21-nTn(x)對零的偏差最小，即

由該定理可知，插值節(jié)點取為n次Chebyshev多項式的零點時，誤差估計式變?yōu)椋?/p>

從式(5)可以看出，要降低截斷誤差，采用最小零偏差定理，則|Rn(x)|也最??；實際插值點與插值節(jié)點不可能達到零偏差，但是，插值點與插值節(jié)點越接近時插值效果會更佳。

在詳細分析Lagrange內(nèi)插和Chebyshev多項式擬合其插值余項的基礎上發(fā)現(xiàn)，截斷誤差在端點處將迅速增長，在插值端點處容易發(fā)生振蕩或跳躍現(xiàn)象。

2 算例分析

2.1 滑動式算法星歷插值結(jié)果對比

選用2011-03-20 的IGS精密星歷文件數(shù)據(jù)，采樣間隔為15 min，每個歷元32顆衛(wèi)星。抽取每隔30 min的星歷數(shù)據(jù)，將其插值為采樣間隔為15 min的衛(wèi)星坐標數(shù)據(jù)，并與實際的衛(wèi)星坐標值比較。

方案1：采用Lagrange多項式對32顆衛(wèi)星坐標進行內(nèi)插，內(nèi)插階數(shù)為4～35階，圖1、圖2分別給出了15、16階（最佳）衛(wèi)星坐標偏差統(tǒng)計圖。

方案2：采用Chebyshev多項式對32顆衛(wèi)星坐標進行擬合，擬合階數(shù)為6～39階，圖3、圖4分別給出了20、21階（最佳）衛(wèi)星坐標偏差統(tǒng)計圖。

方案3：對2種模型的各階插值結(jié)果的最大偏差進行統(tǒng)計，如圖5、圖6所示。

圖1 Lagrange 15 階插值坐標偏差統(tǒng)計圖

圖2 Lagrange 16 階插值坐標偏差統(tǒng)計圖

圖3 Chebyshev 20 階擬合坐標偏差統(tǒng)計圖

圖4 Chebyshev 21 階擬合坐標偏差統(tǒng)計圖

圖5 Lagrange 各階插值最大偏差統(tǒng)計圖

圖6 Chebyshev 各階插值最大偏差統(tǒng)計圖

圖7 Lagrange各階插值RMS統(tǒng)計圖

圖8 Chebyshev各階插值RMS統(tǒng)計圖

方案4：2種模型各階插值RMS統(tǒng)計，如圖7、圖8所示。

在圖5、圖7中，省略了小于13階的粗大偏差，圖6、圖8中省略了小于13、大于25階的粗大偏差。

通過實驗可以得出以下結(jié)論：

1）由圖1～圖4可知，2種模型在相鄰階數(shù)插值結(jié)果精度相當，Lagrange在15、16階，Chebyshev在20、21階都能達到亞mm級精度，衛(wèi)星編號為7、9、13、27衛(wèi)星星歷有較大誤差。

2）對比圖5～圖8可以發(fā)現(xiàn)，無論是最大偏差還是均方根誤差，Lagrange內(nèi)插在大于16階以后，精度幾乎穩(wěn)定，所以僅增加階數(shù)并不會對提高精度有明顯貢獻；Chebyshev擬合在16～21階精度較穩(wěn)定，但是階數(shù)越高或越低時偏差成級數(shù)增加。

2.2 滑動式與非滑動式算法插值結(jié)果對比

選用數(shù)據(jù)：2011-03-20 T 11:00:00～12:45:00衛(wèi)星PRN號為2、10、18、26的IGS精密星歷數(shù)據(jù)。當插值點時刻位于所有插值節(jié)點時刻的中間時，即?t=0，為滑動式插值；當插值點時刻距所有插值節(jié)點時刻的中間時刻越來越遠時，即?t>0，為非滑動式插值。表1給出了2種模型在同階不同時刻不同衛(wèi)星插值的RMS統(tǒng)計結(jié)果，?t=0時為11:00，?t=105時為12:45。

表1 滑動式與非滑動式算法插值結(jié)果統(tǒng)計

從表1可知，標準差RMS與Dt成正比，即當插值點時刻距所有插值節(jié)點時刻的中間時刻越來越遠時，誤差也越來越大，Lagrange內(nèi)插誤差增大較明顯，Chebyshev擬合相對穩(wěn)定。

3 結(jié) 語

1）Lagrange多項式內(nèi)插和Chebyshev多項式擬合精度均可達到亞mm級，完全可以用于高精度的GPS導航和定位。

2）由圖7、圖8可知，當階次超出一定范圍后，增多插值節(jié)點，Chebyshev擬合誤差成倍增加，Lagrange內(nèi)插精度降低不明顯。

3）采用非滑動式算法插值時，Lagrange多項式內(nèi)插值可達到m級誤差，Chebyshev多項式擬合精度相對穩(wěn)定，達cm級。

[1]吳繼忠, 高俊強, 李明峰. IGS精密星歷和鐘差插值方法的研究[J].工程勘察, 2009(7): 52-55

[2]孔巧麗. 用切比雪夫多項式擬合GPS衛(wèi)星精密坐標[J]. 測繪通報, 2006 (8): 1-3

[3]高周正, 章紅平, 彭軍還. GPS衛(wèi)星星歷精度分析[J]. 測繪通報, 2012 (2): 1-3

[4]邱斌, 樂科軍, 朱建軍, 等.衛(wèi)星精密星歷的曲線移位插值方法[J].工程勘察, 2008(11): 64-68

[5]洪櫻, 歐吉坤, 彭碧波. GPS衛(wèi)星精密星歷和鐘差3種內(nèi)插方法的比較[J]. 武漢大學學報：信息科學版, 2006,31 (6):516-518

[6]劉偉平, 郝金明. 一種新的IGS精密星歷插值算法[J].武漢大學學報：信息科學版, 2011,36 (11): 1 320-1 323

[7]翟瑞彩, 謝偉松. 數(shù)值分析[M]. 天津: 天津大學出版社,2000

[8]蔣爾雄, 趙風光，蘇仰鋒. 數(shù)值逼近[M]. 上海: 復旦大學出版社, 1996

[9]李慶楊, 王能超, 易大義. 數(shù)值分析[M]. 北京: 清華大學出版社, 2001

[10]李明峰, 江國焰, 張凱. IGS精密星歷內(nèi)插與擬合法精度的比較[J]. 大地測量與地球動力學, 2008, 28 (2): 77-80