一種基于平面不等式約束法的北斗三頻數(shù)據(jù)組合選取方法

張建龍，豐 勇，隋 心

(1.黑龍江煤炭職業(yè)技術(shù)學(xué)院 資源環(huán)境工程系，黑龍江 雙鴨山 155100； 2.遼寧省測繪地理信息局 遼寧 沈陽 110804；3.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

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一種基于平面不等式約束法的北斗三頻數(shù)據(jù)組合選取方法

張建龍1，豐 勇2，隋 心3

(1.黑龍江煤炭職業(yè)技術(shù)學(xué)院 資源環(huán)境工程系，黑龍江 雙鴨山 155100； 2.遼寧省測繪地理信息局 遼寧 沈陽 110804；3.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

GNSS現(xiàn)代化的標(biāo)志之一是三頻或多頻數(shù)據(jù)的廣泛使用，文中在研究北斗三頻數(shù)據(jù)組合原理、優(yōu)化選取準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出一種基于平面不等式約束法的三頻數(shù)據(jù)組合選取方法。該方法將長波長條件轉(zhuǎn)化為組合系數(shù)的線性關(guān)系，將弱電離層條件轉(zhuǎn)化為平面域，將低噪聲條件轉(zhuǎn)化為橢圓域，依此建立模型并給出模型的幾何解釋，最后應(yīng)用該方法選取特性較優(yōu)的北斗三頻數(shù)據(jù)組合，并總結(jié)了一些組合系數(shù)的特點(diǎn)。結(jié)果證明，該方法組合系數(shù)選取效率大于枚舉法等常規(guī)方法，從而為多頻數(shù)據(jù)組合理論的研究提供參考。

北斗系統(tǒng)；三頻數(shù)據(jù)組合；平面不等式約束法; 平面域；橢圓域

伴隨著GNSS現(xiàn)代化進(jìn)程，各國導(dǎo)航系統(tǒng)為了搶占市場都增加了多個(gè)頻率信號的建設(shè)，我國北斗二代系統(tǒng)采用B1、B2、B3 3個(gè)頻率。多頻數(shù)據(jù)能形成更多長波長、低噪聲、弱電離層延遲等特性優(yōu)良的組合，因而在周跳探測與修復(fù)、模糊度快速固定等方面應(yīng)用廣泛。多頻數(shù)據(jù)的使用為導(dǎo)航定位關(guān)鍵技術(shù)的解決帶來了新機(jī)遇，同時(shí)也衍生出適應(yīng)于多頻數(shù)據(jù)處理的算法[1]。

本文在研究北斗三頻數(shù)據(jù)組合理論的基礎(chǔ)上，基于優(yōu)化選取原則，結(jié)合橢圓方程，推導(dǎo)出一種基于平面不等式約束法的組合系數(shù)選取法，給出了圖形的幾何解釋，并結(jié)合程序優(yōu)化選取了特性較優(yōu)的部分組合。

1 北斗三頻數(shù)據(jù)組合

1.1 數(shù)據(jù)組合原理

三頻載波相位組合是在載波相位觀測方程基礎(chǔ)上進(jìn)行線性組合形成的，設(shè)某歷元下GNSS接收機(jī)捕獲的各頻點(diǎn)載波相位觀測方程為[2]

Li=λiφi=ρ+c(dT-dt)-λiNi-

(Vion)i-(Vtrop)i+δdorb+Mi+εi.

(1)

式中:i=1,2,3為3個(gè)載波;λ為波長;φ為載波相位觀測量;ρ為衛(wèi)星至接收機(jī)的幾何距離;c為真空中光速(2.997 924 58×108m/s);dT為衛(wèi)星鐘差;dt為接收機(jī)鐘差;N為整周模糊度;Vion為電離層延遲影響;Vtrop為對流層延遲影響;δdorb為軌道誤差影響;M為多路徑影響;ε為觀測噪聲。則組合觀測值為[3-5]

Lcom=λcφc=pL1+qL2+rL3.

(2)

若要保證組合后測站與衛(wèi)星間距離不發(fā)生變化，3個(gè)組合系數(shù)p,q,r需滿足

p+q+r=1.

(3)

代入式(2)可寫為

λcNc-ξ(Vion)1+Mc+ec.

(4)

其中：

λcNc=pλ1N1+qλ2N2+rλ3N3,

ξ=p+qα+rβ,

Mc=pM1+qM2+rM3，

ec=pe1+qe2+re3.

一般要求組合后模糊度仍然保留整數(shù)特性，以便于模糊度正確固定，即

Nc=lN1+mN2+nN3.

(5)

式中,l,m,n為整數(shù)。最終求得組合波長

(6)

組合頻率

fc=lf1+mf2+nf3.

(7)

組合相位

φc=lφ1+mφ2+nφ3.

(8)

1.2 組合值誤差影響

這里僅分析與優(yōu)化選取有關(guān)的一些誤差影響如電離層、噪聲，而對流層、軌道誤差、衛(wèi)星鐘差及接收機(jī)鐘差都是與頻率無關(guān)的量，組合前后誤差影響不發(fā)生變化。組合后電離層誤差影響為[6-7]

(9)

可見組合系數(shù)的選取將直接影響組合觀測值電離層延遲誤差大小，經(jīng)過合理選取后的組合系數(shù)可以使得組合觀測值電離層延遲達(dá)到相對較小的要求。

各頻點(diǎn)噪聲相同σLi=σL(i=1,2,3),則組合觀測值以米為單位的噪聲

(10)

1.3 優(yōu)化選取準(zhǔn)則

從數(shù)學(xué)角度看組合系數(shù)有無窮多組，但要從中選出有利于周跳探測、模糊度固定、提高定位精度的組合就大大減少了。對于組合觀測值的選取通常有如下一些選取準(zhǔn)則：組合值應(yīng)保持整數(shù)特性以利于確定整周模糊度；組合值應(yīng)具有較長的波長；組合值應(yīng)降低電離層誤差的影響；組合值受到的噪聲影響應(yīng)盡量小。

對北斗系統(tǒng)要滿足組合觀測值具有較長波長的要求就是要使得組合波長λc滿足λc>λ2，由此可確定m的取值范圍為

(lλ2/λ1+nλ2/λ3)

1-(lλ2/λ1+nλ2/λ3).

(11)

不難發(fā)現(xiàn)整數(shù)m在l和n確定后是唯一存在的，考慮到組合系數(shù)還要滿足式(10)，故l和n不宜太大，否則組合值噪聲將會(huì)被放大。采用式(12)來對比組合波長與原始載波的比率關(guān)系

(12)

為了減小電離層的影響，組合后電離層誤差影響Δ(Vion)L-com應(yīng)盡量小。采用式(13)來對比組合值電離層影響與B1頻點(diǎn)上電離層影響的比率關(guān)系

(13)

為了使組合值噪聲盡量小，組合觀測值以米為單位的噪聲要求滿足σL-com<σL，即滿足式(14)。

(14)

2 基于平面不等式約束法的組合系數(shù)選取法

2.1 模型的建立

只有同時(shí)滿足了上面3個(gè)條件的組合系數(shù)才是最優(yōu)組合系數(shù)，對于優(yōu)化組合系數(shù)的選取，比較簡單的辦法是采用枚舉法，但該方法計(jì)算量較大，計(jì)算效率較低。研究人員開始考慮采用其他方法提高組合系數(shù)選取效率，文獻(xiàn)[8]對北斗三頻數(shù)據(jù)線性組合進(jìn)行了優(yōu)化分析。文獻(xiàn)[9]采用整數(shù)規(guī)劃法，以組合觀測值的波長為目標(biāo)函數(shù)，以弱電離層和弱噪聲為約束條件建立模型；文獻(xiàn)[10]采用模糊聚類法。但這些方法模型建立過程比較復(fù)雜。

若對長波長約束條件式(11)觀察可以發(fā)現(xiàn)，盡管含有3個(gè)變量，但m與l和n相關(guān)，因此實(shí)際上僅有兩個(gè)變量，是一個(gè)二維平面上的不等式約束問題。在弱電離層條件約束下，式(13)可以給定一個(gè)較小的取值范圍。在低噪聲條件約束下，式(14)是一個(gè)橢圓域。由以上兩個(gè)條件再把取值限定為整數(shù)，即可確定符合條件的組合系數(shù)。下面進(jìn)行推導(dǎo)：

由式(11)可知，m可以表示為l和n的線性表達(dá)式

m=k1l+k2n+b.

(15)

(16)

即

-ν0f2f3≤(f2f3+k1f1f3)l+(k2f1f3+

f1f2)n+bf1f3≤ν0f2f3.

(17)

這是一個(gè)關(guān)于l和n所表示兩條直線形成的平面區(qū)域。式(14)化簡為

(18)

即

(19)

為了便于理解，這里引入橢圓方程的知識，現(xiàn)引述如下。橢圓一般方程為

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.

(20)

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

(21)

式(20)變形為

A(x-x0)2+B(x-x0)(y-y0)+

C(y-y0)2+f=0.

(22)

令x′=x-x0，y′=y-y0，則有

Ax′2+Bx′y′+Cy′2+f=0.

(23)

式(21)中，令x=x′cosθ-y′sinθ，y=x′sinθ+y′cosθ。

代入式(21)有

(24)

化簡式(24)并與式(23)對比各項(xiàng)系數(shù)有

(25)

最后求得

(26)

式中，a,b分別為橢圓長半軸和短半軸。

橢圓中心為

(27)

長半軸傾角為

(28)

這里看出式(19)表示的是一個(gè)橢圓域，其橢圓的兩個(gè)半軸長為

橢圓中心為

兩直線為

1.029l+0.196n+1.53ν0-1.98b≥0，

1.029l+0.196n-1.53ν0-1.98b≤0.

2.2 模型的幾何解釋

通過2.1節(jié)的分析，由式(17)和式(19)所組成的范圍是兩條直線和一個(gè)橢圓所確定的平面區(qū)域，如圖1所示。從圖1看出只有落在橢圓內(nèi)部或其附近及兩條直線內(nèi)側(cè)的點(diǎn)才是符合優(yōu)化條件的組合，這是對噪聲及電離層延遲量約束的直觀顯示。凡是距離橢圓比較遠(yuǎn)的點(diǎn)，即使在直線內(nèi)側(cè)也不一定滿足優(yōu)化條件。如果給出的ν0太大，也就是說兩條直線遠(yuǎn)離橢圓，會(huì)造成電離層放大倍數(shù)太大，同樣不符合條件。選取過程中，可用一條平行n軸的直線至左向右逐步搜索，這樣選出特性較優(yōu)組合的效率要大于枚舉法。

圖1 不等式約束條件確定的區(qū)域

3 組合系數(shù)的選取

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，組合波長在0.75 m與2.93 m之間為寬巷組合，波長大于2.93 m為超寬巷組合，本文以l∈[-15,15]，n∈[-15,15]為范圍，基于上面提出的方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。如表1所示求取了部分北斗三頻組合系數(shù)及參數(shù)。

通過組合系數(shù)的求取可以發(fā)現(xiàn)組合系數(shù)具有如下特點(diǎn)：

1)分布在取值范圍邊界的組合電離層和噪聲都比較大，有些組合電離層擴(kuò)大倍數(shù)甚至達(dá)到數(shù)百倍，噪聲也達(dá)到分米級，往往不滿足最優(yōu)組合條件。

2)分布在取值范圍中間的組合值多具有同時(shí)滿足3個(gè)條件的特性，說明組合系數(shù)絕對值不宜過大。

3)組合系數(shù)和為零的組合電離層及噪聲都比較小。

表1 北斗三頻組合系數(shù)及參數(shù)

4 結(jié) 論

三頻數(shù)據(jù)組合在周跳探測、模糊度快速解算等方面有著廣泛的應(yīng)用，也是這些算法建立過程中選取優(yōu)化組合系數(shù)的基礎(chǔ)[11]。本文從相位組合的定義出發(fā)分析了組合后的各項(xiàng)誤差特性，將長波長條件表示為組合系數(shù)的線性關(guān)系，利用直線方程和橢圓方程對優(yōu)選條件進(jìn)行綜合分析，建立了一種新的數(shù)據(jù)組合選取方法。本文提出的平面不等式約束法是第3節(jié)所總結(jié)特點(diǎn)的直觀化表示，是一種有效的三頻數(shù)據(jù)選取方法，從而為北斗導(dǎo)航系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法研究提供了一些參考。

[1] 楊元喜.北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的進(jìn)展、貢獻(xiàn)與挑戰(zhàn)[J].測繪學(xué)報(bào)，2010,39(1)：1-6.

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

A new BDS triple-frequency data combination selection method based on planar inequality constraints rules

ZHANG Jianlong1，F(xiàn)ENG Yong2,SUI Xin3

(1.Dept. of Resources and Environment Engineering, Heilongjiang Coal Vocational and Technical College, Shuangyashan 155100, China；2.Liaoning Province Geographic Information Bureau of Surveying and Mapping, Shenyang 110804, China; 3.School of Geomatics, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, China)

One symbol of GNSS modernization is the widespread use of triple-frequency or multi-frequency data. The paper proposes a method based on planar inequality constraints triple-frequency data selection method with the study of BeiDou triple-frequency data combination principle and optimization selection criterion. In this paper, the long wavelength condition is transformed into the linear relationship of combination coefficients, the week ionosphere condition is conversed into surface domain, and low noise condition is changed into elliptic domain. The model is established, and geometric interpretation of the model is given. Finally it selects BeiDou triple-frequency data combination with better characteristic according to this method and summarizes some characteristics of combination coefficient. The results prove that selection efficiency of this method is better than conventional methods such as enumeration method. Thus this method provides some reference for the research of multi-frequency data combination theory.

BeiDou Satellite Navigation System(BDS);triple-frequency data combination; planar inequality constraints rules；surface domain;elliptic domain

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.03.006

2016-04-24

地理空間信息工程國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目(201522)

張建龍(1987-)，男，助理講師，碩士研究生.

P228

A

1006-7949(2017)03-0028-04

引用著錄：張建龍，豐 勇，隋 心.一種基于平面不等式約束法的北斗三頻數(shù)據(jù)組合選取方法[J].測繪工程，2017，26(3)：28-31，36.