Banach空間混合型泛函方程的穩(wěn)定性問題

成立花

(西安工程大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710048)

Banach空間混合型泛函方程的穩(wěn)定性問題

成立花

(西安工程大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710048)

首先整合資源，給出Banach空間一類混合型泛函方程的等價(jià)性證明,其次利用不動(dòng)點(diǎn)的擇一性逐步分類地研究了Banach空間中混合型泛函方程的穩(wěn)定性問題，得到較為精確的上界。

混合型泛函方程；廣義Hyers-Ulam-Rassias穩(wěn)定性；不動(dòng)點(diǎn)的擇一性

泛函方程的穩(wěn)定性起源于Ulam：在什么條件下，一個(gè)從群到度量群的近似加法映射附近存在唯一的加法映射？即：設(shè)G1是一個(gè)群，且設(shè)G2是一個(gè)具有度量d(·,·)的度量群，對于任意的ε>0,是否存在δ>0,使得對于任意的x,y∈G1,當(dāng)映射f:G1→G2滿足如下條件d(f(xy),f(x)f(y))≤δ時(shí)，是否存在一個(gè)滿足d(f(x),g(x))≤ε的群同態(tài)g:G1→G2？緊接著，Hyers關(guān)于可加函數(shù)在Banach空間的穩(wěn)定性問題給出肯定性的答案。隨之,一大批數(shù)學(xué)家開始在各種特殊空間提出特定的泛函方程的存在性問題[1-8]。也有學(xué)者專注研究特定空間中單次或混合型泛函方程的穩(wěn)定性問題或廣義穩(wěn)定性(Hyers-Ulam-Rassias) (簡稱HUR)問題[3-5]。更多更新的不同空間中泛函方程穩(wěn)定性問題，讀者請參閱文[9-10]?；谇叭说呢暙I(xiàn)和理論基礎(chǔ)，本文旨在關(guān)注RASSIAS等[5]研究的混合型泛函方程

f(x+2y)-f(x-2y)=
2[f(x+y)-f(x-y)]+
2f(3y)-6f(2y)+6f(y)

(1)

和ESKANDANI[6]的混合型泛函方程

f(x+2y)+f(x-2y)=

2[f(x+y)-f(-x-y)+f(x-y)-f(y-x)]+

f(2y)+f(-2y)+4f(-x)-2f(x)

(2)

兩篇文章研究的均為Banach空間中混合型泛函方程，但方程表達(dá)形式不同，側(cè)重點(diǎn)不同，前者重在研究泛函方程的存在性問題，而后者則致力于分析泛函方程的穩(wěn)定性問題。本文立意整合方程(1)和方程(2)，首先給出這兩類方程的等價(jià)性問題, 然后利用不動(dòng)點(diǎn)的擇一性給出Banach空間混合型泛函方程的穩(wěn)定性問題。

1 方程的等價(jià)性

在本節(jié)中，總是假設(shè)X,Y是Banach空間。首先給出方程(1)和(2)的等價(jià)性問題。

定理1 設(shè)X,Y是Banach空間，且設(shè)映射f:X→Y滿足泛函方程(1)或(2)，則如下結(jié)論等價(jià)：

(i)f滿足泛函方程 (1) 。

(ii)f滿足泛函方程 (2) 。

(iii) 對于任意x∈X,存在唯一的一次映射A:X→Y、二次映射Q:X×X→Y和三次映射C:X×X×X→Y滿足f(x)=A(x)+Q(x,x)+C(x,x,x)。證明(i)?(iii)。證明參見文[3]。

(ii)?(iii)。為方便起見，首先將f分成偶部和奇部，即對于?x∈X,有

如果f滿足方程(2)，則可以驗(yàn)證以下結(jié)果：

fe(x+2y)+fe(x-2y)=

f(x-2y)+f(-x+2y)]=

2[fe(x+y)-fe(-x-y)+fe(x-y)-

fe(y-x)-fe(x)]+

fe(2y)+fe(-2y)+4fe(-x)=

2fe(2y)+2fe(x)

(3)

fe(x+y)+fe(x-y)=2fe(y)+2fe(x)

由文[6]知，滿足上面泛函方程的fe當(dāng)且僅當(dāng)為二次泛函。因此對于所有的x∈X, 存在唯一的二次映射Q:X×X→Y使得fe=Q(x,x)。

另一方面,如果f滿足方程(2)，同樣的道理可以驗(yàn)證fo滿足

fo(x+2y)+fo(x-2y)=
2[fo(x+y)-fo(-x-y)+fo(x-y)-
fo(y-x)-fo(x)]+
fo(2y)+fo(-2y)+4fo(-x)=
4[fo(x+y)+fo(x-y)]-6fo(x)

由文[5]，滿足上面泛函方程的fo當(dāng)且僅當(dāng)為一個(gè)立方-可加映射。也就是說，對于所有的x∈X,存在唯一的可加映射A:X→Y和三次映射C:X×X×X→Y滿足fo=A(x)+C(x,x,x)。因此，

f(x)=fe(x)+fo(x)=

A(x)+Q(x,x)+C(x,x,x)

(iii)?(ii)。易證。

證明完畢。

推論1 設(shè)X,Y是向量空間,且f:X→Y滿足泛函方程(1)，則以下結(jié)論成立：

(i) 若f為偶映射，則f是二次的。

(ii) 若f奇映射，則f是立方-可加的。

2 穩(wěn)定性

設(shè)X是一個(gè)向量空間,Y是一個(gè)Banach空間。對于映射f:X→Y, 對于?x,y∈X定義

Df(x,y)=f(x+2y)-f(x-2y)-2f(x+y)+

2f(x-y)-2f(3y)+6f(2y)-6f(y)

接下來討論混合泛函方程的HUR穩(wěn)定性。

引理1 設(shè)s∈{1,-1},對于映射φ:X×X→[0,∞]存在L<1,使得對于任意的x,y∈X,φ(x,y)≤22sLφ(2-sx,2-sy)。已知f是一個(gè)偶映射，且滿足f(0)=0和

‖Df(x,y)‖≤φ(x,y),?x,y∈X

(4)

則對于所有的x∈X,存在唯一的二次映射Q:X×X→Y使得

且滿足

‖f(x)-Q(x)‖≤

(5)

證明在式(4)中令x=0，得到

另一方面，在式(4)中用y替代x有，‖f(3y)-4f(2y)+7f(y)‖≤φ(y,y)。

于是，由三角不等式得到

(6)

不妨設(shè)s=-1。

定義S:={g:X→Y}上的廣義度量：

d(g,h)=inf{μ∈R+:‖g(x)-h(x)‖≤

‖Jg(x)-Jh(x)‖=

此即

d(Jg,Jh)≤Ld(g,h),?x∈X,g,h∈S

(ii) 當(dāng)n→∞時(shí)，有d(Jnf,Q)→0。即對于?x∈X，有

‖f(x)-Q(x)‖≤

與此同時(shí),?x,y∈X,n∈N,有

于是,‖DQ(x,y)‖=0,?x,y∈X。因此Q:X×X→Y是唯一的二次映射。

s=1的證明類似。證明完畢。

以下的兩個(gè)引理討論f為奇映射時(shí)，在相似的條件下會有完全不同的結(jié)論。

引理2 設(shè)s∈{1,-1},L<1,且對于任意的x,y∈X,映射φ:X×X→[0,∞]滿足φ(x,y)≤2sLφ(2-sx,2-sy)。設(shè)f是一個(gè)奇映射且滿足f(0)=0和‖Df(x,y)‖≤φ(x,y),?x,y∈X,則存在唯一的可加映射A:X→Y使得

且有

‖f(2x)-8f(x)-A(x)‖≤

引理3 設(shè)s∈{1,-1},L<1,且對于任意的x,y∈X,映射φ:X×X→[0,∞]滿足φ(x,y)≤23sLφ(2-sx,2-sy)。設(shè)f是一個(gè)奇映射且滿足f(0)=0和‖Df(x,y)‖≤φ(x,y),?x,y∈X,則存在唯一的立方映射C:X×X×X→Y使得

且有

‖f(2x)-2f(x)-C(x)‖≤

綜合引理1-3,可以得到本文的推論和主要定理。

‖f(x)-A(x)-C(x)‖≤

定理3 設(shè)s∈{1,-1},L<1,且對于任意的x,y∈X,映射φ:X×X→[0,∞]滿足φ(x,y)≤2jsLφ(2-sx,2-sy),j=1,2,3。設(shè)f是一個(gè)映射且滿足f(0)=0和‖Df(x,y)‖≤φ(x,y),?x,y∈X,則存在唯一的可加映射A:X→Y,二次映射Q:X×X→Y和立方映射C:X×X×X→Y使得

和

且有

‖f(x)-A(x)-Q(x)-C(x)‖≤

[1] RASSIAS T M. On the stability of the linear mapping in Banach spaces [J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1978, 72(2): 297-300.

[2] BADORA R. On approximate ring homomorphisms [J]. J Math Anal Appl, 2002, 276(2): 589-597.

[3] JUN K W, KIM H M. The generalized Hyers-Ulam-Rassias stability of a cubic functional equation [J]. J Math Anal Appl, 2002, 274(2): 867-878.

[4] ABBAS N. Hyers-Ulam-Rassias stability of a cubic functional equation [J]. Bull Korean Math Soc, 2007, 44(4): 825-840.

[5] RASSIAS J M, KIM H M. Generalized Hyers-Ulam Stability for additive functional equations in quasi-β-normed spaces [J]. J Math Anal Appl, 2009, 356(1): 302-309.

[6] ESKANDANI G Z, GAVRUTA P. Hyers-Ulam-Rassias stability of Pexiderized Cauchy functional equation in 2-Banach spaces [J]. J Nonlinear Sci Appl, 2012, 5(6): 459-465.

[7] PERKINS A M, SAHOO P K. A functional equation with involution related to the cosine function [J]. Aequat Math, 2016, 90(1): 123-131.

[8] HUANG J, LI Y. Hyers-Ulam stability of linear functional differential equations [J]. J Math Anal Appl, 2015, 426(2): 1192-1200.

[9] 陳建軍，王曉峰. 單位球Dirichlet空間上的緊Toeplitz算子[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 55(6): 74-78.

CHEN J J, WANG X F. Compact Toeplitz operators on the Dirichlet space over unit ball [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2016, 55(6): 74-78.

[10] 馬西霞. 五維空間Navier-Stokes方程的正則性[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2017, 56(1): 96-101.

MA X X. The regularity of Navier-Stokes equations in five-dimensional space [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2017, 56(1): 96-101.

StabilityofamixedtypefunctionalequationinBanachspaces

CHENGLihua

(College of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

The equivalence of two mixed type functional equations in Banach space is given. By using the fixed point method, the stability of the mixed functional equation in Banach space is built up step by step. Furthermore, the better upper bound is gotten.

mixed functional equation; generalized Hyers-Ulam-Rassias stability; fixed point alternative

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.06.010

2017-01-11

國家自然科學(xué)基金(11101323)；陜西省科技廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金(2016JQ1029)

成立花(1973年生)，女；研究方向算子理論與小波分析；E-mail: 178529238@qq.com

O175.25

A

0529-6579(2017)06-0068-04