滑輪參與的繩連物體加速度問題分類及應用

【摘 要】用不可伸長的繩通過滑輪連接物體（忽略滑輪和繩質(zhì)量及摩擦，同時與物體接觸面均考慮為光滑且物體不跨過滑輪）的運動模型求各連接物體的加速度問題是當前高中階段理綜與物理競賽考試中常遇到的試題。在學習中很多同學都疑惑不解。本文用三大分類模型及應用，來提高我們對有滑輪參與的繩連物體加速度問題的理解掌握和應用。

【關鍵詞】滑輪；繩連物體；加速度；分類應用

本文由易到難，對有滑輪參與的繩連物體加速度問題進行分類，經(jīng)總結(jié)收集整理出以下三大分類及應用題型，供大家學習參考：

一、分類1——單個定滑輪繩連（無轉(zhuǎn)動）多個物體的加速度問題

如下圖1、圖2、圖3、圖4：這類通過單個定滑輪繩連各物體特點是物體均沿繩移動方向運動，即為無轉(zhuǎn)動情況。則：繩連各物體在沿繩移動方向的加速度大小相等（依據(jù)是相等時間內(nèi)各繩連物體的位移大小相等），但方向不同。

這類題型求多個物體的加速度或繩對各物體的拉力計算都較簡單，本文通過例1探討其應用。

例1.如右圖5：已知m■、m■、m■的質(zhì)量分別為4kg、2kg、1kg，忽略滑輪和繩質(zhì)量及摩擦，重力加速度g，求圖示位置繩對物的拉力T■和T■和各繩連物體的加速度。

分析：該類題型通過繩連各物體無轉(zhuǎn)動，則各物體加速度大小相等。

解：本題設m■相對的加速度大小為a，方向向下，則：

m■、m■的加速度方向向上，加速度大小也為a；

根據(jù)牛頓第二定律，可分別列方程：

m■g﹣T■=m■a ………①

T■﹣（m■+m■）g=（m■+m■）a ………②

T■﹣m■g=m■a ………③

聯(lián)立解①②③即可得到：m■的加速度大小g/7，方向向下；m■、m■的加速度大小也為g/7，方向向上；T■=24g/7；T■=8g/7。

二、分類2——單個定滑輪繩連（有轉(zhuǎn)動）物體的加速度問題

如下圖6：這類通過單個定滑輪繩連的物體特點是有物體運動方向與繩移動方向不一致（如圖6中物體M），即為有轉(zhuǎn)動情況。則：物體在沿繩移動方向的加速度大小不相等（依據(jù)是有轉(zhuǎn)動情況下，圍繞定滑輪軸轉(zhuǎn)動端的繩連物體M會產(chǎn)生對應的向心加速度）。

這類題型求物體的加速度的計算多出現(xiàn)在物理競賽試題中，本文通過例2探討其應用。

例2.如上圖7所示，一根長3L的輕繩繞過定滑輪，一端與放在光滑地面上質(zhì)量為M的物體A相連，另一端栓在質(zhì)量為m的物體B上，滑輪距地面高度為L。開始時，物體B處在靠近滑輪距地面L高處，且物體A、B間輕繩被拉直。將物體B由靜止釋放，試求物體B剛觸地瞬間物體A、B的加速度。（物體A、B可視為質(zhì)點，且物體A不離開水平地面）

分析：可判斷該題中通過繩連物體A有轉(zhuǎn)動，故物體A、B加速度大小不相等。當B剛觸地瞬間，物體A、B所處位置正如圖8，此時輕繩與水平方向夾角為30■。

此時物體A：沿水平做直線運動速率v■，對滑輪的運動可分解為兩個分運動（見圖9）：1.收繩方向其速度大小與收繩速率和物體B的觸地瞬間速率v■相等；2.繞滑輪或收繩方向切向下的轉(zhuǎn)動速率v■■。物體A的加速度a■也沿水平直線方向見圖10，其加速度的分解與速度分解類似，收繩方向其加速度大小a■■。因為物體A繞滑輪有轉(zhuǎn)動速度，導致物體A有向心加速度a■■，所以a■≠a■，其關系應該是a■■=a■+a■■。

解：物體B剛觸地瞬間整個系統(tǒng)其加速度和速度分解如圖9所示，下圖11物體A受力圖。

物體B由靜止釋放，到剛觸地瞬間，系統(tǒng)機械能守恒：

mgL=■mv■■+■Mv■■………①

根據(jù)分析有：v■=v■cos30■………②a■■=a■cos30■……③

對物體A有：Tcos30■=Ma■………④a■■=a■+a■■………⑤

a■■=■=■……⑥

對物體B有：mg-T=ma■………⑦

聯(lián)立①-⑦方程可解得：

a■=■ a■=■

三、分類3——用繩借助動滑輪提降物體（沒轉(zhuǎn)動）的加速度問題

如下圖12：這類通過借助動滑輪提升（或下降）物體特點無轉(zhuǎn)動情況，物體B作為輕繩運動端質(zhì)點，則：物體B向上（下）的加速度大小是物體A向上（下）的加速度的2倍（原因是相等時間內(nèi)繩連物體A、B的位移大小為2倍關系）。另輕繩固定端到動滑輪接觸點間繩上任一質(zhì)點的加速度均為0（原因是該端質(zhì)點無位移產(chǎn)生）。該分類僅做結(jié)論，將在后面滑輪組中得到應用。

四、應用——滑輪組繩連物體的加速度復雜問題

這類題型是物理競賽試題中求物體的加速度較復雜的問題（本文僅討論無轉(zhuǎn)動的問題，有轉(zhuǎn)動的更復雜的問題在以后單獨討論）。特點是多個滑輪參與繩連物體運動模型，各物體的加速度及關系視具體情況靈活應用。本文以例3、例4探討其應用。

例3.如上圖13所示，各懸掛物體的質(zhì)量分別為m■=3kg，m■=2kg，m■=1kg。求m■、m■、m■的加速度a■、a■、a■。

分析：該題先不考慮滑輪A、m■系統(tǒng)。單獨考慮滑輪B、m■、m■系統(tǒng)就是分類一情形：則m■、m■的加速度大小相等設為a■，此時m■的加速度方向向下，m■的加速度方向向上。再考慮滑輪A、B系統(tǒng)，m■的加速度a■（方向向下），此時單獨出來的滑輪B系統(tǒng)中的各個物體均受到一個方向向上的加速度a■。于是有：a■=a■-a■；a■=a■+a■；則a■-a■=2a■。

解：再根據(jù)各懸掛物體的運動及拉力情況如上圖14分別列運動方程：

對m■有：m■g-2T■=m■a■………①

對m■有：m■g-T■=m■a■………②

對m■有：T■-m■g=m■a■……...③

再分析得出的：a■-a■=2a■………④

聯(lián)立①-④方程可解得：

a■=■g（方向向下）；a■=■g（方向向下）；a■=■g（方向向上）。

例4.如下圖15所示，各懸掛物體的質(zhì)量分別為m■，m■，m■，其中質(zhì)量為m■的物體向上做加速度運動，忽略滑輪和繩的質(zhì)量及一切摩擦，求m■的加速度。

分析：該題m■物體向上做加速度運動設為a，可知滑輪B向上的加速度也為a。由分類三易知滑輪A、m■、m■系統(tǒng)向下的加速度為2a。再以滑輪A為參照系（見圖16），此時由分類一可得，m■，m■的加速度大小相等設為a■（可設m■的加速度方向向下，則m■的加速度方向向上）。同時整個滑輪A為參照系如圖16實際還處于加速度2a向下的運動系中，所以有：

m■的實際加速度a■（方向向下）：a■=a■+2a………①

m■的實際加速度a■（方向向上）：a■=a■-2a………②

解：再根據(jù)各懸掛物體的運動及拉力情況如下圖17-18分別列運動方程：

對m■有：m■g-T■=m■a■……….③

對m■有：T-m■g=m■a■………④

對m■有：4T-m■g=m■a■………⑤

聯(lián)立①-⑤方程可解得：a=■g

通過以上分類應用分析找出各類模型的特點，得出不同模型問題的加速度關系，提高我們對滑輪組繩連物體加速度復雜問題的解題能力，從中體驗物理學習中的解題樂趣。

【參考文獻】

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[3]曲一線.高考物理（新課標專用）[M].北京：教育科學出版社，2014.6（2015.6重?。?/p>

【作者簡介】

陶逸（2000-），男，重慶市八中高2018級學生。