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    構(gòu)建一般化電荷模型求解靜電物理問題

    2014-06-29 09:02:28王浩川余泓燁金旭統(tǒng)
    物理通報(bào) 2014年6期
    關(guān)鍵詞:點(diǎn)電荷平面鏡球面

    王浩川 余泓燁 金旭統(tǒng)

    (浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高二(1)班 浙江 寧波 3152 00 )

    黃國龍

    (浙江省鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江 寧波 3152 00 )

    解答某些特殊情形下靜電場競賽問題時(shí),如果運(yùn)用特殊電荷模型對應(yīng)的理論和方法進(jìn)行解答,往往比較困難,有時(shí)容易發(fā)生錯(cuò)誤.事實(shí)上,物理模型及相對應(yīng)的理論之間往往存在特殊與一般的對應(yīng)關(guān)系,如果能根據(jù)物理模型間特殊與一般關(guān)系,構(gòu)建與特殊物理模型相對應(yīng)的一般化物理模型,并揭示物理模型間特殊和一般關(guān)系,運(yùn)用一般化物理模型所對應(yīng)的物理規(guī)律,常能求解疑難的特殊物理問題,使疑難問題得到創(chuàng)新解答.本文結(jié)合物理競賽中的具體靜電場問題實(shí)例,就構(gòu)建一般化靜電模型創(chuàng)新解答靜電物理問題作一小結(jié).

    1 構(gòu)建等量異種電荷模型創(chuàng)新解答勻強(qiáng)電場中感應(yīng)電荷問題

    【例1】如圖1所示,在電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場中放置一個(gè)均勻金屬球,其半徑為R,感應(yīng)電荷在球上產(chǎn)生了面電荷密度為σ的電荷,σ和圖1中標(biāo)出的θ角有關(guān)系,試求σ和θ的關(guān)系式.

    圖1

    分析:解答這個(gè)問題常規(guī)的方法有兩種,在普通物理中運(yùn)用微積分方法求解,而在高中物理競賽中,通過構(gòu)建疊加的等量異種均勻分布球形電荷模型結(jié)合類比方法求解.下面運(yùn)用構(gòu)建一般化電荷模型求解這個(gè)問題.

    構(gòu)建一般化電荷模型:現(xiàn)構(gòu)建如圖2所示的等量異種點(diǎn)電荷模型,在兩點(diǎn)電荷中點(diǎn)放置金屬球,當(dāng)滿足R d時(shí),可以近似地認(rèn)為,金屬球所處區(qū)域電場為勻強(qiáng)電場,且滿足

    因而,可以認(rèn)為,勻強(qiáng)電場是等量異種點(diǎn)電荷電場的中點(diǎn)區(qū)域的特殊電場.

    圖2

    等效構(gòu)建鏡像電荷模型:在一般化電荷模型中,金屬球電勢為零,球面上非均勻分布的感應(yīng)電荷可以等效為在球內(nèi)對稱的鏡像電荷+q′和-q′.根據(jù)鏡像法得

    移植運(yùn)用偶極子模型:在R d條件下,在求球面上和球面外區(qū)域激發(fā)電場時(shí),由于a=很小,可把兩鏡像電荷等效為偶極子,如圖3所示.

    圖3

    偶極子在球面上任意點(diǎn)P產(chǎn)生電場強(qiáng)度為

    P點(diǎn)徑向電場強(qiáng)度滿足

    由式(1)、(2)、(4)得

    通過構(gòu)建勻強(qiáng)電場模型的一般化電荷模型(等量異種電荷模型),運(yùn)用近似、對稱、等效和移植等方法創(chuàng)新地解決了這個(gè)比較復(fù)雜的非均勻電荷問題.

    2 構(gòu)建雙球面鏡像電荷模型創(chuàng)新解答雙平面感應(yīng)電荷問題

    【例2】如圖4所示,兩塊無限大的接地導(dǎo)體平面相距為L,在兩板之間距離A板為d處放置一帶+q電量的點(diǎn)電荷.試求每塊板上感應(yīng)電荷.

    圖4

    分析:直接運(yùn)用平面鏡像電荷法解答這個(gè)問題需要構(gòu)建無數(shù)個(gè)鏡像電荷,求解比較復(fù)雜和困難.相關(guān)物理競賽參考資料[1]上常構(gòu)建平面電容模型,運(yùn)用電容器知識(shí)求解這個(gè)問題.下面構(gòu)建一般化電荷模型求解這個(gè)問題.

    (1)球面鏡像電荷模型和平面鏡像電荷模型的一般和特殊關(guān)系的論證

    這兩種模型間的一般和特殊關(guān)系,證明如下.

    球內(nèi)鏡像電荷情形:

    當(dāng)x R時(shí)

    與平面鏡像電荷規(guī)律相同,等效為平面鏡像電荷.

    圖5

    球外鏡像電荷情形:

    圖6

    如圖6所示,當(dāng)點(diǎn)電荷Q放在接地導(dǎo)體球內(nèi)時(shí),內(nèi)球面上非均勻分布的感應(yīng)電荷等效為球外的鏡像電荷Q′,運(yùn)用鏡像方法同理可得

    當(dāng)x R時(shí)

    x′≈x Q′≈-Q

    如今工業(yè)產(chǎn)業(yè)運(yùn)用的電氣化系統(tǒng)中,數(shù)字技術(shù)最突出的一種應(yīng)用就是現(xiàn)場總線技術(shù),借助這一技術(shù)可以讓信息數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)雙向傳輸,讓生產(chǎn)效率得到顯著提升。該技術(shù)可以讓電氣化系統(tǒng)與智能設(shè)備實(shí)現(xiàn)連接,然后借助光纖等網(wǎng)絡(luò)媒介,讓數(shù)據(jù)傳輸更加高效,這種傳輸系統(tǒng)是雙向的,對于控制平臺(tái)的操作人員來說,可以通過這一系統(tǒng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行傳遞,也可以通過平臺(tái)接收各類反饋信息,一旦發(fā)現(xiàn)問題可以采取有效的措施進(jìn)行應(yīng)對,這樣可以避免由于故障造成嚴(yán)重的損失,讓系統(tǒng)運(yùn)行的質(zhì)量以及效率得到提升。

    球面鏡像電荷模型近似為平面鏡像電荷模型.

    (2)構(gòu)建一般化雙球面模型

    如圖7所示,將左側(cè)的導(dǎo)體面等效為接地導(dǎo)體球(內(nèi)球),半徑為R(R d),將右側(cè)的導(dǎo)體面等效為包裹內(nèi)球的接地球殼,且表面與內(nèi)球面距離為L,而點(diǎn)電荷被夾在中間.設(shè)外側(cè)感應(yīng)電荷總量為Q1,內(nèi)側(cè)感應(yīng)電荷總量為Q2,由外球面接地可得

    圖7

    由于內(nèi)球接地,因此在球心處的電勢為零.即

    由式(6)、(7)解得

    (3)特殊化推理

    當(dāng)d R,L R時(shí),雙球面接地電荷模型近似為雙平面接地電荷模型,由式(8)、(9)解得

    由上述分析可知,通過構(gòu)建平面接地電荷模型的一般化電荷模型(雙球面接地電荷模型),運(yùn)用接地球面電勢規(guī)律,創(chuàng)新地解答這個(gè)疑難問題.

    3 構(gòu)建橢圓運(yùn)動(dòng)模型創(chuàng)新解答復(fù)雜直線運(yùn)動(dòng)問題

    【例3】如圖8所示,質(zhì)量為m,帶電量為Q的點(diǎn)電荷放在離無限大導(dǎo)電板r處.現(xiàn)釋放該點(diǎn)電荷,求它經(jīng)過多長時(shí)間到達(dá)板上.不計(jì)點(diǎn)電荷重力.

    圖8

    分析:解答這個(gè)問題的常規(guī)思路是,先運(yùn)用等效方法構(gòu)建平面鏡像電荷,然后,運(yùn)用牛頓第二定律和庫侖定律列出微分方程,最后,解微分方程求解結(jié)果,解題過程比較復(fù)雜.下面運(yùn)用構(gòu)建一般化運(yùn)動(dòng)模型方法創(chuàng)新求解這個(gè)問題.

    (1)等效方法構(gòu)建固定鏡像電荷模型

    先根據(jù)等效方法構(gòu)建對稱的鏡像電荷-Q,如圖9所示,在等效構(gòu)建鏡像電荷-Q的基礎(chǔ)上,把運(yùn)動(dòng)的鏡像電荷-Q等效為處于導(dǎo)體板上O點(diǎn)固定不動(dòng)點(diǎn)電荷Q′,根據(jù)

    圖9

    (2)構(gòu)建一般化橢圓運(yùn)動(dòng)模型

    由于點(diǎn)電荷受到平方反比力的作用,因而,可以構(gòu)建此直線運(yùn)動(dòng)一般化模型,即把點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)近似為很扁的橢圓運(yùn)動(dòng),長半軸.

    (3)類比推理求解時(shí)間

    與天體運(yùn)動(dòng)模型相似,運(yùn)用類比思維方法得

    根據(jù)開普勒第三定律得扁橢圓運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)周期滿足

    通過等效、類比思維方法構(gòu)建直線運(yùn)動(dòng)的一般化模型(扁橢圓運(yùn)動(dòng)),進(jìn)行類比推理簡化解題過程,降低了求解復(fù)雜直線運(yùn)動(dòng)的靜電問題.

    1 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理教程(電磁學(xué)篇).北京:中國科技大學(xué)出版社,2005

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