任意正多邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射成像探討

宋易知

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

任意正多邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射成像探討

宋易知

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

對(duì)夫瑯禾費(fèi)衍射積分進(jìn)行了理論推導(dǎo)，基于夫瑯禾費(fèi)衍射積分公式的一般形式，推導(dǎo)出了一種對(duì)任意正多邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射情況的計(jì)算方法，并利用Matlab軟件進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，做出了只用1個(gè)函數(shù)文件即可計(jì)算出所有可能的多邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射成像的嘗試.

正多邊形小孔；夫瑯禾費(fèi)衍射；Matlab

1 理論基礎(chǔ)

光的衍射現(xiàn)象能體現(xiàn)光的波動(dòng)性，即光在直線傳播中遇到圓孔、小球、直邊等障礙物時(shí)，不被擋住反而繞到其后面?zhèn)鞑ィM(jìn)入光強(qiáng)本應(yīng)為零的暗區(qū)[1-2]. 惠更斯-菲涅耳原理以波動(dòng)理論解釋光如何傳播，指出波陣面上每一點(diǎn)均為次波源，這些次波的包絡(luò)面即為新波面.

(1)

其中C為比例系數(shù),K(θ)為傾斜因子[當(dāng)θ增大時(shí)，K(θ)緩慢減小],Σ為平面波的1個(gè)波面[3].

(2)

(3)

在通常的光學(xué)處理系統(tǒng)中，z應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于衍射小孔和觀察區(qū)域的最大線度，且從P到Q點(diǎn)的距離應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光的波長(zhǎng)，即r?λ，相當(dāng)于用平面波的振幅替代球面波前在觀察平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅[3]. 易推知θ應(yīng)為小量，則有

K(θ)=cosθ≈1 .

(4)

雖然(3)式分母中的r可以直接用z代替，但不能忽略的是，當(dāng)λ很小時(shí)，k值很大，指數(shù)中的r的微小誤差可能引入遠(yuǎn)大于2π的相位變化，使之不可以直接用z代替. 對(duì)其做二項(xiàng)式展開(kāi)[4]

(5)

保留展開(kāi)式的前兩項(xiàng)，有

(6)

于是得到了菲涅耳衍射積分

(7)

(8)

即在夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)內(nèi)觀察平面上的夫瑯禾費(fèi)衍射積分公式的一般形式.

2 計(jì)算原理

2.1 計(jì)算思路

如圖1所示，由于正多邊形的中心對(duì)稱(chēng)性，對(duì)于正L邊形的小孔，只需要計(jì)算出1個(gè)小三角形的衍射場(chǎng)分布，將其進(jìn)行L-1次坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換，隨后將其全部相加，就能獲得任意正多邊形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射成像. 此前的衍射成像模擬程序都局限在某個(gè)特定形狀小孔上，而在這種思路的指導(dǎo)下， 本文做出了只用1個(gè)函數(shù)文件計(jì)算出所有可能的多邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射成像的嘗試.

圖1 正多邊形由多個(gè)小三角形組成

2.2 等腰三角形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射

圖2 等腰三角形孔

(9)

2.3 正多邊形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射

如果衍射屏為邊長(zhǎng)為a的正n邊形孔(如圖3)，則以其幾何中心為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系. 由于S=S1+S2+…+Sn，這樣夫瑯禾費(fèi)衍射積分就可以分別在這n個(gè)三角形區(qū)域進(jìn)行，由于這n個(gè)三角形是全等的，其積分結(jié)果應(yīng)當(dāng)對(duì)稱(chēng). 可從S1的衍射結(jié)果式(9)出發(fā)，依次繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角，即對(duì)式(9)依次作下列坐標(biāo)變換：

圖3 正n邊形孔

由此，得到了正多邊形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射的計(jì)算方法. 原則上存在任意多邊形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射公式，但是將每個(gè)都計(jì)算出來(lái)極其繁瑣且不具操作性. 因此，不妨考慮用計(jì)算機(jī)程序模擬的方法解決這個(gè)問(wèn)題.

3 Matlab模擬

3.1 程序

根據(jù)以上計(jì)算分析編寫(xiě)夫朗禾費(fèi)任意多邊形小孔衍射仿真函數(shù)文件(運(yùn)行環(huán)境：Matlab R2014b)[6]:

function dbx(L) %L是邊數(shù)

the=pi*(L-2)/L; %多邊形的外角

m=tan((pi-the)/2); %等腰小三角形頂角的1/2

a=3e-5;

lamda=500e-9; %光的波長(zhǎng)

z=6; %衍射屏到觀察屏的距離

k=2*pi/lamda;

h=a/(2*m*lamda*z);

x=-1∶0.005∶1;

y=-1∶0.005∶1;

for i=1∶1∶401

for j=1∶1∶401

for n=1∶L

C=a*exp((-1)^(1/2)*k*z)*exp((-1)^(1/2)*k*((x(i))^2+(y(j))^2)/2/z)/(4*pi*m*y(j));

alpha=h*(x(i)+m*y(j));

beta=h*(x(i)-m*y(j));

E1(n,i,j)=C*(exp(-(-1)^(1/2)*pi*alpha)*sin(alpha)/alpha-exp(-(-1)^(1/2)*pi*beta)*sin(beta)/beta);%單個(gè)小三角形的衍射場(chǎng)

u(i)=x(i); %x和y分別轉(zhuǎn)過(guò)一角度

x(i)=x(i)*cos(the)+y(j)*sin(the);

y(j)=-u(i)*sin(the)+y(j)*cos(the);

end

E(i,j)=sum(E1(∶,i,j)); %L個(gè)小三角形相加

I(i,j)=abs(E(i,j))^2; %求光強(qiáng)

end

end

m=max(I(∶));n=min(I(∶));I0=(I-n)/(m-n);

figure(1)

imshow(I0) %畫(huà)圖

figure(2)

mesh(I)

3.2 運(yùn)行結(jié)果

3.2.1 正三角形小孔

在指令窗口輸入“〉〉dbx(3)”得到圖像如圖4所示.

3.2.2 正四邊形小孔

在指令窗口輸入“〉〉dbx(4)”，得到圖像如圖5所示.

(a)

(b)圖4 正三角形小孔衍射圖樣

(a)

(b)圖5 正四邊形小孔衍射圖樣

3.2.3 正五邊形小孔

在指令窗口輸入“〉〉dbx(5)”，得到圖像如圖6所示.

3.2.4 正六邊形小孔

在指令窗口輸入“〉〉dbx(6)”，得到圖像如圖7所示.

(a)

(b)圖6 正五邊形小孔衍射圖樣

(a)

(b)圖7 正六邊形小孔衍射圖樣

4 結(jié)束語(yǔ)

在當(dāng)今社會(huì)，計(jì)算機(jī)技術(shù)迅猛發(fā)展并日臻完善，基于Matlab 的計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)對(duì)物理研究的幫助日趨顯著. 由計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果可見(jiàn)，衍射圖樣為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，且在正多邊形各邊的垂直方向上光強(qiáng)較強(qiáng)；邊數(shù)越多，光強(qiáng)較強(qiáng)的區(qū)域越密集. 不難推斷，當(dāng)n→∞時(shí)，光強(qiáng)分布為圓形亮斑外套著明暗相間的圓環(huán)，即圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣. 可以看到，計(jì)算機(jī)模擬的正五邊形的衍射圖樣由于排布十分密集，已經(jīng)接近圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣.

致謝：衷心感謝計(jì)算物理老師彭芳麟教授的教導(dǎo)！

[1] 姚啟鈞. 光學(xué)教程[M]. 5版. 北京：高等教育出版社，2014.

[2] 加塔克.光學(xué)[M]. 梁銓廷，胡宏章，譯. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1984:74-85.

[3] 厲江帆，姜宗福，黃春佳，等. 夫瑯禾費(fèi)衍射公式的一般形式[J]. 大學(xué)物理，2003，22(11):9-14.

[4] 于愛(ài)軍. 光的多邊形衍射的計(jì)算機(jī)模擬[D]. 大連：大連理工大學(xué)，2007.

[5] Joseph W G. Introduction to Fourier optics [M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2006:59-67.

[6] 彭芳麟. 計(jì)算物理基礎(chǔ)[M]. 5版. 北京：高等教育出版社，2010.

DiscussionontheFraunhoferdiffractionimagingofarbitraryregularpolygonhole

SONG Yi-zhi

(Department of Physics, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Based on the general form of Fraunhofer diffraction integral, the calculative method to analyze arbitrary regular polygon Fraunhofer diffraction was put forward. Using the Matlab software, computer simulation was carried out, attempting to get all possible Fraunhofer diffraction imaging of the regular polygon hole with just one function file.

regular polygon hole; Fraunhofer diffraction; Matlab

O436.1

A

1005-4642(2017)11-0048-04

2017-06-05；修改日期2017-07-07

宋易知(1998-)，女，四川樂(lè)山人，北京師范大學(xué)物理學(xué)系2014級(jí)本科生.

[責(zé)任編輯：郭 偉]