磁力火車實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的理論解釋

仇 亮，尋之朋，石禮偉

(中國礦業(yè)大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

磁力火車實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的理論解釋

仇 亮，尋之朋，石禮偉

(中國礦業(yè)大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

從理論上解釋了磁力火車實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象. 計(jì)算了火車受到的磁場力,指出火車兩端的磁鐵必須是同名磁極相對(duì)的原因. 推導(dǎo)出火車運(yùn)動(dòng)速率的表達(dá)式，證明火車運(yùn)動(dòng)速率的增幅越來越小,最終火車會(huì)勻速率運(yùn)動(dòng). 從勻速率運(yùn)動(dòng)時(shí)的速率表達(dá)式可以看出：干電池的電動(dòng)勢越大,勻速率越大;而隨著磁鐵磁偶極矩的增大,勻速率則先增大后減小.

磁力火車；磁感應(yīng)強(qiáng)度；磁場力；感應(yīng)電動(dòng)勢；牛頓第二定律

2016年中國大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽[1-2]中,第8題是磁力火車,涉及到的物理實(shí)驗(yàn)裝置非常簡單:2塊扁圓柱形磁鐵(實(shí)驗(yàn)中使用球形磁鐵)與1塊柱狀的干電池兩端相連接(這就是火車),將該體系放在銅線圈內(nèi)部并且磁鐵與銅線圈接觸,如圖1所示. 圖1中干電池兩端分別固定2塊球形磁鐵，組成火車,火車放入銅線圈內(nèi)部,兩端的磁鐵與銅線圈接觸良好. 紅色箭頭表示線圈中電流方向. 需要注意的是,磁鐵需要與銅線圈接觸良好,從而使得火車和2塊磁鐵之間的銅絲組成閉合回路，以便產(chǎn)生電流. 實(shí)驗(yàn)易于操作,實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象非常明顯,物理原理只涉及到普通物理的知識(shí). 本文對(duì)磁力火車實(shí)驗(yàn)中觀察到的物理現(xiàn)象進(jìn)行理論分析.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象如下：

1)當(dāng)2塊磁鐵的同名磁極相對(duì)放置時(shí),如圖2(a)所示,火車能夠運(yùn)動(dòng);而當(dāng)2塊磁鐵的異名磁極相對(duì)放置時(shí),如圖2(b)所示,火車不能運(yùn)動(dòng).

2)火車的速率開始時(shí)增加得很快;但隨著時(shí)間的延長,火車的速率增加得越來越慢,最終火車做勻速運(yùn)動(dòng).

3)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速率與干電池的電動(dòng)勢有關(guān)，電動(dòng)勢越大,火車速率越大,反之越小;而勻速率運(yùn)動(dòng)時(shí)速率隨著磁鐵磁偶極矩的增加是先增大后減小.

(a)2塊磁鐵同名磁極相對(duì)放置

(b)2塊磁鐵異名磁極相對(duì)放置

圖2 磁鐵放置示意圖

2 理論解釋

利用普通物理的知識(shí)來探討磁力火車實(shí)驗(yàn)的原理[3-4].

圖3為磁力火車系統(tǒng)剖面圖，紅色箭頭表示的是線圈中電流產(chǎn)生的磁場方向;m1和m2分別是2塊磁鐵的磁偶極矩,且認(rèn)為二者相等都為m. 右手坐標(biāo)系的原點(diǎn)選在左邊球形磁鐵的球心處.

2.1 火車受到的磁場力

力是使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因. 既然火車能從靜止?fàn)顟B(tài)開始運(yùn)動(dòng),它一定受到了力的作用. 根據(jù)圖3分析火車系統(tǒng)所受到的力. 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí),選擇的磁鐵直徑只比銅線圈內(nèi)徑略小,因此可以合理地假定2塊磁鐵的磁偶極矩m沿著線圈的軸線,即圖中的x軸方向. 以左邊球形磁鐵的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系(如圖3所示). 火車系統(tǒng)和2塊磁鐵之間的銅線圈組成了閉合回路,因此這部分銅絲中通有電流I,會(huì)在銅線圈內(nèi)部產(chǎn)生磁場. 如將線圈看成一個(gè)一個(gè)的圓形電流[5-6]，距離原點(diǎn)a處,長度為nda內(nèi)的圓形電流在x處所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為[7-10]

(1)

(1)式中μ0是真空磁導(dǎo)率,R是銅線圈的半徑,n是單位長度線圈的匝數(shù),線圈中的電流在x處產(chǎn)生的總的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(2)

而每塊磁鐵所受到的磁場力可以用其在磁場中勢能的梯度表示[11],即

F=-U=(m·B).

(3)

(3)式中m是球形磁鐵的磁偶極矩. 將(2)式代入(3)式可以得到左邊的磁鐵所受到的磁場力為

(4)

圖3 磁力火車系統(tǒng)的剖面圖

類似算法可得右邊的磁鐵所受到的磁場力大小和方向均與左邊的磁鐵相同.

火車體系所受到的磁場力可以用來解釋第1個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象. 從推導(dǎo)可以看出,當(dāng)2塊磁鐵的S極相對(duì)時(shí),火車所受到的總的磁場力向右,使得火車向右運(yùn)動(dòng);當(dāng)2塊磁鐵的N極相對(duì)時(shí),火車所受到的總的磁場力向左,使得火車向左運(yùn)動(dòng);當(dāng)N極和S極相對(duì)(或是S極和N極相對(duì))時(shí),2塊磁鐵所受到的磁場力大小相等、方向相反,火車所受到的合磁場力為零,不會(huì)運(yùn)動(dòng). 從磁場力的推導(dǎo)過程也可以看出,電池一端沒有磁鐵而保證該端和銅線圈緊密接觸,使得整個(gè)體系仍然構(gòu)成回路,火車也能運(yùn)動(dòng).

2.2 火車的速率

火車運(yùn)動(dòng)過程中,兩端磁鐵所產(chǎn)生的磁場會(huì)在構(gòu)成回路的銅線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢,相應(yīng)地會(huì)有感應(yīng)電流. 根據(jù)楞次定律,感應(yīng)電動(dòng)勢的方向和電池的電動(dòng)勢方向相反[7-9，12]. 左邊的磁偶極矩為m的磁鐵在任一點(diǎn)r(x,y,z)處所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為[11]

(5)

(6)

(7)

而長為l的銅線圈中所產(chǎn)生的總的感應(yīng)電動(dòng)勢為

(8)

將B′的表達(dá)式[(6)式]代入(8)式,通過簡單的計(jì)算,可以得到左邊磁鐵在銅線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為

ε=-Kv,

(9)

負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電動(dòng)勢的方向與線圈中由電池產(chǎn)生的電流方向相反.

類似地,右邊磁鐵在銅線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢與ε大小相等、方向相同.

對(duì)火車體系和2塊磁鐵之間的銅絲應(yīng)用全電路歐姆定律有

ε0+2ε=IRe,

(10)

式中ε0為干電池的電動(dòng)勢,Re為整個(gè)回路的電阻,即火車體系和2塊磁鐵之間線圈的電阻之和. 在x軸方向上對(duì)火車體系應(yīng)用牛頓第二定律，有

(11)

式中M為火車體系的質(zhì)量. 聯(lián)立式(10)和(11)得到火車速率的表達(dá)式

(12)

這里

(13)

式(12)可以用來解釋第2個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象. 圖4為火車速率隨著時(shí)間的變化曲線. 從圖4中可以看出,開始時(shí)火車的速率增加得很快，但隨著時(shí)間的延長,火車的速率增加得越來越慢,最終做速率恒定的勻速率運(yùn)動(dòng). 這些結(jié)論與第2個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象吻合.

圖4 火車速率隨著時(shí)間的變化

圖5 勻速率運(yùn)動(dòng)時(shí)，速率隨磁偶極矩的變化

圖4和圖5中，R=0.011 m，l=0.070 m，N=24.58，M=0.077 5 kg，ε0=1.51 V，R0=0.821 Ω，μ=0.45，圖4中m=5.31 A·m2[4].

3 結(jié) 論

結(jié)合普通物理知識(shí),從理論上解釋了磁力火車實(shí)驗(yàn)中觀察到的物理現(xiàn)象. 根據(jù)火車系統(tǒng)受到的磁場力,發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)2塊磁鐵同名磁極相對(duì)時(shí)火車才會(huì)運(yùn)動(dòng);根據(jù)運(yùn)動(dòng)磁鐵對(duì)線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢、全電路的歐姆定律和水平方向的牛頓第二定律,給出了火車運(yùn)動(dòng)速率的表達(dá)式,發(fā)現(xiàn)火車的速率增幅越來越小,最終會(huì)進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng);根據(jù)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速率的表達(dá)式,發(fā)現(xiàn)干電池的電動(dòng)勢越大,火車的速率越大,而火車的速率隨著磁鐵磁偶極矩的增大則是先增大后減小.

[1] 閔逸萌,高文莉,周子恒. 橡皮筋發(fā)動(dòng)機(jī)[J]. 物理實(shí)驗(yàn),2016,36(4):28-31.

[2] 孫宇伽,周凱,車廣順，等. “人造肌肉”收縮性能的實(shí)驗(yàn)探究[J]. 物理實(shí)驗(yàn),2016,36(7):23-27.

[3] 王明超. 磁力小火車的實(shí)驗(yàn)與影響因素分析[J]. 自動(dòng)化應(yīng)用,2016(4):4-5.

[4] Criado C, Alamo N. World’s simplest electric train[J]. American Journal of Physics, 2016,84(1):21-25.

[5] Derby N, Olbert S. Cylindrical magnets and ideal solenoids [J]. American Journal of Physics, 2010,78(3):229-235.

[6] Purcell E M, Morin D J. Electricity and magnetism[M]. 3rd ed. Cambrideg:Cambridge University Press, 2013：277-314.

[7] 程守洙,江之永. 普通物理學(xué)(上冊)[M]. 6版. 北京：高等教育出版社,2006:338-353.

[8] 丁健. 載流有限長密繞螺線管的磁場分布[J]. 大學(xué)物理,2009,28(8):28-30.

[9] 馬文蔚,周雨青,解希順. 物理學(xué)(下冊)[M]. 6版. 北京：高等教育出版社,2014:154-176.

[10] 趙蕓赫,馬宇翰. “磁滯剎車”現(xiàn)象中暫態(tài)過程的研究[J]. 物理實(shí)驗(yàn),2015,35(4):7-11.

[11] Griffiths D J. Introduction to electrodynamics [M]. 3rd ed. New Jersey: Prentice-Hall, 1999:202-234.

[12] Wood L T, Rottmann R M, Barrera R. Faraday’s law, Lenz’s law, and conservation of energy [J]. American Journal of Physics, 2004,72(3):376-380.

Theoreticalexplanationoftheexperimentalresultsofmagnetictrain

QIU Liang, XUN Zhi-peng, SHI Li-wei

(School of Physics, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

The experimental results of magnetic train were explained theoretically. After obtaining the expression of the force on magnetic train, it was found that the adjacent poles of two magnets must be the same. According to the expression of the speed of the magnetic train, the increasing rate of the speed became smaller and smaller, and the magnetic train would move at a constant speed in the end. Furthermore, from the expression of the final speed, the greater the eletromotive force of the battery was, the greater the speed would be; whereas, the final speed would firstly increase and then decrease with the increasing of the magnetic dipole moment.

magnetic train; magnetic flux density; magnetic force; induced electromotive force; Newton second law

O441

A

1005-4642(2017)11-0041-03

2017-01-08；修改日期2017-02-04

中國礦業(yè)大學(xué)課程建設(shè)與教學(xué)改革項(xiàng)目(No.2017JC08)

仇 亮(1981-)，男，安徽舒城人，中國礦業(yè)大學(xué)物理學(xué)院副教授，博士，主要從事大學(xué)物理教學(xué)和量子信息研究工作.

[責(zé)任編輯：任德香]