大跨梁在豎向地震作用下二次共振分析

何沛祥,王忠旺

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

大跨梁在豎向地震作用下二次共振分析

何沛祥,王忠旺

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

在豎向地震作用下,由于梁的豎向剪彎剛度有限,梁的豎向振動(dòng)與柱的豎向振動(dòng)并不協(xié)調(diào)一致,不宜將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為傳統(tǒng)的一維串聯(lián)質(zhì)點(diǎn)模型。為此,文章建立了一種簡(jiǎn)化的“梁柱” 模型對(duì)梁的二次共振進(jìn)行分析。分析結(jié)果表明,梁在豎向地震作用下的二次共振效應(yīng)主要和地面輸入頻率與柱(或主體結(jié)構(gòu))的豎向自振頻率比有關(guān),且在比值較小時(shí)受梁柱質(zhì)量比影響較小,在比值較大時(shí)受梁柱質(zhì)量比影響較大。并利用MIDAS GEN軟件驗(yàn)證了該模型是合理的。

大跨梁;豎向地震;二次共振;梁柱模型;自振頻率

0 引 言

在豎向地震作用下,結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生破壞,文獻(xiàn)[1]研究了不同場(chǎng)地對(duì)豎向反應(yīng)譜最大值的影響。然而大跨結(jié)構(gòu)在豎向地震作用下,大跨梁還會(huì)出現(xiàn)二次共振[2-3]現(xiàn)象,即大跨梁的振動(dòng)效應(yīng)可能會(huì)被放大,從而容易出現(xiàn)破壞。這種現(xiàn)象類似于水平地震中的鞭梢效應(yīng)[4-6]。文獻(xiàn)[2]通過PMSAP軟件的數(shù)值分析,提出在豎向地震作用下,當(dāng)大跨結(jié)構(gòu)自身的豎向振動(dòng)周期與其底部主體結(jié)構(gòu)的豎向振動(dòng)周期接近或一致時(shí),兩者之間將發(fā)生二次共振振動(dòng),地震效應(yīng)會(huì)顯著增大。這類似于文獻(xiàn)[4]研究鞭梢效應(yīng)時(shí)指出當(dāng)結(jié)構(gòu)頂部突出構(gòu)筑物的某一自振周期與主體結(jié)構(gòu)的某一自振周期相同且該周期又與地面運(yùn)動(dòng)的卓越周期相接近時(shí),最易發(fā)生鞭梢效應(yīng)。而文獻(xiàn)[7]則指出結(jié)構(gòu)鞭梢效應(yīng)發(fā)生的原因,主要是由于突出物自振頻率與地面運(yùn)動(dòng)干擾頻率相等或相近。故本文研究在豎向地震作用下大跨結(jié)構(gòu)的這種“二次共振”機(jī)理,通過一種簡(jiǎn)化模型對(duì)此做探討,并與MIDAS GEN軟件模擬的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,以驗(yàn)證該簡(jiǎn)化模型的合理性。

1 簡(jiǎn)化模型的分析

1.1 模型簡(jiǎn)化

在豎向地震作用下,由于梁的豎向剪彎剛度有限,其自身的振動(dòng)與柱的振動(dòng)并不協(xié)調(diào)一致,故不宜簡(jiǎn)化為傳統(tǒng)的一維串聯(lián)質(zhì)點(diǎn)模型。本文將建筑結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化的梁柱模型，如圖1所示。在豎向地震作用下,該模型的計(jì)算可以看成是將兩柱的豎向剛度進(jìn)行并聯(lián),再與梁的豎向剪彎剛度進(jìn)行串聯(lián)得到。故可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為彈簧振動(dòng)模型來具體研究結(jié)構(gòu)中梁在豎向地震作用下的地震反應(yīng)，如圖2所示。圖1、圖2中m1為梁代表質(zhì)量;m2′、m2″為柱的代表質(zhì)量;m2為柱的總代表質(zhì)量;k1為梁的抗彎剛度;k2′、k2″為柱的軸向壓縮剛度;k2為柱的總軸向壓縮剛度;C1為梁的阻尼系數(shù);C2′、C2″為柱的阻尼系數(shù);C2為柱的總阻尼系數(shù);xg=H0sin(ωt)為地面輸入位移;x1(t)、x2(t)為梁柱輸出位移。

圖1 梁柱模型

圖2 彈簧模型

由圖2的彈簧模型建立運(yùn)動(dòng)方程[8]如下：

(1)

并令x1(t)、x2(t)與xg的關(guān)系如下：

(2)

解得:

(3)

其中

1.2 模型分析

(3)式中H1為梁的地震反應(yīng)增量因子。本文研究梁在豎向地震作用下的響應(yīng),也即討論在不同參數(shù)作用下H1的大小。為方便討論,取阻尼比ξ1=ξ2=0.05，分別取β值(即地面輸入頻率與柱的自振頻率比)為0.1、0.5、1.0進(jìn)行討論。

(1)β=0.1,且分別取梁柱的代表質(zhì)量比μ=0.1、0.5、1.0時(shí),觀察梁的地震響應(yīng)H1隨λ(地面輸入頻率與梁頻率之比)的變化而變化的趨勢(shì)。結(jié)果如圖3所示。

由圖3可看出，當(dāng)λ=1時(shí)梁發(fā)生二次共振效應(yīng)。且3條曲線幾乎重合,此時(shí)梁的二次共振幾乎不受梁柱質(zhì)量比變化的影響。

圖3 β=0.1時(shí)增量因子H1與λ的關(guān)系

(2)β=0.5,且分別取梁柱的代表質(zhì)量比μ=0.1、0.5、1.0時(shí),觀察梁的地震響應(yīng)H1隨λ的變化而變化的趨勢(shì)，結(jié)果如圖4所示。由圖4可看出,當(dāng)λ在1.0附近時(shí)梁發(fā)生二次共振效應(yīng),且3條曲線的峰值出現(xiàn)了偏離,此時(shí)梁的二次共振效應(yīng)受到梁柱質(zhì)量比變化的影響。

(3)β=1,分別取梁柱的代表質(zhì)量比μ=0.1、0.5、1.0時(shí),觀察梁的地震響應(yīng)H1隨λ的變化而變化的趨勢(shì),結(jié)果如圖5所示。由圖5可看出，當(dāng)λ=1且梁柱質(zhì)量比μ=0.1時(shí)梁發(fā)生二次共振效應(yīng)，3條曲線明顯分離,說明梁的二次共振效應(yīng)受到梁柱質(zhì)量比變化的影響很大,且在梁柱質(zhì)量比較大時(shí),梁不發(fā)生二次共振效應(yīng)。

圖4 β=0.5時(shí)增量因子H1與λ的關(guān)系

圖5 β=1.0時(shí)增量因子H1與λ的關(guān)系

2 算例分析

2.1 單層單跨結(jié)構(gòu)算例分析

單層單跨模型如圖6所示,用MIDASG GEN建立一個(gè)12 m×12 m的單層單跨框架結(jié)構(gòu),柱截面為1 500 mm×1 500 mm,通過加節(jié)點(diǎn)質(zhì)量(本例中每個(gè)柱頂節(jié)點(diǎn)加了1 300 kN/g質(zhì)量)使得柱的豎向自振周期T2=0.054 1 s。通過保證梁?jiǎn)卧慕孛婷娣e不變(1.6 m2)而改變梁?jiǎn)卧慕孛娉叽?，使得梁的豎向自振周期得到改變從而得到不同的λ值,并提取梁最大彎矩來反映不同模型下梁的二次共振效應(yīng)。樓面的恒載取7 kN/m2,梁柱的質(zhì)量比μ保持不變。輸入地震加速度為諧振函數(shù)xg=sin(ωt),取β=ω/ω2=T2/T=0.5,T=0.108 2 s,ξ1=ξ2=0.05,μ=m1/m2=(7×12×12+1.6×25×4×12)/(1 300×4+25×1.5×1.5×4×4)=0.5。MIDAS計(jì)算的梁在地震作用下的響應(yīng)與簡(jiǎn)化模型計(jì)算的響應(yīng)結(jié)果，如圖7所示,圖7中相對(duì)值是指以λ值最小的模型為基準(zhǔn),其他模型與該模型比較后得到的結(jié)果。

由圖7可知，當(dāng)?shù)孛孑斎腩l率與梁自振頻率比為1時(shí),梁出現(xiàn)二次共振效應(yīng)。且由圖7可知2個(gè)曲線符合度較高,說明此簡(jiǎn)化模型較為合理。

圖6 單層單跨模型

圖7 梁彎矩響應(yīng)相對(duì)值與簡(jiǎn)化模型計(jì)算響應(yīng)相對(duì)值

2.2 多層多跨結(jié)構(gòu)算例分析

多層多跨結(jié)構(gòu)如圖8所示,要研究在豎向地震作用下,某一層梁在不同截面(自振頻率)下各彎矩變化情況時(shí),可以將該層整體看成本文簡(jiǎn)化模型中的“梁”,把除該層以外的其他主體結(jié)構(gòu)看成簡(jiǎn)化模型中的“柱”,分別計(jì)算他們的自振頻率和質(zhì)量比,應(yīng)用模型來預(yù)測(cè)各梁因頻率變化所引起的彎矩變化趨勢(shì)。

圖8 多層多跨結(jié)構(gòu)立面圖與平面圖

本文節(jié)用MIDAS GEN建立3組5層框架結(jié)構(gòu)以分別驗(yàn)證將結(jié)構(gòu)頂層、中間層和底層(下文均稱為研究層)當(dāng)作簡(jiǎn)化模型中的“梁”,把除該層以外的其他結(jié)構(gòu)當(dāng)作簡(jiǎn)化模型中的“柱”來分別計(jì)算“梁”、“柱”自振頻率(自振頻率指豎向第一階自振頻率,可由軟件直接計(jì)算得到),代入模型公式,以驗(yàn)證模型的合理性。為讓每組研究層的豎向自振頻率變化范圍較大,取研究層的恒載為15 kN/m2,活載為2 kN/m2,在保證研究層梁截面面積不變(0.72 m2)的情況下,通過改變研究層梁截面的長(zhǎng)、寬尺寸,使得研究層梁的豎向自振頻率得到改變,從而得到不同的λ值。本例中研究層總共取了8組不同截面進(jìn)行計(jì)算,截面尺寸分別為200 mm×3 600 mm、400 mm×1 800 mm、600 mm×1 200 mm、800 mm×900 mm、1 000 mm×720 mm、1 200 mm×600 mm、1 400 mm×514 mm。其他層取恒載為4 kN/m2,活載為 2 kN/m2。3組模型中地面輸入加速度為諧振函數(shù)xg=sin(ωt),同樣都取β=ω/ω2=0.5,ξ1=ξ2=0.05。

由上述分析可知,當(dāng)β=0.5時(shí),梁發(fā)生二次共振的效應(yīng)受梁柱質(zhì)量比影響不大,但又考慮到層的不同,而梁的共振與其兩端柱的等效質(zhì)量有一定關(guān)系,因此對(duì)于底層作為研究層來說,研究層以上結(jié)構(gòu)的質(zhì)量全部作用于“柱”,此時(shí)“柱”質(zhì)量很大,取梁柱質(zhì)量比為μ=0.1來考慮此影響;對(duì)于中間層作為研究層來說,取梁柱質(zhì)量比為μ=0.5來考慮柱質(zhì)量的減少;對(duì)于頂層則相應(yīng)取μ=1.0(此種取法只是定性考慮研究層以上結(jié)構(gòu)質(zhì)量對(duì)梁的影響,此時(shí)質(zhì)量比對(duì)梁共振效應(yīng)并不敏感)。記錄圖8中A梁用MIDAS GEN計(jì)算得到的跨中彎矩響應(yīng)相對(duì)值與簡(jiǎn)化模型計(jì)算得到的地震作用響應(yīng)相對(duì)值如圖9～,圖11所示,圖中相對(duì)值均是指以λ值最小的模型為基準(zhǔn),其他模型與該模型比較后得到的結(jié)果。

圖9 頂層梁彎矩響應(yīng)相對(duì)值與簡(jiǎn)化模型響應(yīng)相對(duì)值

圖10 中間層梁彎矩響應(yīng)相對(duì)值與簡(jiǎn)化模型響應(yīng)相對(duì)值

圖11 底層梁彎矩響應(yīng)相對(duì)值與簡(jiǎn)化模型響應(yīng)相對(duì)值

3 結(jié) 論

(1) 梁柱簡(jiǎn)化模型可以反映出梁在豎向地震作用下的地震響應(yīng),簡(jiǎn)化模型預(yù)測(cè)的地震響應(yīng)與用有限元軟件MIDAS GEN計(jì)算的結(jié)果大致相符。

(2) 梁發(fā)生豎向二次共振效應(yīng)的主要原因是由于梁的豎向自振頻率與地面輸入頻率之比相等或相近(λ在1.0附近時(shí))。

(3) 當(dāng)?shù)孛孑斎腩l率與柱(或主體結(jié)構(gòu))的豎向自振頻率之比β較小時(shí)(小于0.5),梁發(fā)生豎向二次共振效應(yīng)將受梁、柱質(zhì)量之比影響較小。

(4)當(dāng)?shù)孛孑斎腩l率與柱(或主體結(jié)構(gòu))的豎向自振頻率之比β較大時(shí)(大于0.5),梁發(fā)生豎向二次共振效應(yīng)將受梁、柱質(zhì)量之比影響較大。

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Analysisofsecond-orderresonancevibrationoflarge-spanbeamunderverticalearthquakeeffects

HE Peixiang,WANG Zhongwang

(School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Affected by the vertical earthquake, the vertical vibration of beams and columns is not coordinated because of the limited vertical shear-bending stiffness of beams. It is inappropriate to simplify beam-column model to a one-dimensional tandem mass-points model. Therefore, a simplified beam-column model is built to analyze the second-order resonance vibration of beams. The analysis results show that the second-order resonance vibration effect of beams under vertical earthquakes is mainly influenced by the ratio of input frequency and perpendicular natural vibration frequency of columns or the main structure. The smaller the ratio is, the smaller the effect of the mass ratio of beams and columns is. And the reasonableness of the model is proved by using MIDAS GEN.

large-span beam; vertical earthquake; second-order resonance vibration; beam-column model; natural vibration frequency

2016-03-14；

2016-04-07

何沛祥(1965-),男,安徽合肥人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師;

王忠旺(1989-),男,安徽黃山人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生,通訊作者：E-mail:836635783@qq.com.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.11.020

TU311.3

A

1003-5060(2017)11-1539-04

(責(zé)任編輯 馬國(guó)鋒)