水下巖巷圍巖蠕變Norton-Hoff解法與分析

王永剛,孫 偉,2,徐張建

(1.西北綜合勘察設(shè)計(jì)研究院,陜西 西安 710003; 2.成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610059)

水下巖巷圍巖蠕變Norton-Hoff解法與分析

王永剛1,孫 偉1,2,徐張建1

(1.西北綜合勘察設(shè)計(jì)研究院,陜西 西安 710003; 2.成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610059)

富水環(huán)境中巖體巷道的長(zhǎng)期穩(wěn)定性與水的滲流、巖體流變等因素緊密相關(guān)。文章假設(shè)圍巖蠕變行為服從Norton-Hoff定律,建立水下巖巷擾動(dòng)區(qū)蠕變的計(jì)算模型,并利用Laplace變換以及有效應(yīng)力原理解答水下巖巷受力與變形的時(shí)效問(wèn)題;在Norton-Hoff解法基礎(chǔ)上獲得了與時(shí)間相關(guān)的水下巖巷變形計(jì)算式,并對(duì)擾動(dòng)區(qū)的蠕變變形進(jìn)行參數(shù)敏感性分析。研究表明:隨著巖石黏滯系數(shù)的增大,巖巷蠕變變形逐漸減小,呈現(xiàn)非線性特性;水力傳導(dǎo)系數(shù)僅對(duì)深處圍巖的時(shí)效變形產(chǎn)生影響,增大該系數(shù),巖巷圍巖深處任一點(diǎn)位的位移分布增大。該研究可為更復(fù)雜的水下巖巷蠕變變形的數(shù)值計(jì)算提供理論參考。

巖體巷道;時(shí)效變形;Norton-Hoff定律;Laplace變換;有效應(yīng)力

巖體作為地下工程圍巖受力的介質(zhì),其與時(shí)間相關(guān)的力學(xué)特性直接影響到工程的長(zhǎng)期穩(wěn)定[1]。在水電工程中,巖巷圍巖長(zhǎng)期處于有水賦存的狀態(tài)中,滲流將是影響巖石流變力學(xué)性質(zhì)的一個(gè)重要因素[2];巖巷開挖擾動(dòng)會(huì)引起原巖破裂,增大巖體暴露面積,從而增加巖體滲流路徑,滲流的不利影響得以擴(kuò)大，隨著時(shí)間的推移巖巷周圍巖體可能出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象進(jìn)而造成重大事故的發(fā)生[3]。因此,水下巖巷蠕變變形的分析研究具有一定的理論意義,并且對(duì)于富水環(huán)境中巖體巷道長(zhǎng)期穩(wěn)定運(yùn)行具有重要的工程實(shí)踐意義。

解析法可快速高效地定量評(píng)價(jià)巖巷工程力學(xué)響應(yīng),也可直觀反映介入?yún)?shù)的物理意義[2],優(yōu)于但也同樣難于數(shù)值分析法。文獻(xiàn)[4-8]研究了水作用下巖巷開挖擾動(dòng)圍壓力學(xué)響應(yīng)的瞬態(tài)解,對(duì)巖體巖巷滲流工況的計(jì)算有一定參考意義;但是這些研究忽略了巖體流變效應(yīng)。在深埋巖巷開挖擾動(dòng)作用下,圍巖受力大多表現(xiàn)出塑性工作狀態(tài)[9-11],也就是說(shuō),巖巷周邊存在塑性圈;當(dāng)存在水的弱化作用時(shí),圍巖塑性行為得以加劇[12]。此外在巖巷長(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程中,巖體出現(xiàn)突出的與時(shí)間相關(guān)的不可逆應(yīng)變,即黏塑性蠕變變形[13]。針對(duì)水下巖巷時(shí)效變形,文獻(xiàn)[14]假設(shè)圍巖蠕變行為服從Norton-Hoff定律,且為彈塑性不可壓縮體,該假設(shè)可為計(jì)算黏塑性巖體巷道近似封閉解提供可能性,但是該研究未考慮滲流影響。文獻(xiàn)[15]從理論上深化了多孔黏塑性巖體巷道長(zhǎng)期變形力學(xué)分析,但是該研究局限于巖體穩(wěn)定蠕變這種特殊狀態(tài)。

本文在文獻(xiàn)[14]基礎(chǔ)上,對(duì)水下巖巷的蠕變變形進(jìn)行探討,假設(shè)圍巖蠕變行為服從Norton-Hoff蠕變定律,基于水下巖巷蠕變變形的計(jì)算模型解答了其受力與變形的時(shí)效問(wèn)題;借助Norton-Hoff解法,獲得了與時(shí)間相關(guān)的水下巖巷蠕變變形計(jì)算式;最后探討了有關(guān)參數(shù)的敏感性。

1 力學(xué)模型

圓形巖巷(半徑為R0)開挖于連續(xù)均質(zhì)各向同性巖體中,如圖1所示。

圖1 圓形巖巷計(jì)算模型

在擾動(dòng)區(qū)與未擾動(dòng)區(qū)交界面處有地應(yīng)力σ0與初始的遠(yuǎn)場(chǎng)孔隙水壓力pw0作用,假設(shè)擾動(dòng)區(qū)巖體蠕變行為服從Norton-Hoff定律[14],其應(yīng)變含有彈性應(yīng)變分量與黏塑性應(yīng)變分量。

為了描述巖石水力學(xué)行為,可將應(yīng)變和孔隙率視為狀態(tài)變量[16]。假設(shè)巖石孔隙率差值(n-n0)和應(yīng)變張量εij由彈性分量(用上標(biāo)“e”表示)和黏塑性分量(用上標(biāo)“vp”表示)構(gòu)成,計(jì)算公式為:

其中,n、n0分別為巖石的實(shí)際孔隙率與初始孔隙率;i=r,θ,z;j=r,θ,z。

根據(jù)熱力學(xué)基本不等式[16],有

(1)

其中,pw為孔隙水壓力;Ws為自由能。

由(1)式可得多孔巖石介質(zhì)的彈性方程為:

(2)

(3)

b=1-K/Ks,β=(b-n0)/Ks。

其中,Ks為固相條件下介質(zhì)的體積模量。

考慮到孔隙水壓力的影響,借助有效應(yīng)力原理可得有效應(yīng)力分量σij′與球應(yīng)力σm′表達(dá)式為:

(4)

由(4)式可知,孔隙水壓力對(duì)偏應(yīng)力張量沒(méi)有影響,則有:

Sij=σij-σml,Sij′=σij′-σm′l=Sij

(5)

(5)式可為多孔巖石介質(zhì)的彈性力學(xué)行為構(gòu)建計(jì)算思路,但由于該介質(zhì)的黏塑性力學(xué)行為描述存在較大難度,因此水力耦合效應(yīng)下多孔介質(zhì)的本構(gòu)方程仍有待補(bǔ)充。文獻(xiàn)[14]建立的多孔介質(zhì)的黏塑性方程為:

(6)

根據(jù)Norton-Hoff蠕變定律[14],以及等式Sij′=Sij,可得:

φ*(σij′)=q2/(2η)

(7)

其中,φ*(σij′)為耗散勢(shì)能,與有效應(yīng)力分量相關(guān);η為巖石的黏滯系數(shù);q為Von Mises等效應(yīng)力函數(shù),其計(jì)算式為:

(8)

將(8)式代入(7)式中,可得黏塑性應(yīng)變率表達(dá)式為:

(9)

聯(lián)立(2)式與(9)式,可得總的應(yīng)變率為:

(10)

聯(lián)立(3)式與(6)式,可得基于Norton-Hoff蠕變定律的流動(dòng)方程如下：

(11)

2 水下巖巷圍巖蠕變計(jì)算

在排水條件下,不襯砌巖巷受力存在如(12)～(15)式的邊界條件。

(1) 洞壁處(r=R0)。時(shí)域條件為:

σr(R0,t)=0,pw(R0,t)=0

(12)

s-域(即變換域)條件為:

(13)

其中,r表示徑向；t為時(shí)間；s為時(shí)間t在變換域中的符號(hào)。

(2) 未擾動(dòng)邊界處(r→∞)。時(shí)域條件為:

u(∞,t)=0,pw(∞,t)=pw0

(14)

s-域條件為:

(15)

將邊界條件(12)式、(13)式代入(10)式,并化簡(jiǎn)可得:

σm′(r,t)=Kεv(r,t)-σ0+bpw0(r,t)

(16)

由此,可將(10)式進(jìn)一步寫為:

(17)

在巖巷軸向方向上,(17)式可表達(dá)為:

其中,T0為松弛時(shí)間,T0=η/(3G)。

假設(shè)巖巷開挖前地應(yīng)力表現(xiàn)為靜水壓力場(chǎng),可知當(dāng)時(shí)間t=0時(shí),Sz(r,0)=0,可解得:

(18)

(19)

同理可解得巖巷環(huán)向偏應(yīng)力張量為:

(20)

(21)

由于Sθ+Sz+Sr=0,因此可得:

(22)

平衡方程為:

(23)

由于σij=Sij+σmδij(i=r,θ,z;j=r,θ,z),σm=σm′-bpw,(23)式可化為:

(24)

將(16)式、(20)式及(22)式代入(24)式,可得:

對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),并考慮(19)式、(21)式,可得:

(25)

(26)

對(duì)(26)式進(jìn)行整理,并考慮(14)式、(15)式,則有:

(27)

其中,ζ=(K+4G/3)/b,T1=T0(bζ/K)。

聯(lián)立(11)式與(27)式,并利用Laplace變換,可得:

(28)

(28)式的通解為:

φ(s)r]+

B(s)I0[φ(s)r]+pw0/s。

結(jié)合邊界條件(13)式、(15)式,可得s-域內(nèi)孔隙水壓力及體積應(yīng)變?yōu)?

(29)

(30)

其中,K1為第二類一階改進(jìn)Bessel函數(shù)。

積分常數(shù)C(s)可通過(guò)邊界條件(12)式確定。聯(lián)立(4)式、(5)式,利用(12)式、(13)式,可得s-域內(nèi)總的圍巖徑向應(yīng)力為:

L[exp(-t/T0)ku(R0,t)]}

(31)

利用邊界條件(12)式、(13)式,以及Laplace變換,對(duì)(31)式進(jìn)行化簡(jiǎn),可得:

進(jìn)一步整理可得s-域內(nèi)徑向位移表達(dá)式為:

(32)

利用(32)式可確定積分常數(shù)C(s),在此基礎(chǔ)上可獲得s-域內(nèi)徑向位移的通解為:

(33)

由(29)式、(30)式、(33)式可進(jìn)一步確定圍巖三向偏應(yīng)力張量(18)式、(20)式、(22)式以及球張量(16)式的解析式。通過(guò)整理,可得滿足Norton-Hoff定律的圍巖受力與變形的s-域函數(shù)形式:

(34)

(35)

(36)

當(dāng)遇到較為復(fù)雜的函數(shù)時(shí),如(34)～(36)式,其時(shí)域內(nèi)的計(jì)算超出了Laplace變換解答范圍,唯有借助數(shù)值反演計(jì)算,例如Stehfest算法,才能獲得解答。工程實(shí)踐中比較關(guān)心洞壁(r=R0)處的變形特性,在定義r=R0情況下,可利用Laplace逆變換將(34)～(36)式確定為時(shí)域內(nèi)的解答,即

(37)

σr(R0,t)=0

(38)

(39)

(40)

由(37)式可知,即使考慮了水力耦合效應(yīng),洞壁變形特性仍與孔隙水壓力的分布無(wú)關(guān)。而此規(guī)律僅限于洞壁的水力學(xué)響應(yīng)上,孔隙水壓力分布對(duì)除該處外的圍巖甚至是深處圍巖的變形均產(chǎn)生重要影響。

在特殊情況下,當(dāng)圍巖力學(xué)性質(zhì)表現(xiàn)為彈性不可壓縮,即μ=0.5時(shí),巖石的體積模量K以及系數(shù)ζ均趨于無(wú)窮大,根據(jù)(30)式可知體應(yīng)變?yōu)?。在這種情況下,Norton-Hoff解析結(jié)果得到的應(yīng)力與位移計(jì)算式(33)式～(36)式中含有系數(shù)ζ的項(xiàng)均為0,計(jì)算結(jié)果可退化為一般巖石巷道情況[14]。

另外,若不計(jì)滲流影響,即遠(yuǎn)場(chǎng)孔隙水壓力為pw0=0 MPa,則應(yīng)力解(38)～(40)式將退化為文獻(xiàn)[17]圓形巷道應(yīng)力計(jì)算式(以拉為正)。

3 水下巖巷時(shí)效變形分析

以文獻(xiàn)[18]所研究的黏土巖為例,對(duì)本文解析解的適用性問(wèn)題以及相關(guān)重要參數(shù)的敏感性問(wèn)題進(jìn)行研究。計(jì)算參數(shù)如下:

R0=5 m,σ0=12 MPa,

pw0=5 MPa,E=4 GPa,

μ=0.3,Kf=2.2 GPa,

η=6 GPa·a,χh=10-17m4/(N·s),

b=0.6,n0=0.15。

為了更好地探究不同參數(shù)之間的耦合影響,更好地理解各參數(shù)的物理意義以及節(jié)省篇幅,將極徑r、時(shí)間t及洞壁位移u分別無(wú)量綱化如下:

其中,εc=σ0/(2G)。

在給定參數(shù)下,不同圍巖深處的巖巷位移時(shí)程曲線如圖2所示。

圖2 不同圍巖深處的巖巷位移時(shí)程曲線

從圖2可以發(fā)現(xiàn),巖巷開挖初期的位移發(fā)展較快,而后逐漸趨緩,本文解答能夠反映多孔黏塑性巖石介質(zhì)的蠕變行為。同時(shí),在巖巷開挖瞬間洞壁處(r*=1)的位移量最大,之后的位移發(fā)展也遠(yuǎn)大于其他深處圍巖,集中體現(xiàn)了應(yīng)力釋放作用。

巖石的黏滯系數(shù)對(duì)巖巷蠕變行為具有重要影響。不同黏滯系數(shù)下的巖巷位移時(shí)程曲線如圖3所示。從圖3可以發(fā)現(xiàn),隨著巖石黏滯系數(shù)的增大,巖巷隨時(shí)間的變形逐漸減小,而且呈現(xiàn)極強(qiáng)的非線性特性,當(dāng)η=15 GPa·a時(shí),巖巷位移基本不隨時(shí)間變化;此外,巖巷開挖瞬時(shí)形成的位移與巖石黏滯系數(shù)無(wú)關(guān),可見該系數(shù)主要用于衡量巖石的時(shí)效變形特性。

圖3 不同黏滯系數(shù)影響下巖巷位移時(shí)程曲線

不同蠕變時(shí)間下巖巷位移的分布曲線如圖4所示。從圖4中可以發(fā)現(xiàn),巖巷在鄰近洞壁處的變形遠(yuǎn)大于圍巖深處,在深處圍巖的變形趨于穩(wěn)定,主要是由于深處的應(yīng)力釋放受到限制;另外,隨著時(shí)間的線性增加,巖巷位移的非線性增大特性更加明顯。

圖4 不同蠕變時(shí)間下巖巷位移分布曲線

在巖石水力學(xué)中,水力傳導(dǎo)系數(shù)對(duì)巖巷變形也具有重要影響。不同水力傳導(dǎo)系數(shù)下巖巷位移的分布曲線如圖5所示。由于在巖巷洞壁處采取排水處理措施,該系數(shù)對(duì)洞壁變形沒(méi)有影響,而隨著圍巖深度的增加,該系數(shù)的敏感性越發(fā)凸顯:隨著水力傳導(dǎo)系數(shù)的增大,巖巷圍巖深處任一點(diǎn)位的位移分布增大,變形更加明顯。這主要與未擾動(dòng)區(qū)有初始的遠(yuǎn)場(chǎng)孔隙水壓力作用有關(guān)。

圖5 不同水力傳導(dǎo)系數(shù)下巖巷位移分布曲線

4 結(jié) 論

(1) 巖巷開挖初期的位移發(fā)展較快,而后逐漸趨緩,反映了多孔黏塑性巖石介質(zhì)的蠕變行為;增大巖石黏滯系數(shù),巖巷時(shí)效變形逐漸減小,呈現(xiàn)非線性特性。在開挖瞬間巖巷洞壁處的位移量最大,之后的位移發(fā)展也遠(yuǎn)大于其他深處圍巖。

(2) 巖巷洞壁處的變形遠(yuǎn)大于深處圍巖,深處圍巖的變形趨于穩(wěn)定;水力傳導(dǎo)系數(shù)對(duì)洞壁變形沒(méi)有影響,而隨著圍巖深度的增加,該系數(shù)的敏感性越發(fā)凸顯;隨著水力傳導(dǎo)系數(shù)的增大,巖巷圍巖深處任一點(diǎn)位的位移分布增大。

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Norton-Hoffanalyticalsolutionforsurroundingrockcreepinrockstunnelsbelowwatertable

WANG Yonggang1,SUN Wei1,2,XU Zhangjian1

(1.Northwest Research Institute of Engineering Investigations and Design, Xi’an 710003, China; 2.State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China)

The long-term stability of rocks tunnels in the water-rich environment relates closely to the seepage and the rheology behavior. It is assumed that the creep behavior of surrounding rock complies with the Norton-Hoff law, thereby the calculation model of time-dependent deformation in rocks tunnels below the water table is established. The Laplace transform method and principle of effective stress are utilized to calculate the stress and displacement field of rocks tunnels. The expression of time-dependent deformation in rocks tunnels below the water table is given, and the sensitivity analysis of relevant parameters is carried out. The results show that time-dependent deformation gradually degrades with the increase in the viscosity, which represents nonlinearity; the rock hydraulic conductivity only has significant influence on time-dependent deformation in the deep surrounding rock, with increasing the values of this coefficient, the increase of displacement occurs everywhere except at the tunnel wall. This analytical solution provides a useful reference for the more complex numerical simulation in this respect.

rock tunnel; time-dependent deformation; Norton-Hoff law; Laplace transform; effective stress

2016-04-18；

2016-07-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41172279)

王永剛(1969-),男,陜西西安人,西北綜合勘察設(shè)計(jì)研究院教授級(jí)高工;

孫 偉(1980-),女,山東聊城人,西北綜合勘察設(shè)計(jì)研究院高級(jí)工程師,成都理工大學(xué)博士生,通訊作者,E-mail:43671348@qq.com;

徐張建(1964-),男,陜西大荔人,西北綜合勘察設(shè)計(jì)研究院教授級(jí)高工.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.11.017

TV672.1

A

1003-5060(2017)11-1520-06

(責(zé)任編輯 張淑艷)