單相逆變器分數(shù)階建模及分析*

馬冬冬，王志強，王進君，李國鋒

（大連理工大學 電氣工程學院，遼寧 大連116024）

0 引 言

逆變器作為一種重要的電力電子變換裝置，對其真實系統(tǒng)的精準分析和設計具有重要意義［1］。逆變器理論分析的前提是對實際系統(tǒng)建立準確的數(shù)學模型。國內外相關研究已證明電感和電容呈現(xiàn)分數(shù)階特性［2－3］，實際的逆變器系統(tǒng)應是分數(shù)階系統(tǒng)。狀態(tài)空間平均法、離散時域法等對逆變器建模方法［4］均以整數(shù)階微積分理論為基礎，未充分考慮電感和電容的分數(shù)階特性，因此所建立的整數(shù)階模型和實際系統(tǒng)存在一定誤差。分數(shù)階建模則考慮到相關元件的分數(shù)階特性，可反映實際系統(tǒng)的分數(shù)階特性。分數(shù)階微積分理論研究的不斷突破給電力電子建模分析帶來了新的途徑。文獻［5］建立了傳輸線的分數(shù)階模型，認為分數(shù)階模型可更準確的描述傳輸線的分布特性。文獻［6-7］分別建立了Buck電路和Boost電路的分數(shù)階模型，并分析了CCM模式下整數(shù)階模型和分數(shù)階模型特性分析上的差異。文獻［8］分析了分數(shù)階并聯(lián)RLαCβ的基本特征和規(guī)律，指出分數(shù)階并聯(lián)RLαCβ在設計上有更大自由度和柔性，具有很多新規(guī)律和新現(xiàn)象。文獻［9］利用分數(shù)階傅里葉變換分析了逆變器的故障診斷，說明分數(shù)階傅里葉變換對逆變器電路的特征提取更有效。文獻［10］針對Z源逆變器、電壓源逆變器和三相四橋臂逆變器在整數(shù)階傳遞函數(shù)模型的基礎上提出了分數(shù)階狀態(tài)空間模型，將所有極點替換從而獲得穩(wěn)定的、高過阻尼的閉環(huán)系統(tǒng)。單相全橋電壓型逆變器在開關機理上和Buck電路具有同構性，在單個開關周期內單相逆變器和Buck電路工作原理本質相同，因此同樣可以利用分數(shù)階方法對單相逆變器進行分析。本文建立了單相全橋電壓型逆變器的分數(shù)階模型，并比較整數(shù)階模型和分數(shù)階模型分析上的差異。

1 單相逆變器分數(shù)階數(shù)學模型

由文獻［2］可知，分數(shù)階電感和電容的數(shù)學模型為：

式中uL為電感電壓；iL為電感電流；uC為電容電壓，iC為電容電流；α和β分別為分數(shù)階電感和分數(shù)階電容的階數(shù)；并且滿足0＜α，β＜1。

因單相全橋電壓型逆變器輸出正負半周的對稱性，本文只對電壓正半周期進行分析，負半周分析方法相同只是輸出電壓波形極性相反。逆變器的調制方式有多種，其中單極性倍頻SPWM調制，逆變橋臂中點輸出電壓脈沖頻率為開關頻率的2倍，因此具有良好的輸出波形諧波抑制能力，輸出波形脈動頻率高而開關管損耗并不增加等優(yōu)勢而被廣泛采用。單相逆變器的主電路拓撲結構如圖1（a）所示，VT1～VT4為開關管，D1～D4為開關管反并聯(lián)二極管，L、C為濾波電感和電容，RL為濾波電感寄生電阻，Ro、Lo為負載電阻和電感。在逆變橋臂中點輸出電壓脈沖單個周期內均有兩種工作模態(tài)如圖1（b）和圖1（c）所示，由于單極性倍頻SPWM調制的對稱性，其他周期原理相同。取電感電流iL、電容電壓uC（uC＝uo）和負載電流io作為狀態(tài)變量，組成三維狀態(tài)向量x＝［iL，uo，io］T；udc作為輸入變量，組成一維輸入向量 u＝［udc］，電感電流iL和輸出電壓uo作為輸出變量，組成二維輸出向量y＝［iL，uo］T。根據(jù)基爾霍夫定律，對不同工作模態(tài)下的電路進行列寫狀態(tài)方程如公式（2）所示。

工作模態(tài)1：令占空比為d，單極性倍頻SPWM調制下在每一個開關周期Ts的（0，dTs）時間段內，VT1和VT4導通，列寫狀態(tài)空間表達式如下：

式中：

圖1 單相逆變器主電路及兩種工作模態(tài)拓撲Fig.1 Topology of single phase invertermain circuit and two workingmodes

工作模態(tài)2：在每一個開關周期Ts的（dTs，Ts）時間段內，電感電流經(jīng)過D2和VT4續(xù)流。列寫狀態(tài)空間表達式如下：

式中：

2 單相逆變器分數(shù)階小信號模型

2.1 狀態(tài)平均

為了簡化模型，需要消除各變量的高頻開關紋波分量，利用小紋波假設［11］，對變量在一個開關周期內求平均值為：

式中Ts為開關周期。

同理也可以定義平均輸入變量〈u〉Ts和平均輸出變量〈y〉Ts，求平均狀態(tài)變量對時間的導數(shù)為：

式中γ為分數(shù)階階數(shù)且0＜γ＜1。

整理可得：

2.2 求取靜態(tài)工作點

與DC/DC變換器不同，逆變器工作在靜態(tài)時輸出電壓按正弦規(guī)律變化。但是，當輸出電壓達到峰值時最容易發(fā)生波形畸變，如果能控制好峰值點處的輸出電壓特性，那么整個頻段內輸出電壓波形畸變都會很?。?2］。因此，本文選交流輸出電壓峰值點作為靜態(tài)工作點。根據(jù)電感電流的伏秒平衡和電容電壓的安秒平衡原理有 dγ〈x〉Ts/d tγ＝0，代入式（6）得：

式中X是狀態(tài)變量x的直流分量；U是輸入變量u的直流分量；D為靜態(tài)工作點占空比。

求解式（7）可以得到狀態(tài)變量的靜態(tài)工作點的狀態(tài)空間表達式，即：

利用Matlab/Simulink搭建1 kW單相全橋電壓型逆變器帶阻感負載的仿真電路，其參數(shù)為：開關頻率為10 kHz，直流母線電壓udc為400 V，輸出電壓uo為220 V/50 Hz。調制比是逆變器設計的一個重要參數(shù)，為逆變器輸出電壓基波幅值與直流母線電壓之比，調制比主要影響逆變器的直流電壓利用率和輸出電壓波形諧波［13］，綜合二者選擇一個最優(yōu)點，本設計選擇調制比為0.78。將逆變器的參數(shù)代入式（8）得到峰值點處值即靜態(tài)工作點各變量的值如表1所示。

表1 逆變器輸出電壓峰值點處的值Tab.1 Value of inverter in the output voltage peak point

2.3 分數(shù)階小信號等效電路

將式（9）代入式（6）可得：

將 A1、A2、A、B1、B2、B代入式（11）可以得到單相逆變器的小信號狀態(tài)空間表達式為：

由式（12）可畫出單相逆變器小信號等效電路，如圖2所示。

圖2 逆變器小信號等效電路Fig.2 Inverter small-signal equivalent circuit

利用基于分數(shù)階微積分的拉普拉斯變換方法［14］對式（12）進行變換得到式（13），可求出占空比至輸出電壓的傳遞函數(shù)如式（14）所示。

電壓型逆變器，輸出電壓與負載無關，因此常選擇輸出電壓作為被控量，更易于控制。由占空比至輸出電壓的傳遞函數(shù)可以進行逆變器開環(huán)穩(wěn)定性和動態(tài)特性進行分析。

2.4 Matlab數(shù)值分析

根據(jù)參考文獻［14］中對分數(shù)階微積分的計算機求解方法及Oustaloup算法，利用Matlab軟件對分數(shù)階微積分算法進行編程來建立分數(shù)階傳遞函數(shù)類fotf，從而構建分數(shù)階傳遞函數(shù)。在＠fotf目錄下重載函數(shù)bode.m和step.m來畫出分數(shù)階傳遞函數(shù)的Bode圖和階躍響應曲線。還可以利用Simulink中的模塊封裝技術構建分數(shù)階傳遞函數(shù)模塊。

通過式（14）可以看出占空比至輸出電壓的分數(shù)階傳遞函數(shù)與分數(shù)階電感和電容的階數(shù)有一定關系。因此分數(shù)階電感和電容的階數(shù)無論是在頻域還是時域都會影響到系統(tǒng)的性能。

根據(jù)分數(shù)階系統(tǒng)的Bode圖和階躍響應定義的計算，令分數(shù)階電容的階數(shù)β＝1.0時，取分數(shù)階電感階數(shù)α為不同值時占空比至輸出電壓的分數(shù)階傳遞函數(shù)的Bode圖和階躍響應如圖3所示，令分數(shù)階電感的階數(shù)α＝1.0，取分數(shù)階電容的階數(shù)β為不同值時占空比至輸出電壓的分數(shù)階傳遞函數(shù)的Bode圖和階躍響應如圖4所示。

圖3 β＝1時不同α值時Gud（s）的Bode圖和階躍響應Fig.3 Bode plots and step responses of Gud（s）for differentαandβ＝1

表2 β＝1時不同α值時逆變器的性能指標Tab.2 Properties index of inverter for differentαandβ＝1

圖4 α＝1時不同β值時Gud（s）的Bode圖和階躍響應Fig.4 Bode plots and step responses of Gud（s）for differentβandα＝1

從圖3和圖4中可以得出的逆變器性能指標參數(shù)如表2和表3所示，隨著α和β值的增加逆變器相角裕度不斷減小，α，β≤0.4時相角裕度大于45°系統(tǒng)穩(wěn)定性較好，而α，β＞0.4時相角裕度小于45°系統(tǒng)穩(wěn)定性較差；隨著α和β值的增加階躍響應的上升時間、峰值時間、調整時間和超調量都在不斷的增大，動態(tài)特性變差。因此，可以得出利用不同階數(shù)的分數(shù)階電感和電容建立的逆變器分數(shù)階小信號模型分析得出系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能存在很大差異，當α＝1和β＝1時建立的是整數(shù)階模型，這種差異會隨著分數(shù)階階數(shù)偏離1的距離增大而增大。由于實際的電感和電容的分數(shù)階階數(shù)均小于1，通過建立的分數(shù)階模型來分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和動態(tài)性能更準確地設計補償器。

表3 α＝1時不同β值時逆變器的性能指標Tab.3 Properties index of inverter for differentβandα＝1

3 電路模型仿真

3.1 分數(shù)階電感和電容的等效電路模型

在復頻域內將分數(shù)階微積分用Oustaloup算法近似，然后對高階整數(shù)階傳遞函數(shù)進行部分分式展開，最后將各個部分進行串聯(lián)或并聯(lián)，即可構造出分數(shù)階系統(tǒng)等效電路。對于分數(shù)階電感和電容利用相同的方法得到的電抗稱為分抗鏈［15］，如圖5所示為0.8階的分數(shù)階電感和電容的等效模型。

圖5 分抗鏈Fig.5 Chain fractance

3.2 分數(shù)階與整數(shù)階電路模型仿真比較

根據(jù)單相逆變器分數(shù)階小信號模型，基于Matlab/Simulink及框圖分數(shù)階仿真分析方法［16］，建立單相逆變器開環(huán)系統(tǒng)數(shù)學模型如圖6所示，其中2/V M為PWM調制器模型。

利用分抗鏈原理建立分數(shù)階電感和電容的電路等效模型，從而搭建單相逆變器分數(shù)階電路模型如圖7所示，其中的無源濾波LC分別采用分數(shù)階電感和分數(shù)階電容的分抗鏈模型，階數(shù)均取為0.8階。

圖6 單相逆變器開環(huán)數(shù)學模型框圖Fig.6 Open-loop mathematic model block diagram of single phase inverter

圖7 單相逆變器分數(shù)階電路模型Fig.7 Fractional circuitmodel of single phase inverter

對輸出電壓的理論計算和電路模型仿真結果對比如圖8所示可知：整數(shù)階模型與理論計算輸出電壓偏差最大可達9.38%，而分數(shù)階模型與理論計算輸出電壓偏差最大為1.56%，和整數(shù)階模型相比分數(shù)階模型與實際系統(tǒng)的偏差要小很多，因此利用分數(shù)階模型能更好的接近實際系統(tǒng)。

圖8 逆變器輸出電壓波形Fig.8 Output voltage waveforms of inverter

4 結束語

本文將國內外學者提出的分數(shù)階微積分理論應用到了單相逆變器建模中，得出以下結論：

（1）由單相逆變器分數(shù)階小信號模型得到的占空比至輸出電壓的傳遞函數(shù)中含有分數(shù)階電感和分數(shù)階電容。因此，通過理論計算所得傳遞函數(shù)的Bode圖和階躍響應分析以及利用Matlab/Simulink軟件電路模型仿真結果表明單相逆變器的穩(wěn)定性和動態(tài)性能和分數(shù)階電感和電容的階數(shù)有關；

（2）利用逆變器分數(shù)階小信號模型和整數(shù)階小信號模型來分析逆變器性能會得到不同的結果，分數(shù)階模型更接近實際系統(tǒng)。