投影法與微分法解平面尺寸鏈的比較分析

■ 江蘇大學(xué)東海機械汽配研究院 （江蘇連云港 222000） 孫 躍

■ 卓郎（江蘇）紡織機械有限公司 （江蘇常州 213200） 孫 圓

在機械制造領(lǐng)域，經(jīng)常會遇到平面尺寸鏈的計算問題。所謂平面尺寸鏈，是指封閉環(huán)和所有組成環(huán)同處于同一平面或幾個相互平行的平面內(nèi)，且某些組成環(huán)不平行于封閉環(huán)的尺寸鏈。相對線性尺寸鏈而言，平面尺寸鏈中除了長度尺寸外，還有角度及坐標(biāo)尺寸等。比如，在加工機械零件時，經(jīng)常會遇到類似如圖1所示的零件。加工類似零件，除了選擇加工工藝基準(zhǔn)、加工方法、加工順序及工藝裝備外，還必須計算有關(guān)工序尺寸的幾何參數(shù)的允許誤差，從而使加工的零件符合圖樣要求。目前對平面尺寸鏈的計算常用投影法和微分法，但兩者的計算精確度有誤差，下面就這兩種方法進(jìn)行一般公式推導(dǎo)以及對比分析。

1. 投影法

投影法的原理是將平面尺寸鏈轉(zhuǎn)化為直線尺寸鏈求解，一般把各組成環(huán)沿封閉環(huán)所在方向投影，將二維的平面尺寸鏈轉(zhuǎn)化為一維的直線尺寸鏈，建立形式上的線性尺寸鏈，求出封閉環(huán)與各組成環(huán)的關(guān)系方程，以確定封閉環(huán)的基本尺寸，最后根據(jù)直線尺寸鏈公式進(jìn)行求解。下面以平面孔系尺寸鏈為例進(jìn)行推導(dǎo)。

圖1 多孔零件

將圖1簡化為如圖2所示三角形，A1與A0尺寸之間的夾角為α，A2與A0尺寸之間的夾角為β，A1與A0之間的夾角為θ。通過鏜孔的加工順序可判斷A1、A2為組成環(huán)，A0為封閉環(huán)。按照投影法原理將A1、A2投影到A0尺寸線上，通過三角函數(shù)關(guān)系可得如下關(guān)系式

圖2 各孔距間三角關(guān)系

為便于計算，投影時公式（1）中各變量皆取平均值，可知A0尺寸為A1與A2尺寸在A0尺寸線上投影之和。

由于A1與A2尺寸公差的影響，導(dǎo)致角度尺寸α、β也隨之在一定范圍內(nèi)變化。為考慮A1與A2尺寸變化對A0尺寸的影響程度，對公式（1）兩邊進(jìn)行微分，得到方程如下

由圖2可知，A1·sinα=A2·sinβ，且三角形內(nèi)角和α＋β＋θ＝π，為簡化計算過程，設(shè)兩邊夾角θ的值為一給定值，α和β為未知變量，對α＋β＋θ＝π兩端微分，得到dα＝－dβ，這時可將公式（2）簡化為

用公差Ti代替公式（3）中的微小增量dAi，令T0＝dA0，T1＝dA1，T2＝dA2，對各偏導(dǎo)數(shù)取正值，則公式（3）簡化為

綜上所述，可得投影法求解平面尺寸鏈中的孔系尺寸鏈的一般公式（1）和公式（4）。從兩個公式形式上可以看出它們很相似，由于將A1與A2之間的夾角θ當(dāng)做一個固定值，不考慮θ變化對A0的影響，公差T0的變化就僅受A1與A2的影響，而求T0的解則變成了對應(yīng)的公差T1和T2的三角函數(shù)運算。事實上，θ角公差還是對A0的影響很大的，下面通過微分法求解的推導(dǎo)過程進(jìn)行對比分析。

2. 微分法

運用全微分概念，把封閉環(huán)尺寸視為組成環(huán)的函數(shù)，設(shè)各組成環(huán)尺寸Ai為自變量，則封閉環(huán)尺寸A0為多元函數(shù)

根據(jù)全微分的概念，當(dāng)各組成環(huán)變量產(chǎn)生微小增量時，則封閉環(huán)尺寸的增量為

用各環(huán)的公差代替微小增量dAi并對偏微分取絕對值，即可近似求得封閉環(huán)A0的公差T0為

式中，Ti為各組成環(huán)公差。

對于圖1所示零件，根據(jù)余弦定理，建立方程如下

對方程兩端微分并整理后可得

式中，Ti為各組成環(huán)公差，角度θ換算成弧度計算。

綜上所述，可得微分法求解平面孔系尺寸鏈的一般公式（8）和公式（10），從公式（10）可以看出，當(dāng)計算封閉環(huán)A0的公差時，考慮到了θ變化對A0的影響，比較全面。

3. 投影法求解結(jié)果

設(shè)如圖1所示零件，A1＝（300±0.125）mm，A2＝（250±0.2）mm，θ＝135°±15′，求解A0的公稱尺寸和公差。

根據(jù)正弦和余弦定理，求得α＝20.34°，β＝24.66°。

根據(jù)推導(dǎo)出的公式（1），帶入相關(guān)數(shù)據(jù)，可求得A0的公稱尺寸，A0＝A1·cosα＋A2·cosβ＝300×cos20.34°＋250×cos24.66°≈508.494（mm）。

根據(jù)推導(dǎo)出的公式（4），帶入相關(guān)數(shù)據(jù)，可求得A0的公差T0＝T1·cosα＋T2·cosβ＝0.25×cos20.34°＋0.4×cos24.66°≈0.598（mm）。

所以投影法求得的孔距A0＝（508.494±0.299）mm。

4. 微分法求解結(jié)果

根據(jù)公式（8），帶入相關(guān)參數(shù)，可求得A0的公稱尺寸，508.494（mm）。

根據(jù)推導(dǎo)出的公式（1 0），帶入相關(guān)數(shù)據(jù)，并將角度θ換算成弧度，可求A0的公差。Tθ＝θπ/1 8 0≈0.0 0 9，≈0.938×0.25 ＋0.909×0.4＋104.294×0.009≈1.536（mm）。

所以微分法求得的孔距A0＝（508.494±0.768）mm。

5. 對比分析

從投影法和微分法計算結(jié)果可以看出，封閉環(huán)的公稱尺寸是相同的，最大差別就在于公差上，投影法封閉環(huán)公差的計算值要包含于微分法計算值區(qū)間內(nèi)。投影法只考慮組成環(huán)A1與A2的影響而忽略了夾角θ公差對A0公差值的影響，而微分法既考慮組成環(huán)又考慮了夾角公差的影響。根據(jù)A1、A2、θ對A0的偏微分，求得的傳遞系數(shù)分別為0.938、0.909和104.294，可見夾角θ公差對封閉環(huán)的影響是最大的。

與微分法求解得出的封閉環(huán)尺寸和公差比較，投影法將夾角角度設(shè)為沒有加工誤差的理想情況，對實際測量尺寸的精度要求會明顯提高，在生產(chǎn)過程中雖然最終加工的產(chǎn)品符合圖樣設(shè)計要求，但容易出現(xiàn)“假廢品”情況，而且由于投影法計算出來的公差值較小，導(dǎo)致產(chǎn)品加工對操作員水平和設(shè)備要求高，降低了生產(chǎn)效率，導(dǎo)致生產(chǎn)成本上升。

6. 結(jié)語

通過對平面尺寸鏈中的孔系尺寸鏈的投影法和微分法推導(dǎo)及計算結(jié)果進(jìn)行對比分析可知，采用投影法求解對封閉環(huán)的公稱尺寸無影響，但由于不考慮角度的影響，計算得出的公差與微分法求解值有較大的差距，明顯提高了封閉環(huán)的精度，導(dǎo)致檢測時容易出現(xiàn)“假廢品”現(xiàn)象。而微分法求解，由于考慮了角度公差的影響，計算準(zhǔn)確，能夠真實反映各因素對計算結(jié)果的影響，是求解平面尺寸鏈較好的方法。微分法只需要建立封閉環(huán)與各組成環(huán)的函數(shù)關(guān)系，特別是當(dāng)尺寸鏈的組成環(huán)較多，投影困難，難以判斷各環(huán)增、減屬性時，更能體現(xiàn)出其優(yōu)越性。

專家點評

文章的理論性很強，通過對尺寸鏈中的投影法和微分法進(jìn)行對比分析，從推導(dǎo)公式和計算結(jié)果得出，兩種方法的差別就在于公差上。投影法求解不考慮角度誤差，容易出現(xiàn)“假廢品”情況；微分法求解，只需建立封閉環(huán)與組成環(huán)的函數(shù)關(guān)系，并考慮角度公差值的影響，能夠真實反映各項因素的影響，計算更加準(zhǔn)確。

文章條理清晰，思路嚴(yán)謹(jǐn)，能夠?qū)⒊橄蟮某叽珂渾栴}上升到對比分析的理論高度，結(jié)論部分也寫得很好，簡明扼要，有理有據(jù)，起到了畫龍點睛的作用。