方程，想說(shuō)愛你不容易
——總復(fù)習(xí)課《求高》教學(xué)實(shí)踐與反思

江蘇南通市天生港小學(xué) 繆 謙

方程，想說(shuō)愛你不容易
——總復(fù)習(xí)課《求高》教學(xué)實(shí)踐與反思

江蘇南通市天生港小學(xué) 繆 謙

方程是小學(xué)數(shù)學(xué)中“數(shù)與代數(shù)”這一課程內(nèi)容的重要組成部分。“用方程解”既是學(xué)生解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題時(shí)常用的方法，又是學(xué)生在解決逆向思考問題時(shí)的一種模型。建立和求解“模型”的過程，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)識(shí)，“方程優(yōu)先”的策略得到了學(xué)生真正的認(rèn)同。

小學(xué)數(shù)學(xué) 方程 教學(xué)實(shí)踐 拓展發(fā)散

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第二學(xué)段內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中表述為“能用方程表示簡(jiǎn)單情境中的等量關(guān)系，了解方程的作用”；而在第三學(xué)段內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中表述為“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”。為此，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在第二學(xué)段中安排了專門的方程教學(xué)單元，涉及了方程的解法及用方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

可筆者在組織學(xué)生總復(fù)習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)在“圖形與幾何”的部分中“求幾何形體的高”這類問題出現(xiàn)的頻度很高。究其原因，有的教師認(rèn)為是“求高”問題在生活中的應(yīng)用價(jià)值很大。但筆者認(rèn)為從教材中此類問題總是提倡“用方程解”的現(xiàn)象來(lái)看，更重要的原因應(yīng)是“求高”問題是逆向運(yùn)用幾何形體公式的典型問題，而這類問題的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，是實(shí)現(xiàn)第二學(xué)段方程教學(xué)目標(biāo)的絕好素材，具有銜接二、三學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要意義。但實(shí)際復(fù)習(xí)中，學(xué)生解決此類問題時(shí)用方程解的意愿不強(qiáng)，方程意識(shí)在學(xué)生心中遠(yuǎn)未達(dá)到課標(biāo)要求。

一、課前調(diào)查——“用方程解”，師生眼中的“雞肋”

究竟是什么原因讓方程在學(xué)生眼中成為“雞肋”？這是某個(gè)班級(jí)的個(gè)別情況，還是畢業(yè)班學(xué)生中的普遍現(xiàn)象？帶著這樣的疑問，筆者在一定的范圍內(nèi)進(jìn)行了調(diào)查分析。

首先筆者在教材中挑選了難易程度不同的三道關(guān)于求高的問題，在4所學(xué)校的7個(gè)班級(jí)做了課前的調(diào)查測(cè)試。獲得如下數(shù)據(jù)：

表1 “求高”問題正確率統(tǒng)計(jì)表

表2 “求高”問題錯(cuò)因分析統(tǒng)計(jì)表

表3 “求高”問題方法選擇統(tǒng)計(jì)表

從調(diào)查正確率的數(shù)據(jù)來(lái)看，不同班級(jí)正確率有一定的差距，這樣的差距一方面是因?yàn)樯此刭|(zhì)、家長(zhǎng)和學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)重視程度有差別；另一方面是因?yàn)榻處煂?duì)于解決此類問題必要的雙基訓(xùn)練有差別，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)問題解決的感悟程度不同，如有些班級(jí)的學(xué)生對(duì)于涉及“高”的公式掌握熟練，這是因?yàn)橛械陌嗉?jí)教師要求在逆推公式前先把公式默寫出來(lái)，這些班級(jí)的正確率就明顯高于其他班級(jí)。但總體來(lái)看，正確率偏低，大約60%左右。

從錯(cuò)誤原因和方法選擇的調(diào)查來(lái)看，學(xué)生選擇用方程解的意愿不強(qiáng)，選擇變換公式的學(xué)生占絕大多數(shù)，但變換公式的過程中出錯(cuò)率較高。為什么選擇用方程解的學(xué)生少之又少呢？通過訪談學(xué)生和老師，筆者找到了兩方面的原因：一方面方程的格式煩瑣，學(xué)生懶于書寫的學(xué)習(xí)慣性造成了怕用方程的想法；另一方面，教師方程教學(xué)意識(shí)淡薄，忽略了教材提倡“用方程解”“求高”這樣的問題，在做對(duì)即可的思想下功利地迎合了學(xué)生的選擇。

基于以上的課前檢測(cè)和分析，筆者決定重組總復(fù)習(xí)“圖形與幾何”中的相關(guān)習(xí)題，以“求高”為題上一堂總復(fù)習(xí)課。

二、因勢(shì)利導(dǎo)——從“一廂情愿”到“自然選擇”

在引入課題后，筆者出示了一組求高的問題，意圖是通過學(xué)生的解答，揭示出求高的兩種方法：一是“變換公式”；二是“用方程解”。

在明確兩種方法后，筆者又出了這樣一組問題：

（1）一個(gè)圓柱的側(cè)面積是37.68平方分米，底面直徑是4分米，高是多少分米？

（2）已知梯形的面積是36平方米，上底是3米，下底是5米，高是多少米？

（3）求下圖這個(gè)平行四邊形的高？（單位：厘米）

這樣設(shè)計(jì)是試圖讓學(xué)生根據(jù)不同的問題情境自主選擇兩種方法，初步體會(huì)“用方程解”的好處。但結(jié)果仍然很少有學(xué)生選擇列方程解，之后的展示環(huán)節(jié)無(wú)法進(jìn)行。試教的尷尬讓人感覺到這樣的教法有些“一廂情愿”，學(xué)生被動(dòng)、被迫地接受“用方程解”的方法。

重新設(shè)計(jì)時(shí)，筆者做了如下調(diào)整：先安排了同桌兩人互動(dòng)回憶和變換公式的環(huán)節(jié)。這個(gè)過程中學(xué)生把所學(xué)的與高有關(guān)的公式進(jìn)行了整理，并且變換成求高的公式。這樣就順應(yīng)了學(xué)生的學(xué)情和方法選擇的傾向性，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，同時(shí)讓學(xué)生相互提醒、觸發(fā)思考。而后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課前測(cè)試中的正確率和典型錯(cuò)例進(jìn)行分析，學(xué)生在分析中感受到變換公式容易出差錯(cuò)，這樣就自然地引出了“用方程解”的應(yīng)對(duì)方法。這樣，想到“用方程解”的方法是在從學(xué)生喜歡的“變換公式”出發(fā)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“變換公式”方法的優(yōu)劣后，做出的應(yīng)然選擇。

在之后的那一組求高的練習(xí)中，學(xué)生對(duì)于兩種方法的取舍，顯得自然、自愿。求圓柱的高是變換公式，求梯形的高則列方程，筆者問學(xué)生：“為什么這樣選擇？”學(xué)生答：“求圓柱的高變換公式極其簡(jiǎn)單，而梯形的公式比較復(fù)雜，變換公式則比較麻煩?！比绱嗣髦堑倪x擇說(shuō)明他們已經(jīng)自然地形成了初步的策略意識(shí)，這為整堂課形成一個(gè)由線索到方法到策略的思想系統(tǒng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。到第三題時(shí)，許多學(xué)生同時(shí)選用兩種解法，學(xué)生的選擇“用方程解”的概率有了令人激動(dòng)地提升。

三、植入微課——“模型思想”展現(xiàn)方程優(yōu)勢(shì)

教材中求高問題難度的最高點(diǎn)出現(xiàn)在等積變換問題之中，如熔鑄問題、排水問題等。面對(duì)難點(diǎn)，如何激發(fā)學(xué)生探索的興趣，進(jìn)一步體會(huì)方程解法的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)而確立“方程優(yōu)先”的解題策略呢？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。

筆者選擇了用微課的方式，以“模型思想”助力展示方程優(yōu)勢(shì)。隨后設(shè)計(jì)了等積變換的問題情境。實(shí)施的效果是學(xué)生牢牢地記住了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，即“變換前的體積=變換后的體積”。通過細(xì)說(shuō)，分解用方程解的過程，學(xué)生既體會(huì)到列方程的便利——正向順應(yīng)題意，又掌握了解方程時(shí)復(fù)雜計(jì)算的處理技巧——方程兩邊同時(shí)約去π。這樣把學(xué)生的興奮點(diǎn)提到了一個(gè)空前的高度，也就迎來(lái)了思維上的高潮。學(xué)生躍躍欲試，在后面出現(xiàn)的類似練習(xí)中，學(xué)生優(yōu)先選擇“用方程解”，過程中感覺得心應(yīng)手，學(xué)有所獲。微課的植入，形式上起到了調(diào)節(jié)的作用，帶動(dòng)了學(xué)生的沉浸、投入，建立和求解“模型”的過程，優(yōu)化了學(xué)生的認(rèn)識(shí)，“方程優(yōu)先”的策略得到了學(xué)生真正的認(rèn)同。

四、拓展發(fā)散——水到渠成的“方程意識(shí)”

試教中，在微課環(huán)節(jié)結(jié)束后，筆者讓學(xué)生進(jìn)行自我小結(jié)，談?wù)勼w會(huì)與收獲。事實(shí)上，學(xué)生完全能根據(jù)板書說(shuō)出他們的感受。一次實(shí)驗(yàn)課上，學(xué)生總結(jié)時(shí)說(shuō)：“我懂了什么是求高的問題。”什么是求高的問題呢？求長(zhǎng)方形的寬能算求高的問題嗎？方程優(yōu)先的策略是不是僅僅局限于在求高時(shí)使用？這讓筆者意識(shí)到，這堂課還可以延伸和拓展。

如何讓學(xué)生在解決問題時(shí)自覺“用方程解”，形成“方程意識(shí)”？應(yīng)該有一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的過程。再次修改教案時(shí)，筆者以類推拓展代替了空洞總結(jié)。首先，讓學(xué)生通過“已知圓柱的體積和底面積，求高”與“已知圓柱體積和高，求底面積”的題組對(duì)比，體會(huì)“求底面積和求高的解決方法相同”“求底面積”的問題可以視作“求高”的問題。接著，出示長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式，啟發(fā)思考：根據(jù)這個(gè)公式，求什么的問題可以視作是求高的問題？進(jìn)而讓學(xué)生思考：還有哪些問題可以視作求高的問題？學(xué)生的思路在圖形與幾何知識(shí)范圍內(nèi)游走。最后，筆者又出示了相遇問題的等量關(guān)系式，繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考：根據(jù)這個(gè)常見的數(shù)量關(guān)系式，你覺得求什么的問題可以視作是求高的問題？學(xué)生的思路一下子被打開了，有一種茅塞頓開的感覺。逆向思考求解的例子在后來(lái)的學(xué)習(xí)中層出不窮。?