在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

劉曉波

摘 要： 在新時(shí)代背景下，大學(xué)數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)目的及其開設(shè)的重要性被廣大教育學(xué)者所認(rèn)知，將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革中，不僅可以培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新思維及科研意識，還可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)生團(tuán)隊(duì)精神.提高了高等數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，對學(xué)生的能力提升、綜合素質(zhì)的培養(yǎng)都有著積極的作用。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)建模

1、數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)建模是近幾年發(fā)展起來的新型學(xué)科，是結(jié)合實(shí)際問題與數(shù)學(xué)理論為一體的科學(xué). 數(shù)學(xué)建模通過建立模型來實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題現(xiàn)實(shí)化，打破了傳統(tǒng)枯燥、乏味、純理論性的數(shù)學(xué)模式，是聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)世界之間的紐帶。它針對現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)特定對象和目的，根據(jù)事物內(nèi)在規(guī)律，作出相應(yīng)假設(shè)，通過合適的數(shù)學(xué)工具建立模型，進(jìn)行研討并得出結(jié)論.

數(shù)學(xué)建模一般要經(jīng)歷下列步驟。（1）調(diào)查研究。在建模前，建模者要對實(shí)際問題的歷史背景和內(nèi)在機(jī)理進(jìn)行全面的調(diào)查研究。（2）抽象簡化。建模前必須抓住問題的主要因素，提出必要的、合理的假設(shè)，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。（3）建立模型。將問題歸結(jié)為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（4）求解模型。要求建模者熟練地使用 Matlab、Mathtype、Spss 等軟件。（5）模型分析。對求出的解，進(jìn)行實(shí)際意義和數(shù)學(xué)理論方面的分析。（6）模型檢驗(yàn)。在許多問題中，建立的模型是否真實(shí)反映客觀實(shí)際需要驗(yàn)證。（7）模型修改。使模型中的各個(gè)因素更加合理。（8）模型應(yīng)用。數(shù)學(xué)模型及其求解的目的應(yīng)該是對實(shí)際工作進(jìn)行指導(dǎo)及對未來進(jìn)行預(yù)測和估計(jì)。由此可見，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)系統(tǒng)的過程，在進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的過程中需要利用各種技巧、技能以及綜合分析等認(rèn)知活動(dòng)。

2、數(shù)學(xué)建模的作用

隨著近代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的發(fā)展，高等數(shù)學(xué)的基本理論和思維方法已經(jīng)滲透到了社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域之中。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)多學(xué)科學(xué)生的一門重要的基礎(chǔ)課程?？梢耘囵B(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力、思維方法和知識結(jié)構(gòu)的形成等方面有著其他課程無可替代的優(yōu)勢與作用。

我國高等數(shù)學(xué)課程在授課內(nèi)容上，主要著眼于數(shù)學(xué)內(nèi)部的理論結(jié)構(gòu)和它們之間的邏輯關(guān)系，存在重經(jīng)典、輕現(xiàn)代，重分析、輕發(fā)現(xiàn)，重技巧、輕方法，重理論、輕應(yīng)用的傾向。過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)密性，而忽視理論背景和實(shí)際應(yīng)用。不利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，不能滿足后續(xù)專業(yè)課的需要。同時(shí)也使學(xué)生的創(chuàng)造性得不到充分發(fā)揮，不利于能力的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)建模是通過對實(shí)際問題的定量分析，建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識解決問題的一種手段。將數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，使抽象的概念和具體的生活事件相聯(lián)系，打破以往枯燥、乏味、純理論性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，它為數(shù)學(xué)注入了新的活力.通過對現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問題的研究，可以開闊知識面，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。通過小組討論學(xué)習(xí)，共同完成研究，可以很好地樹立學(xué)生團(tuán)隊(duì)精神。數(shù)學(xué)建模讓學(xué)生了解到生活中的許多問題可以用數(shù)學(xué)知識來解決，久而久之，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣.

3、數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式的探討

任何一門數(shù)學(xué)分支都是人類在探索自然規(guī)律而發(fā)展起來的，所以，重要概念的提出、公式和定理的推導(dǎo)以及整個(gè)分支理論的完善都是前人對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的結(jié)果。如何將前人的建模思想在傳授知識的過程中再現(xiàn)給學(xué)生，可以通過如下兩個(gè)途徑來實(shí)現(xiàn)。

一是盡量用原始背景和現(xiàn)實(shí)問題，直觀的演示引入定義、定理和公式，然后再由通俗的描述性語言過渡到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言。這樣不僅使學(xué)生真正了解到知識的來龍去脈，熟悉了這類問題的本質(zhì)屬性，學(xué)會(huì)了如何從實(shí)際問題中篩選有用的信息和數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題。

二是精選應(yīng)用例題，進(jìn)行建模示范，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的意識。遵循減少經(jīng)典、增加現(xiàn)代、減少技巧、增加應(yīng)用的原則。，使學(xué)生體驗(yàn)到應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的樂趣，加深對知識的理解。

4、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)案例

4.1微積分教學(xué)中的案例

高等數(shù)學(xué)的背景包含了大量前人數(shù)學(xué)建模的過程，蘊(yùn)藏著豐富的創(chuàng)造性思維的軌跡?！盁o窮小量分析”和“微元分析”是微積分學(xué)的主要思想方法，微分和積分的基本概念就是運(yùn)用這兩個(gè)思想方法，在解決實(shí)際問題中，分析和處理變與不變、直與曲、局部與全局、近似與精確、有限與無限的矛盾中建立和發(fā)展起來的。

設(shè)計(jì)如下教學(xué)過程：（1）實(shí)際問題。如何求曲邊梯形的面積？（2）引導(dǎo)學(xué)生利用“無限細(xì)分、化整為零、以直代曲取近似、無限積累聚零為整取極限”的微積分的基本思想，得到問題的表達(dá)式。（3）概括總結(jié)，抽象出數(shù)學(xué)模型，引出定積分定義。（4）回到實(shí)際問題。數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于采用定量的方法去分析和解決。

又例如，教材中以“ε-δ”、“ε-N”語言給予形式化精確描述的極限概念，由于這種描述高度抽象與概括，造成初學(xué)者難以用自己的思想去思考、理解它的含意。如果我們從劉徽的“割圓術(shù)”講起，并利用課件進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)值模擬演示，盡可能地向?qū)W生展示極限定義的形成過程，挖掘極限定義的實(shí)質(zhì)，然后再利用極限語言給出準(zhǔn)確的定義，從而使學(xué)生理解“極限”這個(gè)概念模型的構(gòu)建過程。這樣既省時(shí)又直觀，教學(xué)效果自然更佳。

我們再來看一個(gè)關(guān)于零點(diǎn)存在定理的實(shí)例：

零點(diǎn)存在定理：設(shè) f（x）∈C[a，b]，若 f（a）·f（b）<0，則至少存在一點(diǎn) ξ∈（a，b），使f（ξ）= 0。

這個(gè)定理很抽象，我們先從簡單的題型講解，然后再拿出實(shí)例去運(yùn)用這個(gè)定理。舉例：一登山運(yùn)動(dòng)員從早上七點(diǎn)開始攀登某座山峰， 在下午七點(diǎn)到山頂，第二天早上七點(diǎn)再從山頂開始沿著上山的路下山，下午七點(diǎn)到達(dá)山腳，這個(gè)運(yùn)動(dòng)員會(huì)在這兩天的某一相同時(shí)刻經(jīng)過登山路線的同一點(diǎn)嗎？

要解決這個(gè)問題，首先要找到運(yùn)動(dòng)員在上山和下山時(shí)，時(shí)間與路程的函數(shù)關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，再思考解答。

不妨設(shè)登山員從山頂?shù)缴侥_經(jīng)過的路程為 S， 他爬山經(jīng)過 Δt 時(shí)間走的路程為 f（Δt），下山時(shí)經(jīng) Δt 時(shí)間走的路程為 g（Δt）。于是， 當(dāng) Δt=0 時(shí)，就有 f（0）=g（0）=0，并且有當(dāng) Δt=12 時(shí)，這是他走完全程所用的時(shí)間，就有 f（12）=g（12）=S。

建立了模型后，接下來解決這個(gè)問題：

假設(shè)路途是連續(xù)的，那么就有 f（Δt），g（Δt）在區(qū)間

[0，12]上是連續(xù)的，只要說明存在一點(diǎn) Δξ 屬于開區(qū)間（0，12），使 f（Δξ）

+g（Δξ）=s，就證實(shí)了他在這兩天某同一時(shí)刻經(jīng)過了路線的同一點(diǎn)。

這樣建立數(shù)學(xué)模型，利用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理就解決了這個(gè)登山問題了，將數(shù)學(xué)建模的思想應(yīng)用到枯燥乏味的高等數(shù)學(xué)課程中。既增加了課堂的趣味性，又讓學(xué)生學(xué)會(huì)了定理，也使他們初步了解了數(shù)學(xué)建模。

4.2. 線性代數(shù)和空間解析幾何教學(xué)中的案例

在講 Gauss 消元法時(shí)，介紹計(jì)算機(jī)層析 X 射線照相術(shù)。教學(xué)過程：（1）實(shí)際問題。計(jì)算機(jī)層析掃描儀根據(jù)僅從病人頭外部測得的 X 射線，來計(jì)算此病人大腦的圖像，這樣做合理嗎？（2）模型建立。引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)線圖（點(diǎn)代表人體某個(gè)器官，線代表X 射線）來描述掃描儀的工作原理，建立相關(guān)的線性方程組。（3）模型求解。利用剛學(xué)的 Gauss 消元法求解。（4）模型分析。解釋計(jì)算機(jī)層析 X 射線照相術(shù)的合理性。

這種給形式化的抽象的數(shù)學(xué)問題賦予實(shí)際意義的做法，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)既源于生活、又高于生活，縮小了抽象數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的差距。讓學(xué)生領(lǐng)悟到簡單的數(shù)學(xué)知識也能應(yīng)用到神秘的儀器中，學(xué)習(xí)線性代數(shù)的愉悅感油然而生。

4.3 常微分方程教學(xué)中的案例

建立常微分方程，解常微分方程是建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的有力工具。因此，教師在傳授常微分基礎(chǔ)理論的同時(shí)，還應(yīng)多花時(shí)間講授在實(shí)際問題中那些可用此方法建模、如何提煉出微分方程模型。下面以分離變量法的教學(xué)為例。

設(shè)計(jì)如下教學(xué)過程：（1）實(shí)際問題。根據(jù)估計(jì)，中國總?cè)丝诘姆逯的晔?2044 年，人口數(shù)達(dá)到 15.6-15.7 億。如何建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，合理的論證估計(jì)及如何準(zhǔn)確定位、保持人口合理增長？（2）模型基本假設(shè)。假定人口總數(shù)是隨時(shí)間連續(xù)可微地變化，并假定單位時(shí)間內(nèi)人口增長量與當(dāng)時(shí)的人口成正比。（3）模型建立。引導(dǎo)學(xué)生用微分來刻畫人口增長率，用一階齊次微分方程建立模型。事實(shí)上就是著名的 Malthus 人口模型。（4）模型求解。讓學(xué)生利用剛學(xué)過的分離變量法求解。（5）模型分析與檢驗(yàn)。讓學(xué)生課后查閱計(jì)劃生育委員會(huì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，進(jìn)行檢驗(yàn)及完善。

這種將數(shù)學(xué)問題賦予生活內(nèi)涵的教學(xué)法，可喚起和支配學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究的興趣。更重要的是，在人口統(tǒng)計(jì)方面的驚人數(shù)字給學(xué)生的震撼力，可引導(dǎo)著學(xué)生關(guān)注社會(huì)、關(guān)注未來。

4.4 運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中的案例

運(yùn)籌學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)科學(xué)，目前幾乎涉及社會(huì)的各個(gè)方面。運(yùn)籌學(xué)在解決實(shí)際問題時(shí)，按研究對象的不同所采取的建模方法各異。運(yùn)籌學(xué)模型可分為確定性模型和隨機(jī)性模型。確定性模型包括：線性規(guī)劃模型、目標(biāo)規(guī)劃模型、整數(shù)規(guī)劃模型、非線性規(guī)劃模型、網(wǎng)絡(luò)分析中的模型。隨機(jī)性模型包括：動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型、排隊(duì)論模型、存儲(chǔ)論模型、對策論與決策論中的模型。因此，從一定意義上說，數(shù)學(xué)建模屬于運(yùn)籌學(xué)的一部分，所以，教師在運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)中更應(yīng)該突出數(shù)學(xué)建模的思想，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。教師在講授運(yùn)籌學(xué)時(shí)，遵循如下步驟。（1）提出和形成問題。盡可能選取貼近學(xué)生實(shí)際的問題。（2）建立模型。引導(dǎo)學(xué)生分析問題的要旨，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述，建立模型。（3）模型求解。讓學(xué)生利用 Lindo、Lingo 或 Matlab 求解。（4）解的檢驗(yàn)。對學(xué)生的所做結(jié)果給出及時(shí)的肯定和指正。（5）解的控制和實(shí)施。

5、反思和展望

數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用和升華，而且是一種數(shù)學(xué)思想的表達(dá)和教學(xué)方法，實(shí)際上基本概念、公式、定理都是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。所以，數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)模型教學(xué)。在教學(xué)過程中貫穿數(shù)學(xué)建模的思想和方法時(shí)，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)。（1）模型的選題要大眾化。應(yīng)選擇密切聯(lián)系學(xué)生，有趣味、實(shí)用的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容。（2）設(shè)計(jì)有新意的例子，啟發(fā)學(xué)生積極思考，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。舉例宜少而精，忌大而泛。（3）從現(xiàn)實(shí)原形出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、概括、抽象出數(shù)學(xué)模型。（5）循序漸進(jìn)，由簡單到復(fù)雜，逐步滲透，逐步訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)建模知識解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題。

目前大部分高校都開設(shè)了“數(shù)學(xué)建?！边x修課，但僅此一舉，對培養(yǎng)學(xué)生能力所起的作用是微弱的。一方面，由于“數(shù)學(xué)建模”所包含的內(nèi)容非常廣泛，對不同問題分析的方法又各不相同，真正掌握難度很大。另一方面，數(shù)學(xué)建模教育實(shí)質(zhì)上是一種能力和素質(zhì)的教育，需要較長的過程。因此解決這一問題的有效辦法是在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，介紹數(shù)學(xué)建模的基本方法。

參考文獻(xiàn)

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