離散作戰(zhàn)模型的連續(xù)化蘭切斯特模型研究*

嚴建鋼，孫守福，沙基昌

（1.海軍航空大學，山東 煙臺 264001；2.國防科技大學信息系統(tǒng)與管理學院，長沙 410073）

離散作戰(zhàn)模型的連續(xù)化蘭切斯特模型研究*

嚴建鋼1，孫守福1，沙基昌2

（1.海軍航空大學，山東 煙臺 264001；2.國防科技大學信息系統(tǒng)與管理學院，長沙 410073）

通過蘭切斯特方程的分析，定義了作戰(zhàn)力量變換系數(shù)概念，推導出作戰(zhàn)力量變換系數(shù)的蘭切斯特方程，得到了衡量交戰(zhàn)雙方作戰(zhàn)力量等效值，而作戰(zhàn)力量變換系數(shù)的蘭切斯特方程正是適用于離散型作戰(zhàn)的蘭切斯特作戰(zhàn)模型，使具有深刻影響力的蘭切斯特方程適用范圍擴大到了交戰(zhàn)雙方離散數(shù)量型的作戰(zhàn)領域，從而賦予蘭切斯特方程新的生命，為復雜的格斗作戰(zhàn)分析提供了新的工具。

作戰(zhàn)力量等效，離散型作戰(zhàn)模型，連續(xù)型作戰(zhàn)模型，蘭切斯特方程

0 引言

20世紀初英國航空工程師Lanchester提出了著名的關于空戰(zhàn)格斗的嘗試性數(shù)學模型，后來被人們稱之為蘭切斯特方程［1］。蘭切斯特方程作為定量研究作戰(zhàn)過程的經(jīng)典方法，自從二戰(zhàn)以來有了迅速的發(fā)展，主要在有增援的情況、信息系統(tǒng)參與、變系數(shù)條件、士氣對作戰(zhàn)的影響以及復雜電磁環(huán)境等因素下，對傳統(tǒng)的蘭切斯特方程作了大量的改進，適當?shù)財U大了它的應用外延［2-7］，但由于蘭切斯特方程在推導的過程中作了相應的假設，限制了它在作戰(zhàn)中的使用范圍，目前的研究集中在兩種方法上：一是建立隨機型蘭切斯特方程［8］；二是采用離散的隨機格斗理論［9］。兩種方法形式不同，原理卻是一樣的，都是依據(jù)馬爾科夫鏈隨機過程理論得到的。這對在作戰(zhàn)理論與作戰(zhàn)實踐中研究一些問題帶來了諸多的不便。一是計算的復雜，二是很難推導出帶有普遍規(guī)律性的結論，這一點是至關重要的。所以有必要在離散型作戰(zhàn)研究領域，建立諸如蘭切斯特方程那樣的確定連續(xù)型作戰(zhàn)模型，延續(xù)與擴大經(jīng)典的蘭切斯特方程適用范圍，簡化離散型作戰(zhàn)模型研究的分析方法。

1 作戰(zhàn)力量變換系數(shù)

連續(xù)型與離散型模型的區(qū)別在于交戰(zhàn)雙方參戰(zhàn)單位x、y的數(shù)量與質(zhì)量，如在小規(guī)模作戰(zhàn)中通過某種代換，將單純反映數(shù)量關系不連續(xù)的x、y替換成能夠看成連續(xù)的反映數(shù)量與質(zhì)量關系的變量X、Y，這時就可以利用連續(xù)函數(shù)的數(shù)學工具，諸如微積分等建立作戰(zhàn)模型，研究作戰(zhàn)規(guī)律，指導作戰(zhàn)實踐。

且X、Y為連續(xù)可微的能夠反映交戰(zhàn)雙方作戰(zhàn)單位數(shù)量與質(zhì)量的標量，則稱向量uT、vT為交戰(zhàn)雙方各作戰(zhàn)單位的相對作戰(zhàn)力量變換系數(shù)向量，X、Y稱為交戰(zhàn)雙方總的作戰(zhàn)力量的等效值。

通過定義可以得知，不管交戰(zhàn)雙方參戰(zhàn)單位x、y的多或少，通過uT、vT的適當取值，X、Y總是能夠達到可以看作連續(xù)量的一個標量的，uT、vT也就相當于一個放大器，且將雙方單個作戰(zhàn)單位的作戰(zhàn)效能融為一體，那么，連續(xù)性蘭切斯特方程就可以利用，下面關鍵是利用連續(xù)型的蘭切斯特方程，求出符合定義的交戰(zhàn)雙方的作戰(zhàn)力量變換系數(shù)向量。

2 等效的蘭切斯特方程

設x、y為離散的兵力投入向量：

交戰(zhàn)雙方殺傷對方的威力系數(shù)為A與B矩陣：

A與B反映了交戰(zhàn)雙方各作戰(zhàn)單位殺傷對方某個作戰(zhàn)單位的毀傷強度，它的量綱是單位時間、單位作戰(zhàn)單位消滅對方作戰(zhàn)單位的數(shù)量。

雙方的火力分配策略使用Φ與Ψ矩陣表示：

則X、Y滿足微分方程

證明：根據(jù)毀傷率方程，可以直接寫出x、y的增量方程：

即：

因為X、Y 連續(xù)可微，令 Δt→0，對式（7）取極限

證畢。

根據(jù)文獻［11］中的蘭切斯特平方律（3.7）這時的X、Y反映了交戰(zhàn)雙方總體的作戰(zhàn)能力，不僅體現(xiàn)了作戰(zhàn)的硬實力，還將作戰(zhàn)的軟實力（例如戰(zhàn)術運用、火力運用等）融入其中，對于分析交戰(zhàn)雙方整體的作戰(zhàn)能力帶來了許多方便，可以從宏觀上把握雙方的作戰(zhàn)實力，預測戰(zhàn)斗的發(fā)展趨勢，還可以指導戰(zhàn)術運用，使作戰(zhàn)中的武器與人的能力得到充分發(fā)揮。因此，可以得到以下定理。

定理3 對于多對多作戰(zhàn)單位，通常矩陣HG與矩陣GH有相同的正特征值（＞0），與此相應的HG與矩陣GH的左特征向量uT與vT正好是甲、乙雙方各類作戰(zhàn)單位的相對作戰(zhàn)力量變換系數(shù)向量，且它們滿足

而X=uTx，Y=vTy就是雙方總的作戰(zhàn)力量等效值，且滿足式（3），則

式（9）稱為離散作戰(zhàn)模型的等效蘭切斯特方程。

通過以上3個定理，得到了一個將交戰(zhàn)雙方投入兵力由向量轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€標量形式的類似于蘭切斯特方程的兵力損失率的模型，這樣雙方兵力中各作戰(zhàn)單位的作用就淹沒在整體作戰(zhàn)實力中，從而解決了傳統(tǒng)蘭切斯特方程的第1個假設問題。第2個假設可以通過式（4）中uT與vT的合理取值（根據(jù)要求的精度等）加以解決，實際式（4）就相當于一個兵力的放大器，通過它可以將兵力的實際數(shù)值由放大的作戰(zhàn)力量變換系數(shù)替換，這種替換不可能造成人為的誤差，因為交戰(zhàn)雙方是相對比較的，作戰(zhàn)力量的對比不可能發(fā)生變化，自然作戰(zhàn)過程與結果也不會改變。

3 模型分析

等效的蘭切斯特模型式（9），使具有深刻影響力的蘭切斯特方程適用范圍擴大到了交戰(zhàn)雙方離散數(shù)量型的作戰(zhàn)領域，從而賦予蘭切斯特方程新的生命，為復雜的格斗作戰(zhàn)分析提供了新的工具。從對等效蘭切斯特方程式（9）的進一步分析，可以得出4點重要啟示。

第2，利用作戰(zhàn)力量等效值的方法判斷戰(zhàn)斗的勝負是有意義的，戰(zhàn)斗開始時，總作戰(zhàn)力量等效值大的一方容易獲勝，且雙方初始實力越懸殊，勝負也越懸殊。

這里從蘭切斯特平方率［13］

得到式（9）的雙方打成平局的條件

根據(jù)蘭切斯特平方率，當總作戰(zhàn)力量等效值的初值大的一方容易獲勝，相反，則反之。亦可以用式（9）作為兵力的投入、戰(zhàn)斗勝負預測與作戰(zhàn)持續(xù)時間等一系列作戰(zhàn)問題決策的依據(jù)。

第3，將X、Y看作連續(xù)可微的條件從對抗的角度進行分析，即交戰(zhàn)雙方X、Y中每一作戰(zhàn)單元的殺傷作用與各自整體作戰(zhàn)體系的殺傷作用相比不起決定性作用，要求X、Y的取值必須滿足這個條件。在實際的運用中它是通過式（1）的計算得到，根據(jù)研究問題的精度要求，通過選取合適的相對作戰(zhàn)力量變換系數(shù)向量uT、vT，總能夠使X、Y近似為連續(xù)可微的變量。例如交戰(zhàn)雙方原始投入的作戰(zhàn)單位x、y均為3個，通過選取合適的uT、vT，使交戰(zhàn)雙方總的作戰(zhàn)力量的等效值X、Y擴大10倍，那么，相對于原始投入的兵力看作連續(xù)可微所造成的誤差就相對減小了，如果X、Y擴大100倍，相對于原始投入的兵力看作連續(xù)可微所造成的誤差就更加小了，還可繼續(xù)下去。所以，運用式（9）的離散作戰(zhàn)模型的等效蘭切斯特方程解決相關的問題是能夠保證一定精度的。

第四，因為在計算特征向量uT與vT時，需要用到矩陣（HG）與矩陣（GH），而且 G=B*Ψ，H=A*Φ，含有交戰(zhàn)雙方的兵力運用（或火力運用）策略矩陣。所以，兵力運用（或火力運用）策略對于雙方作戰(zhàn)力量變換系數(shù)的估計以及戰(zhàn)斗的勝負均有影響，這充分說明了廣義的作戰(zhàn)力量應該包括兩個部分：一是交戰(zhàn)雙方的所謂“硬”力量，即G=B*Ψ，H=A*Φ中的B，A；二是交戰(zhàn)雙方的所謂“軟”能力，即G=B*Ψ與H=A*Φ的Ψ，Φ。在信息化體系作戰(zhàn)的情況下，“軟”能力的作用正在日益凸顯。在雙方“硬”力量相差不大時，兵力運用（或火力運用）策略的失誤可能喪失可獲得的勝利，如何制定合理的或最優(yōu)的兵力運用（或火力運用）策略，這是一個至關重要的問題（由于篇幅與主題所限，在這里不作具體闡述）。

［1］LANCHESTER F W.Aircraft in warfare：the dawn of the fourth arm［M］.Constable&Co，1916.Lanchester Press，1995.

［2］巨金川.蘭切斯特方程的推廣及其作戰(zhàn)應用［J］.電光與控制，2009，16（10）：22-24.

［3］喬林峰，胡浩然，王俊.蘭切斯特方程的參數(shù)取值與計算［J］.艦船電子工程，2011，31（8）：49-51.

［4］賀毅輝.作戰(zhàn)模擬基礎［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2012：125-128.

［5］屈洋，閻應軍.軍事運籌學［M］.北京：軍事科學出版社，2003.

［6］劉浩金，陳立新.炮兵武器系統(tǒng)效能分析［M］.合肥：合肥炮兵學院，1996.

［7］邵國培，曹志耀，何俊.電子對抗作戰(zhàn)效能分析［M］.北京：解放軍出版社，1998.

［8］ALAN W，MOSHE K著，郭齊勝，曹曉東，等譯.戰(zhàn)斗建模［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2012.

［9］馮傳治，任耀峰.隨機格斗模型仿真研究［J］.兵工自動化，2009，28（2）：93-94.

［10］嚴建鋼.航空兵數(shù)理戰(zhàn)術分析［M］.北京：解放軍出版社，2006.

［11］沙基昌.數(shù)理戰(zhàn)術學［M］.北京：科學出版社，2003.

［12］郭潤喜，王曉春.線性代數(shù)［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2011.

［13］賈連興.系統(tǒng)仿真與作戰(zhàn)模擬［M］.北京：通信指揮學院出版社，2008.

Research on Continuous Lanchester Model of Discrete Operation Model

YAN Jian-gang1，SUN Shou-fu1，SHA Ji-chang2
（1.Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，China；2.School of Information System and Management，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

On the basis of analysis of lanchester equation,the operation power transformation coefficient conception is defined and the operation power transformation coefficient lanchester equation is derived to get the equivalent value measuring the power of two warring sides.The operation power transformation coefficient lanchester equation is well applied to the discrete lanchester operation model.The application range of lanchester equation is widened to the discrete operation power area,which gave new life to lanchester equation and provided a new tool for analysis of complicated fighting operation.

operation power eauivalent，discrete operation model，continuous operation model，lanchester model

TP63

A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.11.15

1002-0640（2017）11-0065-03

2016-09-19

2016-11-19

國家社會科學軍事學基金資助項目（11GJ003-074）

嚴建鋼（1958- ），男，山西太原人，教授，博士，博士生導師。研究方向：作戰(zhàn)模型及模擬、作戰(zhàn)運籌分析等。