基于總體最小二乘改進的SDFT三相交流電頻率估計算法

劉 勇 王 開 劉 航 沈佳佳 裴文江 夏亦犁

(東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 南京 210096)

基于總體最小二乘改進的SDFT三相交流電頻率估計算法

劉 勇 王 開 劉 航 沈佳佳 裴文江 夏亦犁

(東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 南京 210096)

為了解決SDFT算法在含有噪聲、諧波或突發(fā)干擾的電力網(wǎng)絡(luò)中電壓信號基頻分量三點關(guān)系式不嚴格成立的問題,引入總體最小二乘算法(TLS-SDFT)進行改進．TLS-SDFT算法采用滑動窗截取的多個DFT基頻分量樣本點來擴展SDFT算法的三點關(guān)系式,引入擾動矩陣,并通過對系數(shù)矩陣進行奇異值分解,使擾動矩陣具有最小Frobenious范數(shù),得到改進的頻率估計值．由于系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)的特殊性,該算法的額外復(fù)雜度為窗長的線性函數(shù)．仿真結(jié)果表明,在高斯白噪聲干擾下,改進算法的估計偏差和均方誤差遠低于原SDFT算法．在高次諧波干擾、信號參數(shù)突變以及變電站實測環(huán)境下,改進算法的頻率追蹤精確度均有明顯提升．

頻率估計;總體最小二乘;離散傅里葉變換;參數(shù)估計

在電力系統(tǒng)中,系統(tǒng)頻率是控制電力網(wǎng)絡(luò)負荷不平衡的一個關(guān)鍵參數(shù),可決定非線性負載造成的諧波電流干擾等．精確的頻率估計算法對維持電力網(wǎng)絡(luò)和常用電力設(shè)備的穩(wěn)定性至關(guān)重要．將電網(wǎng)設(shè)備電壓信號視為純正弦信號,則信號的2次過零時間間隔為系統(tǒng)頻率的一個重要參考[1]．

被測信號極易被噪聲或其他信號干擾,國內(nèi)外研究者們已提出多種針對不同場景下的頻率估計算法,包括鎖相環(huán)算法[2]、陷波器[3]、最小均方算法及其變體[1,4]、自適應(yīng)濾波器[5]、Kalman濾波[6]、泰勒展開系列算法[7]、迭代算法[8]等．

基于DFT的頻率估計算法在電力系統(tǒng)中已有廣泛應(yīng)用．為克服有限長DFT頻譜采樣性對算法性能的影響,通常采用窗函數(shù)來降低頻譜泄露,并通過插值算法來降低柵欄效應(yīng)帶來的誤差[9]．為了進一步降低DFT算法復(fù)雜度、減少其對系統(tǒng)同步采樣的依賴性,Yang等[1,10]利用連續(xù)樣點的DFT基頻分量之間的關(guān)系,研究了高次諧波和系統(tǒng)頻偏情況下的精確估計算法．

在SDFT算法的基礎(chǔ)上,本文推導(dǎo)了TLS-SDFT算法原理,并驗證了其在電力系統(tǒng)中的抗噪性能及魯棒性．

1 SDFT算法

本文主要考慮電力系統(tǒng)信號的頻偏估計問題．理想條件下,信號模型可表示為

x(n)=Xcos(wnΔT+φ)

(1)

式中,x(n)為離散電壓信號,其中n為離散時刻;X為幅值;φ為初始相位;ΔT為采樣間隔;w=2πf0為數(shù)字角頻率,其中f0為系統(tǒng)標準頻率．對于采樣頻率為fs的系統(tǒng),ΔT=1/fs,通常fs=Nf0,其中,N為周期采樣點數(shù)．

(2)

(3)

考慮系統(tǒng)頻偏Δf,即w=2π(f0+Δf),合并式(2)和(3),得

(4)

定義與n相關(guān)的變量bn和cn分別表示式(4)右邊第1項和第2項,令

則bn和cn有如下遞推關(guān)系:

bn=abn-1,cn=a-1cn-1

(5)

3個連續(xù)時刻的DFT基頻分量可表示為

(6)

令

(7)

進一步,可得到基頻分量三點關(guān)系式為

(8)

由此可得r的估計值為

(9)

進一步,得到f的估計值為

(10)

式中,R(·)為復(fù)數(shù)的取實部運算．

2 TLS-SDFT算法

SDFT頻率估計算法在理論上是正確的．然而,當信號受到噪聲或高次諧波干擾時,算法性能會下降,原因是受干擾的信號會使式(8)不再嚴格成立,且r=a+a-1為復(fù)數(shù)．盡管SDFT算法使用R(·)運算來降低這些干擾,但效果并不理想．為了克服這一缺陷,本節(jié)將引入總體最小二乘算法來降低噪聲、諧波等干擾的影響．

式(8)對于任意時刻n都成立,假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)在一個短時間窗L內(nèi)時不變[11],可得到擴展的基頻分量關(guān)系式為

(11)

(12)

Ar=b

(13)

設(shè)A,b的誤差向量分別為E,e，則

(A+E)r=b+e

(14)

式(14)的最小二乘解考慮了系數(shù)的總體誤差,故將改進的算法稱為TLS-SDFT算法．

式(14)可等價寫為

(15)

令

則式(15)可寫為

(B+D)z=0

(16)

求解方程(14)的TLS算法可以描述為求解如下最優(yōu)化問題:

(17)

TLS算法的基本思想是使來自于A和b的擾動噪聲最?。唧w步驟為:求解具有最小范數(shù)的擾動矩陣D∈RL×2,使得B+D是非滿秩的(如果滿秩,則只有平凡解z=0)．通常,使用SVD來解決這一問題,令

B=UΣVH

(18)

(19)

式中,Σ1的第1個奇異值與矩陣B的第1個奇異值相同,其他奇異值為0．

本文引入的是TLS算法中的一個特例．常規(guī)TLS算法的系數(shù)矩陣為m×s維,矩陣B的有效秩為p(即z中獨立未知數(shù)的個數(shù)為p),且s≥p≥1．此處,由式(12)可知,s=p=1．

(20)

不難證明

(21)

根據(jù)最小二乘原理,求方程(20)的最小二乘解等價于使如下代價函數(shù)最小化:

(22)

(23)

可將代價函數(shù)記為f(z)=zHSz,由?f(z)/?z=0化簡得到

Sz=αe

(24)

式中,e={1,0}T;歸一化常數(shù)α的選擇應(yīng)使參數(shù)向量z中的第1個元素為1．

(25)

將其代入式(10),即可得到頻率的估計值為

(26)

3 仿真與分析

為了驗證TLS-SDFT算法的性能,利用MATLAB軟件對電力系統(tǒng)中常見的幾種信號模型[13]進行仿真．仿真過程中,設(shè)定f0=50 Hz,fs=1 600 Hz,L=15,所加噪聲均為高斯白噪聲．

在電力系統(tǒng)的噪聲環(huán)境下,TLS-SDFT算法和SDFT算法的估計偏差和均方誤差如圖1所示．圖中,加入噪聲的輸入信號模型為x(n)=cos(2πfn+0.3π)+u(n),其中,u(n)為高斯白噪聲,系統(tǒng)實際頻率f=f0+Δf=50.5 Hz,一共進行了1 000次獨立實驗．由圖可知,TLS-SDFT算法的估計偏差較SDFT算法降低20 dB,均方誤差降低30 dB．

圖2給出了受諧波干擾的電力系統(tǒng)環(huán)境下2種算法的頻率追蹤精確度對比．系統(tǒng)實際頻率為49.8 Hz,截取0.5 s的采樣數(shù)據(jù),輸入信號的模型為x(n)=cos(2πfn+0.3π)+0.2cos(6πfn-0.1π)．由于原SDFT算法在理論上并未考慮高次

圖1噪聲環(huán)境下2種算法性能比較

諧波的干擾,三次諧波信號的存在使得DFT基頻分量的三點關(guān)系誤差較大．而TLS-SDFT算法通過觀測窗弱化了這一誤差,從而提高了算法的抗諧波干擾能力．由圖2可知,TLS-SDFT算法的估計誤差明顯小于SDFT算法．SDFT算法和TLS-SDFT算法的最大估計誤差分別為0.354 5和0.028 4 Hz,后者降低了一個數(shù)量級．

在電力系統(tǒng)中,某些設(shè)備故障或開關(guān)操作會引起系統(tǒng)電壓的幅值、相位等參數(shù)發(fā)生一定程度的峭變．仿真中,系統(tǒng)實際頻率設(shè)定為50.1 Hz,輸入信號模型為x(n)=cos(2πfn+0.1π)．圖3給出了2種算法在幅值突變10%、相位突變0.1π

時的頻率追蹤精確度．由圖可知,2種算法的估計結(jié)果都會出現(xiàn)波動,但對相位干擾更為敏感．產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因在于,對信號模型整體而言,相位的導(dǎo)數(shù)即為頻率,突變的相位意味著頻率實際值波動變大,從而導(dǎo)致2種算法的追蹤性能變差．此外,算法的響應(yīng)時間與所取的觀測窗長L有關(guān),L越大,響應(yīng)時間越長,估計誤差越?。虼?為了較好地在二者之間取得折中,通常取L=5．在這一觀測窗長下,TLS-SDFT算法具有很好的估計性能,在噪聲和諧波干擾環(huán)境下具有較強的魯棒性．

圖3系統(tǒng)參數(shù)峭變場景下的頻率追蹤精確度對比

在某些故障或負載損耗的場合下,電力系統(tǒng)的負載平衡遭到破壞,導(dǎo)致波形的幅值、頻率受到不同程度的調(diào)制,將系統(tǒng)實際頻率設(shè)定為49.9 Hz．

對于幅值調(diào)制的場景,信號模型為x(n)=(1+0.2cos(2πfn))cos(2πfn+0.3π)．L=15時頻率追蹤精確度如圖4(a)所示．由圖可知,TLS-SDFT算法的最大估計誤差(2.7 mHz)明顯低于SDFT算法．

對于頻率調(diào)制的場景,信號模型為

(27)

對應(yīng)的頻率函數(shù)為

(28)

式中,t表示連續(xù)時間．

在這種動態(tài)環(huán)境下,由圖4(b)可知,TLS-SDFT算法具有更精確的估計結(jié)果,并且能夠動態(tài)追蹤信號頻率的變化．

(a) 幅值調(diào)制

(b) 頻率調(diào)制

當頻率以1和-1 Hz/s增加時，2種算法的頻率追蹤結(jié)果見圖5．圖5(a)和(b)的信號模型分別為x(n)=cos(2π(f+0.5n)n+0.3π)和x(n)=cos(2π(f-0.5n)n+0.3π)．

由圖5可以看出,TLS-SDFT算法的估計結(jié)果較SDFT算法更接近參考值,且沒有明顯波動．在這2種信號模型下,2種算法的估計值均位于參考值的同一側(cè)．究其原因在于,如式(11)所示,本文采用了前向預(yù)測窗模型,導(dǎo)致當前時刻頻率估計值與時刻n前一個、后L+1個信號的采樣值有關(guān),故2種算法的估計結(jié)果都體現(xiàn)出一定的超前性．

變電站電壓信號實測環(huán)境下2種算法的性能對比見圖6．該單相接地電壓信號來自于某110 kV變電站,采樣頻率為1 kHz．表1列出了0.3 s內(nèi)2種算法估計值的最大偏差和方差．結(jié)果表明,TLS-SDFT算法具有更好的魯棒性．

(a) 斜率為1 Hz/s

(b) 斜率為-1 Hz/s

圖6 變電站實測數(shù)據(jù)片段算法性能比較

算法最大偏差/Hz方差/Hz2SDFT1.38720.0168TLS-SDFT0.25540.0037

4 結(jié)論

1) TLS-SDFT算法通過在擴展的信號基頻分量三點關(guān)系式中引入擾動矩陣D,并對時域窗截取的系數(shù)矩陣進行SVD分解求得最優(yōu)解,額外復(fù)雜度為Ο(L)．

2) 在高斯噪聲、諧波、系統(tǒng)參數(shù)動態(tài)變化等仿真環(huán)境下,TLS-SDFT算法都具有良好的精確度和魯棒性．在變電站的實測數(shù)據(jù)下,TLS-SDFT算法的最大估計偏差、方差均低于SDFT算法．

3) 在某些系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生突變的場景下,受時域窗的影響,TLS-SDFT算法的動態(tài)反應(yīng)能力不如SDFT算法．后續(xù)工作擬在不犧牲精確度的前提下,進一步降低窗長的選擇,并降低復(fù)雜度．

)

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ImprovedSDFTalgorithmbasedontotalleastsquaresforfrequencyestimationinthree-phasepowersystem

Liu Yong Wang Kai Liu Hang Shen Jiajia Pei Wenjiang Xia Yili

(School of Information Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)

In the smart discrete Fourier transform(SDFT)algorithm, the underlying relationship among the three consecutive fundamental components of the voltages does not hold when the three-phase power system is contaminated by noises, harmonics, or encountered with sudden interrupts. To solve this problem, a total least squares SDFT(TLS-SDFT)algorithm is put forward. In the proposed algorithm,the original three point relation formula in the SDFT algorithm is extended based on the multiple DFT fundamental observations obtained by sliding windows.A perturbation matrix is introduced. The coefficient matrix is singular value decomposed to minimize the Frobenious norm of the perturbation matrix, and then the estimated frequency is improved. Due to the special structure of the coefficient matrix, the additional complexity of the proposed algorithm is a linear function with the length of the sliding window. The simulation results show that the estimation bias and the mean square error of the proposed algorithm are much smaller than those of the original SDFT algorithm under the interference of Gauss white noise. The frequency tracking accuracy of the proposed algorithm is obviously improved under the conditions of high harmonic interference, signal parameter mutation and real substation measurement.

frequency estimation; total least squares; smart discrete Fourier transform;parameter estimation

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.06.008

TM935.1

A

1001-0505(2017)06-1129-06

2017-05-28.

劉勇(1990—),男,碩士生;王開(聯(lián)系人),男,博士,副教授,wangkai-seu@163.com.

國家自然科學(xué)基金資助項目(61401094,61771124)、江蘇省自然科學(xué)基金資助項目(BK20140645)、中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(2242016K41050).

劉勇，王開，劉航，等.基于總體最小二乘改進的SDFT三相交流電頻率估計算法[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,47(6):1129-1134.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.06.008.