齒面摩擦激勵對面齒輪傳動系統(tǒng)振動特性的影響

馮仕偉，何國旗，王其雷，孫 能，鄧澍杰

（湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

齒面摩擦激勵對面齒輪傳動系統(tǒng)振動特性的影響

馮仕偉，何國旗，王其雷，孫 能，鄧澍杰

（湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

以正交面齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，建立了考慮齒面摩擦激勵的面齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，基于4～5階的自適應(yīng)變步長的龍格庫塔法對該模型進(jìn)行數(shù)值仿真求解，結(jié)合分岔圖、時間歷程圖、poincare圖等分析齒面摩擦系數(shù)對系統(tǒng)的振動特性的影響，并研究不同參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)的影響。結(jié)果表明：系統(tǒng)響應(yīng)隨齒面摩擦系數(shù)的增大依次呈現(xiàn)出單周期簡諧響應(yīng)、倍周期次諧響應(yīng)、混沌響應(yīng)；面齒輪齒寬和圓柱齒輪驅(qū)動扭矩越大，系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時的摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)數(shù)值越大，且隨著齒寬和驅(qū)動扭矩的增大，其摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)變化曲線斜率越小，驅(qū)動扭矩對其變化曲線斜率較齒寬影響大；面齒輪齒數(shù)和系統(tǒng)齒側(cè)間隙越大，系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時的摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)數(shù)值越小，其摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)變化曲線斜率隨面齒輪齒數(shù)增大而減小，而齒側(cè)間隙對其變化曲線斜率基本沒有影響 。

面齒輪傳動；非線性動力學(xué)；摩擦系數(shù)；振動特性

0 引言

面齒輪傳動具有重合度高、噪聲低、振動小等許多優(yōu)點(diǎn)，隨著科技的不斷發(fā)展，面齒輪傳動因其獨(dú)特的分流特性，使得其在航空領(lǐng)域尤其是在新型戰(zhàn)斗直升機(jī)中的應(yīng)用，表現(xiàn)出潛在的優(yōu)勢[1-5]。齒輪傳動系統(tǒng)的振動和噪聲一直是學(xué)界研究的重點(diǎn)，其中，作為系統(tǒng)內(nèi)部激勵的齒面摩擦是齒輪非線性振動的重要影響因素，其動態(tài)效應(yīng)對系統(tǒng)振動、齒面磨損和齒輪壽命有著密切影響。因此，有必要深入研究齒面摩擦激勵特性及其對系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響。

目前，對于圓柱齒輪和錐齒輪傳動系統(tǒng)的齒面摩擦激勵及其對系統(tǒng)動力學(xué)特性影響的分析，已有較多學(xué)者進(jìn)行了研究[6-9]。靳廣虎等[10]建立了包含傳遞誤差的面齒輪傳動系統(tǒng)振動模型，研究傳遞誤差對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響；楊振等[11-12]建立了含時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙和傳遞誤差等因素的正交面齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，分析了嚙合頻率、齒側(cè)間隙、時變嚙合剛度、嚙合阻尼和支撐剛度等參數(shù)對系統(tǒng)振動特性的影響；但關(guān)于面齒輪齒面摩擦激勵機(jī)理及其對系統(tǒng)動力學(xué)特性影響的研究較少。

本文以正交面齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，建立了考慮齒面摩擦激勵的系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，基于龍格庫塔法對該模型進(jìn)行數(shù)值仿真求解，結(jié)合分岔圖、時間歷程圖、poincare圖等分析齒面時變摩擦系數(shù)對系統(tǒng)振動特性的影響，并研究面齒輪齒數(shù)和齒寬、圓柱齒輪驅(qū)動扭矩、系統(tǒng)齒側(cè)間隙等參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)的影響。

1 面齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型

根據(jù)集中參數(shù)理論建立面齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，如圖1所示。建模時進(jìn)行以下處理：1）各坐標(biāo)軸沒有擺轉(zhuǎn)振動；2）軸向間誤差對系統(tǒng)的影響忽略不計(jì)；3）兩齒輪采用具集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的圓柱體模擬，支撐軸承采用彈簧模擬；4）齒輪軸為剛性的，軸兩端支撐等效處理到兩齒輪輪心上。

所建立的模型以圓柱齒輪軸線為X軸，面齒輪軸線為Y軸，兩軸線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系Σ（O, X, Y, Z）。根據(jù)面齒輪傳動特點(diǎn)和嚙合原理，圓柱齒輪無軸向作用力，面齒輪無徑向作用力，因此，只考慮兩個坐標(biāo)軸Y、Z方向上的阻尼和支撐，整個系統(tǒng)共有6個自由度，分別為兩齒輪輪心沿Y、Z軸方向的平移自由度和轉(zhuǎn)動自由度，表示為

式中：Yp、Zp分別為圓柱齒輪在Y、Z方向的平移自由度；θp為圓柱齒輪的轉(zhuǎn)動自由度；Yg、Zg分別為面齒輪在Y、Z方向的平移自由度；θg為面齒輪的轉(zhuǎn)動自由度。

圖1 面齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型Fig. 1 A nonlinear dynamic model of face-gear drive system

圖1所示模型中：Op、Og分別為圓柱齒輪和面齒輪的輪心；Tp、Tg分別為兩個齒輪的扭矩；θp、θg分別為兩齒輪的扭角位移；kYp、kZp分別為圓柱齒輪在Y、Z方向的軸支撐剛度；kYg、kZg分別為面齒輪Y、Z方向的軸支撐剛度；Kh為時變嚙合剛度；cYp、cZp分別為圓柱齒輪在Y、Z方向的軸承支撐阻尼；cYg、cZg分別為面齒輪在Y、Z方向的軸承支撐阻尼；ch為嚙合阻尼；bYp、bZp分別為圓柱齒輪在Y、Z方向的軸承徑向間隙；bYg、bZg分別為面齒輪在Y、Z方向的軸承徑向間隙；bh為齒輪副法相間隙；eh為靜態(tài)傳遞誤差。

2 齒面時變摩擦力分析

在嚙合中，齒面摩擦力的方向始終相切于兩齒輪的嚙合齒面，即與嚙合線的方向垂直，如圖2所示，其中ωp、ωg分別為圓柱齒輪和面齒輪的角速度。節(jié)點(diǎn)P處的摩擦力因相對滑動速度為零的原因而也等于零，且因過節(jié)點(diǎn)P處的相對滑動速度方向發(fā)生改變的緣故摩擦力方向也會發(fā)生改變[13]。因此，即使嚙合力保持不變，嚙合齒輪對間的摩擦力也會發(fā)生周期性改變。

圖2 齒面摩擦力分析Fig. 2 An analysis of tooth face friction force

基于Coulomb摩擦定律，摩擦力大小正比于正壓力，可得嚙合點(diǎn)M處的摩擦力為[14]式中：u(t)為時變摩擦系數(shù)；Fn為嚙合點(diǎn)處法向正壓力；sign(M)為符號函數(shù)；可定義為

3 面齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學(xué)微分方程

因振動位移和誤差，兩齒輪齒面沿嚙合點(diǎn)法向方向在嚙合點(diǎn)處產(chǎn)生的相對位移λn為

式中：rp、rg分別為圓柱齒輪和面齒輪嚙合點(diǎn)半徑，rp=mz1/2，rg=mz2/2，其中，z1為圓柱齒輪齒數(shù)，z2為面齒輪齒數(shù)；αn為兩齒輪的法向壓力角；eh(t)為靜態(tài)傳遞誤差。

由于制造和安裝過程中會產(chǎn)生誤差，使嚙合齒廓在傳動過程中發(fā)生偏離而產(chǎn)生位移型激勵，在不具備試驗(yàn)測試情況下，采用近似的簡諧函數(shù)對靜態(tài)傳遞誤差進(jìn)行模擬。數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中：e0為靜態(tài)傳遞誤差常量；er為靜態(tài)傳遞誤差變量幅值；ωh為嚙合頻率；為初始相位角。

根據(jù)受力分析，由牛頓定律可以得知嚙合齒輪間的法向動載荷Fn及其沿坐標(biāo)軸的分力FY、FZ分別為：

式中：Kh(t)為時變嚙合剛度；f(λn)為間隙函數(shù)，可定義為

其中λn為相對位移。

考慮到齒輪軸的軸承支承同樣存在一定的間隙，可以使用相同的間隙函數(shù)f(I, j)表示，則軸承支撐沿Y、Z方向的支撐力FIj可表示為：

式中：I為方向，可取值為Y和Z；j為齒輪類別，可取值為p和g（p代表圓柱齒輪，g代表面齒輪）；kIj為在I方向上齒輪j受到的支撐剛度。

面齒輪空載重合度一般在1.6～1.8，在單雙齒嚙合區(qū)域的交替處齒輪副綜合嚙合剛度會發(fā)生階躍性突變；由于單雙齒嚙合區(qū)交替出現(xiàn)的影響，會使輪齒變形具有周期性，進(jìn)而使齒輪副綜合嚙合剛度產(chǎn)生周期變化，可將其理解為由平均分量和單頻的交變分量組成，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中：Km為綜合嚙合剛度平均值；Kr為嚙合剛度波動幅值；為初始相位角。

因此根據(jù)牛頓定律，圖1所建立的面齒輪傳動系統(tǒng)的振動動力學(xué)微分方程為：

式中：mp、mg分別為圓柱齒輪和面齒輪的集中質(zhì)量；Jp、Jg分別為圓柱齒輪和面齒輪的轉(zhuǎn)動慣量；μ為齒面摩擦系數(shù)。

以兩齒輪齒面沿嚙合點(diǎn)法向方向在嚙合點(diǎn)處產(chǎn)生的相對位移λn作為面齒輪傳動系統(tǒng)新的自由度，對式（9）進(jìn)行量綱一化處理，得出面齒輪傳動系統(tǒng)無量綱化非線性動力學(xué)微分方程：

4 齒面摩擦系數(shù)對系統(tǒng)周期和混沌的影響

表1 面齒輪傳動系統(tǒng)主要參數(shù)Table 1 Main parameters of the face-gear system

圖3 摩擦系數(shù)μ變化時系統(tǒng)響應(yīng)分岔圖Fig. 3 A bifurcation diagram of system response with a changing friction coef fi cient μ

由圖3可知，系統(tǒng)響應(yīng)隨著摩擦系數(shù)的增大依次呈現(xiàn)出單周期簡諧響應(yīng)、倍周期次諧響應(yīng)、混沌響應(yīng)。當(dāng)摩擦系數(shù)繼續(xù)增大時，混沌區(qū)域也隨之相應(yīng)擴(kuò)大，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)出波動幅值較大、混亂無序的運(yùn)動狀態(tài)。

當(dāng)摩擦系數(shù)μ為0.025時，系統(tǒng)呈現(xiàn)單周期簡諧響應(yīng)，具體的變化情況如圖4所示，此時系統(tǒng)的時間歷程圖為單周期簡諧運(yùn)動，ponicare截面圖為1個離散點(diǎn)。當(dāng)摩擦系數(shù)μ增大到0.048時，系統(tǒng)開始呈現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象。當(dāng)摩擦系數(shù)μ為0.048～0.055時，系統(tǒng)呈現(xiàn)2倍周期次諧響應(yīng)，具體情況如圖5所示，此時系統(tǒng)的時間歷程圖為2T的周期運(yùn)動，poincare截面圖為2個離散點(diǎn)。當(dāng)摩擦系數(shù)μ為0.055～0.062時，系統(tǒng)呈現(xiàn)4倍周期次諧響應(yīng)，如圖6所示，此時系統(tǒng)時間歷程表現(xiàn)為4T周期運(yùn)動，ponicare截面圖為4個離散點(diǎn)。當(dāng)摩擦系數(shù)μ繼續(xù)增大，系統(tǒng)依次呈現(xiàn)8, 16, …倍周期次諧響應(yīng)，對應(yīng)的時間歷程圖依次為8T, 16T, …周期運(yùn)動，ponicare截面圖依次為8, 16, …個離散點(diǎn)，最終呈現(xiàn)出混沌響應(yīng)，如圖7所示。

圖4 摩擦系數(shù)μ=0.025時的單周期簡諧響應(yīng)Fig. 4 Monocyclic simple harmonic response with the friction coef fi cient μ=0.025

圖5 摩擦系數(shù)μ=0.05時的2倍周期次諧響應(yīng)Fig. 5 Double sub-harmonic response with the friction coef fi cient μ=0.05

圖6 摩擦系數(shù)μ=0.06時的4倍周期次諧響應(yīng)Fig. 6 4 times sub-harmonic response with the friction coef fi cient μ=0.06

圖7 摩擦系數(shù)μ=0.08時的混沌響應(yīng)Fig. 7 Chaotic response with the friction coef fi cient μ=0.08

根據(jù)以上分析可知，齒面摩擦系數(shù)對面齒輪傳動系統(tǒng)振動特性有重要影響，齒面摩擦激勵的存在進(jìn)一步增強(qiáng)了面齒輪傳動系統(tǒng)的非線性振動響應(yīng)特性。

5 不同參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)的影響

為研究面齒輪齒數(shù)和齒寬、圓柱齒輪驅(qū)動扭矩、系統(tǒng)齒側(cè)間隙等參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)的影響，以面齒輪齒數(shù)和齒寬、圓柱齒輪驅(qū)動扭矩、系統(tǒng)齒側(cè)間隙等參數(shù)分別作為單一變量進(jìn)行分析，如表2所示。其余參數(shù)取表1中的數(shù)據(jù)，得出不同參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)的數(shù)值，如圖8所示。

表2 面齒輪傳動系統(tǒng)的參數(shù)變化Table 2 Parametric variations of the face-gear drive system

圖8 不同參數(shù)取值對系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)的影響Fig. 8 In fl uence of different parameters values on the critical point of friction coef fi cient for the period doubling bifurcation of the system response

由圖8可知，面齒輪齒寬和圓柱齒輪驅(qū)動扭矩越大，系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時的摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)數(shù)值越大，且隨著齒寬和驅(qū)動扭矩的增大，其摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)變化曲線斜率越小，驅(qū)動扭矩對其變化曲線斜率較齒寬影響大；面齒輪齒數(shù)和系統(tǒng)齒側(cè)間隙越大，系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時的摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)數(shù)值越小，隨著面齒輪齒數(shù)的增大，其摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)變化曲線斜率越小，而齒側(cè)間隙的增大對其變化曲線斜率基本沒有影響。

6 結(jié)論

以正交面齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，建立了考慮齒面摩擦激勵的系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，基于龍格庫塔法對該模型進(jìn)行數(shù)值仿真求解，分析了齒面時變摩擦系數(shù)對系統(tǒng)的振動特性的影響，并研究了面齒輪齒數(shù)和齒寬、圓柱齒輪驅(qū)動扭矩、系統(tǒng)齒側(cè)間隙等參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)的影響，得出了相應(yīng)規(guī)律：

1）齒面摩擦系數(shù)對面齒輪傳動系統(tǒng)的振動特性有重要影響，系統(tǒng)響應(yīng)隨齒面摩擦系數(shù)的增大依次呈現(xiàn)出單周期簡諧響應(yīng)、倍周期次諧響應(yīng)、混沌響應(yīng)；

2）面齒輪齒寬和圓柱齒輪驅(qū)動扭矩越大，系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時的摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)數(shù)值越大，且隨著齒寬和驅(qū)動扭矩的增大，其摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)變化曲線斜率越小，驅(qū)動扭矩對其變化曲線斜率較齒寬影響大；

3）面齒輪齒數(shù)和系統(tǒng)齒側(cè)間隙越大，系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生倍周期分岔時的摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)數(shù)值越小，其摩擦系數(shù)臨界點(diǎn)變化曲線斜率隨面齒輪齒數(shù)增大而減小，而齒側(cè)間隙對其變化曲線斜率基本沒有影響。

[1] LITIVIN F L，ZHANG Y，WANG J C，et al. Design and Geometry of Face-Gear Drive[J]. Journal of Mechanical Design，1992，114(4)：642-647.

[2] HANDSCHUH R，LEWICKI D，BOSSLER R.Experimental Tesing of Prototype Face-Gears for Helicopter Transmissions[R]. Solihull：NASA Technical Memorandum 105434，1992：1-10.

[3] LITVIN F L，CHEN N X，CHEN J S，et al. Computerized Deter-Mination of Curvature Relations and Contacr Ellipse for Conjugate Surfaces[J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering，1995，125(1/2/3/4)：151-170.

[4] 王其雷，何 瑛，何國旗，等. 基于ANSYS Workbench的面齒輪固有特性分析[J]. 湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，30(1)：1-5.WANG Qilei，HE Ying，HE Guoqi，et al. Analysis on Natural Vibration Characteristics of Face-Gear Drive Based on ANSYS Workbench[J]. Journal of Hunan University of Technology，2016，30(1)：1-5.

[5] 孫 能，何 瑛，何國旗，等. 面齒輪等溫點(diǎn)接觸彈流潤滑分析[J]. 湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，30(1)：6-10.SUN Neng，HE Ying，HE Guoqi，et al. Analysis of Contact Elastohydrodynamic Lubrication on Isothermal Point of Face-Gear[J]. Journal of Hunan University of Technology，2016，30(1)：6-10.

[6] 張 靖，陳兵奎，康傳章，等. 計(jì)及齒面摩擦的直齒輪動力學(xué)分析[J]. 振動與沖擊，2012，31(21)：126-132.ZHANG Jing，CHEN Bingkui，KANG Chuanzhang，et al. Dynamic Analysis on the Spur Gears Considering Friction Effect[J]. Journal of Vibration and Shock，2012，31(21)：126-132.

[7] 李文良，王黎欽，常 山，等. 齒面摩擦對齒輪系統(tǒng)諧波共振的影響[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2013，43(5)：1290-1294.LI Wenliang，WANG Liqin，CHANG Shan，et al.Impact of Tooth Surface Fraction on Harmonic Resonance of Gear System[J]. Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition)，2013，43(5)：1290-1294.

[8] 王 一，王奇斌，張義民. 基于齒面摩擦的斜齒輪傳動動力學(xué)特性分析[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2013(10)：22-25.WANG Yi，WANG Qibin，ZHANG Yimin. Helical Gear System Dynamic Character Analysis Based on Sliding Friction[J]. Machine Design & Manufacture，2013(10)：22-25.

[9] 馮治恒. 螺旋錐齒輪多體自由度非線性動力學(xué)研究[D]. 重慶：重慶大學(xué)，2010.FENG Zhiheng. Research on Multi-Body Multi-DOF Nonlinear Dynamic of Helical Bevel Gear[D].Chongqing：Chongqing University，2010.

[10] 靳廣虎，朱如鵬，朱自冰，等. 正交面齒輪傳動系統(tǒng)的耦合振動分析[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2009，28(1)：124-132.JIN Guanghu，ZHU Rupeng，ZHU Zibing，et al.Analysis of the Coupling Vibration of a Face Gear Transmission System[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2009，28(1)：124-132.

[11] 楊 振，王三民，范葉森，等. 面齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)激勵振動特性分析[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，34(1)：26-35.YANG Zhen，WANG Sanmin，F(xiàn)AN Yesen，et al.Vibration Characteristics of Face-Gear Transmission System with Parametric Excitation[J]. Journal of Chongqing University(Natural Science Edition)，2011，34(1)：26-35.

[12] 楊 振，王三民，范葉森，等. 正交面齒輪傳動系統(tǒng)非線性振動特性研究[J]. 振動與沖擊，2010，29(9)，218-221.YANG Zhen，WANG Sanmin，F(xiàn)AN Yesen，et al. Nonlinear Dynamics of Face-Gear Transmission System[J]. Journal of Vibration and Shock，2010，29(9)，218-221.

[13] 嚴(yán)宏志，胡 威，何國旗. 考慮表面粗糙度的面齒輪齒面接觸應(yīng)力分析[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2012，28(4)：58-65.YAN Hongzhi，HU Wei，HE Guoqi. Contact Stress Analysis of Face-Gear Drive with Considering the Surface Roughness[J]. Machine Design and Research，2012，28(4)：58-65.

[14] 李 龍. 正交面齒輪傳動的潤滑分析[D]. 南京：南京航空航天大學(xué)，2007.LI Long. The Analysis of Lubrication of Orthogonal Face-Gear Drive System[D]. Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2007.

Research on the In fl uence of Tooth Surface Friction on Nonlinear Vibration Characteristics of the Face-Gear Drive System

FENG Shiwei，HE Guoqi ，WANG Qilei，SUN Neng，DENG Shujie
（School of Mechanical Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Taking the orthogonal face gear drive system as the research object, a nonlinear dynamic model, in consideration of the tooth surface friction, has been established of the face gear drive system. A numerical simulation has been performed to solve the model by Runge Kutta method with variable step size adaptive 4～5 order based on the combination of bifurcation diagram, time history diagram, and poincare diagram to analyze the in fl uence of the vibration characteristics of gear tooth friction coef fi cient on the system, followed by a study on the in fl uence of different parameters with period doubling bifurcation on the critical point of friction coefficient. The results show that the response of the system increases positively with the increase of the friction coef fi cient of the tooth surface, successively making the system response in a state of a single period harmonic response, a period doubling subharmonic response and a chaotic response. The greater the gear tooth width and the driving torque of the cylindrical gear, the greater the critical coef fi cient of friction coef fi cient will be, with the system responding to the period doubling bifurcation. With the increase of tooth width and driving torque, the smaller the slope of the critical coef fi cient of the friction coef fi cient,the smaller the slope of the driving torque will be to the width of the tooth. The larger the number of face teeth and the greater backlash of the system, the smaller the critical point of the friction coef fi cient of the system will be when the period doubling bifurcation occurs. The slope of the friction coef fi cient critical point change curve decreases with the increase of the gear teeth number, with no in fl uence of the tooth side gap on the slope of its change curve.

face-gear drive；nonlinear dynamics；friction coef fi cient；vibration characteristic

TH132.41

A

1673-9833(2017)05-0065-07

10.3969/j.issn.1673-9833.2017.05.011

2017-05-22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51375159，51575533），湖南省自然科學(xué)基金（株洲聯(lián)合）資助項(xiàng)目（2015JJ5020）

馮仕偉（1993-），男，湖北石首人，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)閿?shù)字化制造理論與技術(shù)，E-mail：2278791919@qq.com

（責(zé)任編輯：申 劍）