突破一道雙層最值檢測題的四種視角六種策略

四川省資陽市外國語實驗學(xué)校 蔡勇全 (郵編：641300)

突破一道雙層最值檢測題的四種視角六種策略

四川省資陽市外國語實驗學(xué)校 蔡勇全 (郵編：641300)

1 試題概述

在一次高三數(shù)學(xué)階段性檢測中,筆者所在的高三備課組以上述題目作為其中的填空壓軸題.此題屬于雙層最值問題,其構(gòu)思精妙,設(shè)計新穎,符合雙層最值問題的一貫特征.從評卷結(jié)果來看,學(xué)生填出正確答案的比例尤其是思維正確率很低,為進一步了解學(xué)情,備課組及時做了相應(yīng)的問卷調(diào)查,深入分析后認為,造成這一狀況的根本原因是該題表述抽象,學(xué)生難以理解求“最值的最值”這樣一個循環(huán)往復(fù)的過程,而且解答所需要的知識面廣,方法靈活,技巧性強,具有一定的綜合性與難度.本文以該題為例,談一談解答此題的四種視角六種策略,供大家參考.

2 求解視角與策略

視角一 借助基本不等式

評述 解法1～3的區(qū)別可以從兩個方面來看,一是解法1利用了正數(shù)條件下的疊乘技巧,而解法2、3利用的是任意實數(shù)條件下的疊加技巧,尤其是解法2,還應(yīng)用了配湊技巧;二是解法1、2分別單獨運用了二元、三元基本不等式,而解法3則綜合運用了二元、三元基本不等式,從視角一求解對解題者在基本不等式的熟練運用程度方面要求較高.

視角二 化歸為“解不等式”的問題

評述 解法4以代數(shù)式x2＋y2為橋梁,以構(gòu)造x2＋y2所在的范圍為立足點,以不等式的傳遞性為手段,巧妙構(gòu)造關(guān)于z的不等式,對解題者邏輯思維能力要求較高.

視角三 利用“n個正數(shù)中的最大(小)值與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系”

評述 解法5主要應(yīng)用了“n個正數(shù)中的最大(小)值與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系”,即“n個正數(shù)的最小值不大于這n個正數(shù)的幾何平均數(shù),n個正數(shù)的最大值不小于這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)”,對解題者知識面的廣博性有一定要求.

視角四 利用分類與整合思想

評述 利用分類與整合思想解決此題,分類對象明確,解題路徑清晰,即以最里層的幾個研究對象輪流作為最里層的最值進行分析,找出相應(yīng)條件并在此條件下求出最外層的最值,對解題者思維的縝密性和運算化簡能力要求較高.

2017-09-15)