把“根”留住
——含參數(shù)的零點(diǎn)問題的消參策略

安徽省池州市第一中學(xué) 黃立明 (郵編：247000)

把“根”留住
——含參數(shù)的零點(diǎn)問題的消參策略

安徽省池州市第一中學(xué) 黃立明 (郵編：247000)

有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)或極值點(diǎn)的問題,在高考尤其全國(guó)卷中不僅是?？嫉膯栴},而且通常是高考的壓軸題,重在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)基本功和數(shù)學(xué)能力.設(shè)置的問題中除零點(diǎn)這個(gè)變量外,往往還有其它變量,解題時(shí)就是要善于消去一些變量,或者通過整體代換將多元變量化為單元變量.而在消去一些變量時(shí),需要考慮消去哪些變量更好,更有利于問題的巧妙解決.研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)極值點(diǎn)x0無(wú)法用參數(shù)a表示時(shí),我們用x0表示a,并通過a的范圍得到x0的范圍.大多數(shù)情況下保留零點(diǎn)x0這個(gè)變量,即把“根”x0留住,用“根”x0表示其它變量會(huì)更方便,更有利于問題的求解.下面通過實(shí)例,探究把“根”留住的消參策略,在解決這類問題時(shí)顯得更加行之有效.

1 求極值范圍問題的消參策略

含參數(shù)極值范圍問題是高考?？嫉膯栴},解決這類問題,通常是先根據(jù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求出參數(shù)的范圍,然后再選擇消參的策略,主要是看消去哪一個(gè)變量更容易,以及保留哪些變量更利于問題求解,從而選擇最為合理的消參策略.

例1 (2009年全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋aln(1＋x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,且x1＜x2.

(Ⅰ)求a的取值范圍,并討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)證明：f(x2)

2－2x2(1＋x2),于是f(x2)＝x22－2x2(1＋x2)ln(1＋x2).

設(shè)函數(shù)g(x)＝t2－2t(1＋t)ln(1＋t),則g′(t)＝－2(1＋2t)ln(1＋t).

評(píng)注 本題有兩個(gè)極值點(diǎn),由函數(shù)的定義域求得參數(shù)a的范圍,再由a的范圍求得“根”x2的范圍,這些條件比較隱含.本題用“根”x2表示參數(shù)a,再消去參數(shù)a,保留“根”x2,解法簡(jiǎn)單.

2 極值與極值點(diǎn)的比值問題中的消參策略

在涉及幾個(gè)極值點(diǎn)以及參數(shù)的時(shí)候,保留哪一個(gè)“根”最為合適,需要對(duì)問題的結(jié)構(gòu)特征做出準(zhǔn)確的判斷,選擇最佳的消參策略,使問題求解變得簡(jiǎn)單可行.

例2 已知函數(shù)f(x)＝x2＋aln(x＋1).

(Ⅰ)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(Ⅱ)若函數(shù)y＝f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,且x1＜x2,求證：0

解 (Ⅰ)a的取值范圍為[－4,＋∞).

因?yàn)閤1＋x2＝－1,2x22＋2x2＋a＝0,

列表如下：

x (－12,x0) x0 (x0,0)p′(x) － 0 ＋

評(píng)注 本題將“根”x1和參數(shù)a都轉(zhuǎn)化為“根”x2,并根據(jù)參數(shù)a的范圍求出“根”x2的范圍,這是最佳的消元策略,而這種消元策略不少學(xué)生可能不容易想到,他們可能認(rèn)為這種消參運(yùn)算量很大,很難算出結(jié)果,而恰恰這種方法是最簡(jiǎn)便的方法.解法2則利用重要不等式ln(1＋x)＜x,使問題求解簡(jiǎn)單不少,這個(gè)不等式經(jīng)常會(huì)用到.

3 最值問題中的消參策略

最值問題與極值問題類似,在涉及參數(shù)的最值問題中,首先要找出最值點(diǎn),通過最值點(diǎn)與參數(shù)的關(guān)系,既求出最值點(diǎn)的范圍,又消去參數(shù)保留最值點(diǎn),最后解決有關(guān)最值問題.

(I)討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)x＞－2時(shí),xex＋2＋x＋4＞0;

解 (1)易證,此處略.

由(Ⅰ)知,函數(shù)φ(x)區(qū)間 (－2,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增,

又φ(－2)＝－1＋a＜0,φ(0)＝a≥0,所以存在唯一正實(shí)數(shù)x0,－2＜x0＜0,使得

于是,當(dāng)x∈ (－2,x0)時(shí),φ(x)＜0,g′(x)＜0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(－2,x0)內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(x0,＋∞)時(shí),φ(x)＞0,g′(x)＞0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(x0,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以g(x)在(－2,＋∞)內(nèi)有最小值g(x0)

所以u(píng)(－2)＜u(x)≤u(0),

評(píng)注 本題求解需要層層深入,先求出最小值,用參數(shù)a及“根”x0兩個(gè)變量表示最小值(x0不是題目給的,而是虛設(shè)的一個(gè)變量.),根據(jù)零點(diǎn)存在定理求出“根”x0的范圍,消去參數(shù)a,保留“根”x0,使問題順利求解.

4 含多個(gè)參變量問題的消參策略

有些問題中含有多個(gè)參變量,消去哪些變量和保留哪些變量對(duì)解題繁簡(jiǎn)程度有很大影響,所以需要對(duì)式子的結(jié)構(gòu)特征做出準(zhǔn)確判斷,選擇最佳的消參策略,使問題求解朝著簡(jiǎn)單的方向努力.

A.－e3B.－e2C.－e D.－

因?yàn)閒(x)存在極小值,所以方程－x2＋bx＋a＝0有兩個(gè)不等正根,

易知f(x)在 (0,x1)遞減,在 (x1,x2)遞增,在(x2,＋∞)遞減.

則f(x)極小值恒大于0,等價(jià)于g(x)恒大于0,

解得a≥－e3,故amin＝－e3,選A.

評(píng)注 本題是2016年安徽省江南十校的一道考試題,學(xué)生普遍感到這道題比較難,這道題的綜合性比較強(qiáng).通過存在極小值這個(gè)條件,求出參數(shù)a、b的范圍,進(jìn)而求出極小值點(diǎn)x1的范圍.極小值點(diǎn)x1是虛設(shè)的,保留“根”x1,且將變量b換成變量a,這是問題求解的巧妙之處!

例5 (2009年全國(guó)卷I)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋3bx2＋3cx在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,且x1∈[－1,0],x2∈ [1,2].

(I)求b、c滿足的約束條件,并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi),畫出滿足這些條件的點(diǎn) (b,c)的區(qū)域;

2

解 (I)此處從略;

(II)證明：由題意有f′(x2)＝3x22＋6bx2＋3c＝0 ①

又f(x2)＝3x32＋3bx22＋3cx2②

又x2∈[1,2],且c∈[－2,0],所以

評(píng)注 (I)這一問主要考查了二次函數(shù)根的分布及線性規(guī)劃作可行域的能力.大部分考生有思路并能夠得分.

(II)這一問考生不易得分,有一定的區(qū)分度.主要原因是含字母較多,不易找到突破口.此題主要利用消元的手段,消去目標(biāo)f(x2)＝x32＋3bx22＋3cx2中的b,(如果消c會(huì)較繁瑣)再利用“根”x2的范圍,并借助(I)中的約束條件得c∈[－2,0]進(jìn)而求解,有較強(qiáng)的技巧性.

5 綜合性問題中的消參策略

綜合性問題中要考慮的條件較多,有些條件單從表面上看比較復(fù)雜,需要我們看清式子的結(jié)構(gòu)特征,挖掘隱含條件,將式子化簡(jiǎn)變形,找出它們之間的簡(jiǎn)潔關(guān)系,便于消去一些變量,使問題求解朝著簡(jiǎn)捷的方向進(jìn)行.

例6 (2015年四川卷)已知函數(shù)f(x)＝－2(x＋a)lnx＋x2－2ax－2a2＋a,其中a＞0,(I)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性

(Ⅱ)證明：存在a∈(0,1)使得f(x)≥0在區(qū)間(1,＋∞)內(nèi)恒成立,且f(x)＝0在區(qū)間(1,＋∞)內(nèi)有唯一解.

(2)證法1 由(1)得f′(x)＝g(x)在(1 ,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且

f′(1)＝－2－2a＋2－2a＝－4a＜0,f′(＋ ∞)＞0.由零點(diǎn)存在性定理得存在唯一x0∈ (1 ,＋∞)(虛設(shè)零點(diǎn)x0)使得

f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,(x0,＋∞)上單調(diào)遞增.

所以滿足f(x)＝0在區(qū)間 (1 ,＋∞)內(nèi)有唯一解只需滿足f(x)min＝f(x0)＝0即可.

f(x0)＝－2(x0＋a)lnx0＋x20－2ax0－2a2＋a＝0,將①帶入消去lnx0化簡(jiǎn)得：

2a2＋ (5x0－2x20)a－(x30－2x20)＝0(以a為主元,便于因式分解)

(2 a －x0)(a＋x20－2x0)＝0,

所以h(x)在 (1 ,2)上單調(diào)遞減.h(x)＜h(1)＝－2＜0不滿足.

當(dāng)a＝2x0－x20時(shí)(用“根”x0表示參數(shù)a,巧妙!),此時(shí)①變形為2x20－2lnx0－6＝0在(1 ,2)上有解.

不妨設(shè)h(x0)＝2x20－2lnx0－6,h′(x0)＝

所以h(x0)在 1,2( )上單調(diào)遞增.h(1)＝－4＜0,h2()＝2－2ln2＞0,所以2x20－2lnx0－6＝0在 1,2( )上有解.所以命題得證.

證法2 由證法1得

我們的目標(biāo)是證明這個(gè)二元方程組有實(shí)數(shù)解,且至少有一組解滿足限制條件x0＞1且0＜a＜1.采用消元的策略,由第一個(gè)方程與第二個(gè)方程作差,整理得(x0＋2a)(a＋lnx0－1)＝0,因此a＝1－lnx0(用“根”x0表示參數(shù)a,巧妙!),代入－x0lnx0＋x20－(a＋1)x0－a＝0可得x20－2x0－1＋lnx0＝0,容易判斷出x0∈(1,e),因此對(duì)應(yīng)的a∈(0,1),命題得證.

因此函數(shù)g(x)的最小值為－2lnx0－2x20＋4x0＋2＝0,從而可以估計(jì)出x0∈(1,e),因此對(duì)應(yīng)的a∈(0,1),命題得證.

評(píng)注 由于所得的初始條件比較復(fù)雜,需要對(duì)初始條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形,這有較強(qiáng)的技巧.證法1化簡(jiǎn)后得到的式子是：a＝,a＝2x0－x20,

證法2化簡(jiǎn)后得到的式子是：a＝1－lnx0,證法1和證法2不是簡(jiǎn)單粗暴的代入消元,而是注意到聯(lián)立方程組,通過代數(shù)變形大大簡(jiǎn)化a與x0的關(guān)系,實(shí)施精準(zhǔn)打擊.證法3轉(zhuǎn)化原來(lái)的復(fù)雜函數(shù),通過一次求導(dǎo)得到極值點(diǎn),并通過化簡(jiǎn)得到簡(jiǎn)潔的式子：a＝x20－2x0,然后利用與主思路一致的方式解決問題.三種證法的共性都是用“根”x0表示參數(shù)a,體現(xiàn)了在消參中把“根”留住的消參策略.

例7 已知a為常數(shù),f(x)＝x－a·ex有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2,求證：x1＋x2＞2.

121＜1,x2＞1,x1＝a·ex1,x2＝a·ex2,

x1－x2＝a(ex1－ex2),x1＋x2＝a(ex1＋(用“根”x1、x2表示參數(shù)a),

要證x1＋x2＞2,即證a(ex1＋ex2)＞2,

(消去參數(shù)a保留“根”更簡(jiǎn)便),

令x1－x2＝t,則t＜0,即證(將多元變量化成單元變量),

即證(t－2)et＋t＋2＜0.

令φ(t)＝(t－2)et＋t＋2(t＜0),則φ′(t)＝et＋(t－2)et＋1＝(t－1)et＋1,

φ″(t)＝et＋(t－1)et＝tet＜0(因t＜0),

則φ′(t)在 (－∞,0)遞減,φ′(t)＞φ′(0)＝0,得φ(t)在(－∞,0)遞增,即φ(t)＜φ(0)＝0,結(jié)合可知,φ(t)＜0,命題得證.

評(píng)注 (1)用“根”表示參數(shù)a簡(jiǎn)便易行;(2)多元變量化成單元變量使問題化繁為簡(jiǎn),化難為易;(3)本題還可以用極值點(diǎn)偏移的方法先證：x1＋x2＞－2lna(－lna為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)),因?yàn)?＜a＜,所以－2lna＞2,所以x＋x12＞2,命題得證.

轉(zhuǎn)化與化歸思想是數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)方法,可以說在數(shù)學(xué)解題中無(wú)處不在.轉(zhuǎn)化與化歸思想就是化繁為簡(jiǎn),化難為易,化生為熟,化未知為已知.我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中經(jīng)常發(fā)現(xiàn),一個(gè)小小的變形(如移項(xiàng)、分式化整式、加一項(xiàng)再減一項(xiàng)、式子兩邊同乘以2等),往往會(huì)帶來(lái)意想不到的效果,使問題求解變得十分簡(jiǎn)便,給人帶來(lái)美的享受和思維的啟迪.把“根”留住,就是較好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,將其它參數(shù)轉(zhuǎn)化到“根”上來(lái),這是解決與“根”有關(guān)問題的最佳策略,而且具有通性.在課堂教學(xué)中,教師要善于引導(dǎo)學(xué)生探求問題的內(nèi)在規(guī)律,發(fā)現(xiàn)解決問題的“巧思妙解”,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)創(chuàng)新精神,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2017-10-17)