線性代數(shù)課程結(jié)合幾何直觀的啟發(fā)式教學(xué)法探討

夏春光

摘要：線性代數(shù)課程的概念，定理和方法具有很強(qiáng)的邏輯性和抽象性。本文探討線性代數(shù)課程中結(jié)合幾何直觀的啟發(fā)式教學(xué)方法。利用對(duì)行列式、線性相關(guān)性、線性方程組、施密特正交化等重要概念，定理和方法的幾何直觀解釋，教師可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生自我思考，從而提升學(xué)生的抽象思維能力。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；啟發(fā)式教學(xué)；幾何直觀

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-1580（2017）09-0046-03

線性代數(shù)是高等院校的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，此課程的特點(diǎn)是其概念，定理和方法具有很強(qiáng)的邏輯性和抽象性。對(duì)于只接受過初等代數(shù)訓(xùn)練的學(xué)生來說，普遍感到要深入理解并掌握課程的概念、理論和方法比較吃力。相比較代數(shù)理論推導(dǎo)，直觀的幾何解釋更容易被學(xué)生所接受。事實(shí)上，空間解析幾何實(shí)際上研究的是三維線性代數(shù)，而一般的N維線性代數(shù)可看作是N維的解析幾何。從幾何的觀點(diǎn)來看待線性代數(shù)中的概念和理論會(huì)顯得更自然，幾何直觀解釋可以讓學(xué)生更容易理解線性代數(shù)中的抽象概念，比如：線性空間中的基本運(yùn)算實(shí)際上就是向量的線性運(yùn)算，線性相關(guān)的概念可以看作是向量共線、共面概念的推廣，二次型理論源自于二次曲線、二次曲面理論等。

啟發(fā)式教學(xué)是指教師在教學(xué)過程中根據(jù)教學(xué)任務(wù)和學(xué)習(xí)的客觀規(guī)律，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，采用多種方式，以啟發(fā)學(xué)生的思維為核心，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，促使他們生動(dòng)活潑地學(xué)習(xí)的一種教學(xué)指導(dǎo)思想。啟發(fā)式教學(xué)的關(guān)鍵在于設(shè)置問題情境。下面我們以線性代數(shù)中行列式、線性相關(guān)性、線性方程組、施密特正交化等幾個(gè)重要的概念，定理和方法為內(nèi)容，結(jié)合相應(yīng)的幾何直觀來探討如何進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)。

一、幾個(gè)概念、定理和方法的幾何直觀解釋

（一）行列式

行列式是線性代數(shù)中重要的基本概念，也是求解線性方程組的重要工具。一個(gè)重要的幾何事實(shí)是：二階行列式表示以它的兩個(gè)列向量為邊的平行四邊形的有向面積。在教學(xué)中設(shè)置關(guān)于面積求解的一些問題，學(xué)生容易理解，也會(huì)更加感興趣。例如在講解行列式性質(zhì)的時(shí)候，可以先讓學(xué)生思考如下的問題。

1.延長或縮短平行四邊形的一條邊，保持另一邊不變，其面積是否將擴(kuò)大或縮小相應(yīng)倍數(shù)？顯然，結(jié)論是肯定的。相應(yīng)的行列式性質(zhì)是：倍乘行列式的一行相當(dāng)于倍乘此行列式。

2.兩個(gè)平行四邊形同底等高，則它們的面積是否相等？顯然，結(jié)論是相等的。相應(yīng)的行列式性質(zhì)是：把行列式一行的倍數(shù)加到另一行，行列式的值保持不變。

3.將平行四邊形兩條邊的位置互換，則兩條邊的位置關(guān)系由逆時(shí)針（或順時(shí)針）變?yōu)榱隧槙r(shí)針（或逆時(shí)針），面積大小是否改變？顯然，結(jié)論是不改變。相應(yīng)的行列式性質(zhì)是：對(duì)掉行列式中兩行的位置，行列式變號(hào)，絕對(duì)值不變。

這樣很容易讓學(xué)生理解三種基本初等變換對(duì)應(yīng)的行列式性質(zhì)。在教學(xué)中可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考三階行列式的直觀幾何解釋：三階行列式表示以它的三個(gè)列向量為邊的平行六面體的有向體積。進(jìn)一步理解行列式的性質(zhì)。

（二）線性相關(guān)性

線性相關(guān)性是線性代數(shù)課程中最重要的內(nèi)容之一，也是學(xué)生最難以透徹理解的內(nèi)容之一。涉及的相關(guān)概念包括：線性相關(guān)，線性無關(guān)，線性表出，線性組合等。學(xué)生對(duì)這些概念往往會(huì)產(chǎn)生混淆，涉及到相關(guān)證明時(shí)經(jīng)常無從下手。在教學(xué)中設(shè)置向量的共線、共面問題，學(xué)生更容易理解。比如在講解線性相關(guān)時(shí)，可以先讓學(xué)生思考如下問題。

1.在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)向量共線，則它們的坐標(biāo)滿足什么條件？結(jié)論是：其中有一個(gè)向量的坐標(biāo)是另一個(gè)向量坐標(biāo)的倍數(shù)。在三維直角坐標(biāo)系中，三個(gè)向量共面，則它們的坐標(biāo)滿足什么條件？結(jié)論是：其中有一個(gè)向量的坐標(biāo)是其余兩個(gè)向量坐標(biāo)的線性組合。這兩個(gè)問題相應(yīng)的概念就是線性相關(guān)，問題的反面就是線性無關(guān)的概念。

2.在三維直角坐標(biāo)系中，取兩個(gè)不共線向量，由此兩個(gè)向量線性表出的向量（個(gè)數(shù)多于三個(gè)）滿足什么樣的幾何特點(diǎn)？結(jié)論是：他們都在這兩個(gè)向量所在的平面上。這解釋了向量組的一個(gè)基本性質(zhì)：假設(shè)前一個(gè)向量組由后一個(gè)向量組線性表出，且前一個(gè)向量組個(gè)數(shù)更多，則前一個(gè)向量組必線性相關(guān)。

這樣就容易讓學(xué)生理解線性相關(guān)、線性無關(guān)的基本概念，以及向量組表出的基本性質(zhì)，并且對(duì)這些概念之間的區(qū)別也更加容易理解。當(dāng)然，在實(shí)際教學(xué)中涉及到線性相關(guān)、線性無關(guān)的證明時(shí)，還需要通過一定量的練習(xí)教會(huì)學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上掌握基本的代數(shù)推導(dǎo)技巧。

（三）線性方程組

線性方程組是貫穿整個(gè)工科類線性代數(shù)課程的一條主線。其主要問題就是求解線性方程組，由于非齊次線方程組可以由相應(yīng)的齊次線性方程組的通解加上非齊次線線方程組的一個(gè)特解得到，所以問題就轉(zhuǎn)化為如何求解齊次線性方程組的通解。線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理，學(xué)生往往理解不夠透徹。初等的觀點(diǎn)是用高斯消元法直接求解，而高等的觀點(diǎn)是認(rèn)識(shí)到解集合是一個(gè)線性空間，求解的過程實(shí)際上是刻畫解空間的過程。在教學(xué)中設(shè)置向量的垂直問題，學(xué)生更容易理解。比如，可以讓學(xué)生思考如下問題。

1.在三維直角坐標(biāo)系中，與一個(gè)給定的非零向量垂直的所有向量有哪些？顯然，這些向量就是與給定向量垂直的經(jīng)過原點(diǎn)的平面，換句話說，就是以給定向量為法向量的過原點(diǎn)的平面空間。其相應(yīng)的代數(shù)事實(shí)是：平面空間中所有向量對(duì)應(yīng)的解就是以這個(gè)給定的非零向量為系數(shù)的三元齊次線性方程組（只含有一個(gè)方程）的所有解，這一方程組的基礎(chǔ)解系就是平面空間的一組基。

2.在三維直角坐標(biāo)系中，與兩個(gè)給定的不共線（即線性無關(guān)的）向量都垂直的所有向量有哪些？顯然，由于給定的兩個(gè)向量不共線，所以它們確定一個(gè)平面，所要找的向量就是與它們確定的這個(gè)平面垂直的且經(jīng)過原點(diǎn)的直線，換句話說，就是它們確定的這個(gè)平面的法向量空間。其相應(yīng)的代數(shù)事實(shí)是：法向量空間中所有向量對(duì)應(yīng)的解就是以這兩個(gè)給定的不共線的向量為系數(shù)的三元齊次線性方程組（含有兩個(gè)方程，對(duì)應(yīng)給定的兩個(gè)向量）的所有解，這一方程組的基礎(chǔ)解系就是法向量空間的一組基。endprint

3.在三維直角坐標(biāo)系中，與三個(gè)給定的不共面的（即線性無關(guān)的）向量都垂直的所有向量有哪些？顯然，由于給定的三個(gè)向量不共面，所以它們確定一個(gè)三維空間，而整個(gè)空間就是三維的，所以它們確定的就是整個(gè)三維空間。所要找的向量就是與整個(gè)空間都垂直的且經(jīng)過原點(diǎn)的向量，當(dāng)然只有零向量。其相應(yīng)的代數(shù)事實(shí)是：以這三個(gè)給定的不共面的向量為系數(shù)的三元齊次線性方程組（含有三個(gè)方程，對(duì)應(yīng)給定的三個(gè)向量）只有零解。

這樣就容易讓學(xué)生理解求解齊次線性方程組就是刻畫解空間。在同構(gòu)的意義下，給出線性空間的一組基就說明刻畫清楚了這個(gè)空間，而求出基礎(chǔ)解系就是找出了解空間的一組基。進(jìn)一步，齊次線性方程組中每個(gè)方程的系數(shù)對(duì)應(yīng)的向量與解空間的向量是正交的，因而這些向量生成的子空間與解空間是互補(bǔ)的。由此可知：齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩（等于上述向量生成的子空間的維數(shù)）加上基礎(chǔ)解系中線性無關(guān)的向量個(gè)數(shù)（等于解空間的維數(shù)）等于方程未知量的個(gè)數(shù)（整個(gè)空間的維數(shù)）。這就是齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理的幾何解釋。

（四）施密特正交化

施密特正交化是把一個(gè)線性無關(guān)的向量組變成一個(gè)單位正交向量組的重要方法。在對(duì)稱矩陣的對(duì)角化過程中，需要對(duì)所得到的特征向量進(jìn)行施密特正交化。其計(jì)算步驟中正交化過程的公式，很多學(xué)生不理解，導(dǎo)致記不住公式。在教學(xué)中設(shè)置向量的垂直問題，學(xué)生更容易理解。比如，可以讓學(xué)生思考如下一些問題。

1.平面上能否找到三個(gè)兩兩垂直的非零向量？空間中能否找到四個(gè)兩兩垂直的非零向量？顯然，這兩個(gè)問題答案都是否定的。相應(yīng)的代數(shù)事實(shí)是：N維歐式空間中兩兩正交的非零向量不超過N個(gè)。

2.在平面上，取兩個(gè)不共線的（起點(diǎn)相同的）向量，考慮其中一個(gè)向量在另一個(gè)向量（或延長線）上的垂直投射，這樣的垂直投射是線性變換嗎？答案是肯定的，而且這樣的投射稱為內(nèi)射影。

這樣就容易讓學(xué)生理解正交的性質(zhì)，以及施密特正交化過程，而單位化的過程很容易理解，即延長或縮短向量長度，使得長度變?yōu)?。從直觀幾何的角度來看三維線性空間的施密特正交化過程，可以粗略地描述為：將一個(gè)仿射坐標(biāo)系（坐標(biāo)軸未必兩兩垂直，各個(gè)坐標(biāo)單位長度未必為1）掰成標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系（坐標(biāo)軸兩兩垂直，各個(gè)坐標(biāo)單位長度為1）。

二、結(jié)束語

通過上述分析，我們可以看出在線性代數(shù)課程教學(xué)中設(shè)置一些容易理解的幾何問題，諸如本文述及的平行四邊形的面積求解問題（對(duì)應(yīng)行列式的性質(zhì)），直角坐標(biāo)系中向量的共線、共面問題（對(duì)應(yīng)線性相關(guān)，線性無關(guān)的概念），三維空間子空間的正交補(bǔ)空間問題（對(duì)應(yīng)線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理），三維空間的向量垂直問題等（對(duì)應(yīng)施密特正交化方法），有助于激發(fā)學(xué)生的積極性，啟發(fā)學(xué)生自我思考，從而深刻理解線性代數(shù)課程中的相關(guān)概念，定理和方法，提升學(xué)生的抽象思維能力。

此外，諸如線性方程組的解與空間平面的交的問題，最小二乘法與點(diǎn)到平面最短距離問題，線性子空間的直和與直線與平面位置關(guān)系問題，以及二次型的化簡與二次曲面標(biāo)準(zhǔn)化問題，在教學(xué)中都可以通過設(shè)置適當(dāng)?shù)膸缀沃庇^問題來提升學(xué)生對(duì)相關(guān)概念，定理或方法的深刻理解。這樣結(jié)合幾何直觀的啟發(fā)式教學(xué)有利于啟發(fā)學(xué)生的思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，促使學(xué)生能更好地掌握線性代數(shù)的相關(guān)概念，定理和方法，提高教學(xué)效果。

[責(zé)任編輯：韓璐]endprint