開放題：筑起“空間想象”的新時空

仲崇恒

數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教育的重要課程目標(biāo)，空間想象能力是傳統(tǒng)的三大數(shù)學(xué)能力之一。筆者在開放題評測研究中發(fā)現(xiàn)，開放題對學(xué)生空間想象能力有著較為直接而積極的影響，開放題教學(xué)是培養(yǎng)小學(xué)生空間想象能力的一條有效路徑。培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，材料有很多，如圖形的轉(zhuǎn)換、分解、組合、辨認(rèn)、概括、推理、計數(shù)、展開和折疊等。下面結(jié)合幾個教學(xué)實例，來說說開放題對小學(xué)生空間想象能力培養(yǎng)的影響。

一、開放題，為“空間想象”奠定基石

“平行和垂直”教學(xué)時，教師設(shè)計這樣一道同步練習(xí)：在下列圖形中，哪兩條線段是相互平行的？哪兩條線段是相互垂直的？

出示圖1，學(xué)生小組合作探究交流后，教師追問學(xué)生有什么發(fā)現(xiàn)？有的發(fā)現(xiàn)一條直線和一組平行線的其中一條直線垂直，也與另一條直線垂直；有的發(fā)現(xiàn)與同一條線段垂直的兩條線段是互相平行的。出示圖2時，學(xué)生逐一審視長方體的十二條棱間所構(gòu)成的平行或垂直?；仡檲D1中的發(fā)現(xiàn)，就有學(xué)生在圖2中找到反例，從而進(jìn)一步認(rèn)同了“同一平面”這個判斷前提。二維和三維之間的相互轉(zhuǎn)換，恰是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有益舉措。

一個好的開放題不是條件的多余或缺少的簡單取舍，也不是問題的一而再、再而三的無序提出。開放題設(shè)計首先是從教學(xué)內(nèi)容的核心知識出發(fā)，尋找思維訓(xùn)練的落腳點。上面習(xí)題富含空間想象元素，隱含多重維度，多種可能，相比傳統(tǒng)的封閉習(xí)題，開放題如同一塊堅實的基石，穩(wěn)定性和延伸性更好，可以承載全體學(xué)生各種空間思維的不同建構(gòu)。

二、開放題，為“空間想象”豎起腳手架

“長方體和正方體”單元復(fù)習(xí)時，教師課件呈現(xiàn)：

倉庫里有以下四種規(guī)格的長方形、正方形鐵皮。①長6分米，寬4分米；②長6分米，寬5分米；③長5分米，寬4分米；④邊長4分米。張師傅從中選了5張鐵皮，焊接成一個無蓋的長方體（或正方體）水箱。你能描述一下這個水箱嗎？

學(xué)生獨立思考和集體交流后，教師問：怎樣找出更多的，甚至所有的情況？有的學(xué)生認(rèn)為：四種不同規(guī)格鐵皮中有6分米、5分米、4分米三種數(shù)據(jù)，這也是焊成的水箱長寬高的長度。可以分別考慮長寬高中有三種數(shù)，或兩種數(shù)，或只有一種數(shù)。有的學(xué)生認(rèn)為：先定底面再選側(cè)面，側(cè)面的長方形鐵皮和底面相連的地方長度相同。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：第一種先定長寬高，第二種先定底面，兩種思路都是從簡到繁。接著繼續(xù)探究，師問：請選擇你能理解的一種思路，試一試能焊出幾種不同的水箱。第二次深入交流后，教師引導(dǎo)：回顧過程，我們的思考和表達(dá)怎樣改進(jìn)才能更清晰呢？

本題條件多，答案也多，屬于典型的條件和答案雙開放習(xí)題。學(xué)生的不同思路呈現(xiàn)了兩種不同的思維視角，共同點是都是從“體”出發(fā)，然后進(jìn)行材料匹配。學(xué)生為了讓頭腦中的“體”可視化，搭建了一個個結(jié)結(jié)實實的思維腳手架，學(xué)生經(jīng)歷多途徑、多層次的篩選、比對，通過獨立思考和自主探究，理解棱、面、體之間的密切聯(lián)系，進(jìn)一步涵養(yǎng)了空間想象能力。

三、開放題，為“空間想象”架起立交橋

“圓錐的體積”教學(xué)時，教師出示：以直角三角形（圖3）的一條邊為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個什么體？試一試畫出來，然后計算它的體積。

“掌握旋轉(zhuǎn)體”是中小學(xué)生空間想象能力水平的最高級。三角形有三條邊，旋轉(zhuǎn)后有三種情況，其中以斜邊AC為軸的旋轉(zhuǎn)體思維難度最大。學(xué)生通過想象，畫圖，討論，交流，解決了以AB、BC兩直角邊為軸旋轉(zhuǎn)后圓錐體積的情況。

教師：以AC為軸可以嗎？想象一下能得到一個怎樣的立體圖形？誰能用橡皮泥把它捏出來？

兩名學(xué)生捏泥，集體修正、展示后，全體學(xué)生畫旋轉(zhuǎn)示意圖，并找出半徑和高的數(shù)據(jù)。

教師：半徑BD和旋轉(zhuǎn)軸AC是什么關(guān)系？

學(xué)生講解：線段BD與AC垂直，半徑是2.4厘米。

教師：上下兩個圓錐的高又各是多少呢？

學(xué)生講解：不需要求出兩個高。兩個圓錐半徑相同，底面積相同，可以合二為一，整體考慮，組合體的體積就是

上面教學(xué)中，師生互動，生生聯(lián)通。整個開放題處理呈現(xiàn)一種立交橋結(jié)構(gòu)：首先是方法孵化的立體思維。教師在學(xué)生思維遇到阻礙時，停下來，從動手捏泥到畫示意圖，再到聯(lián)想推理，由淺入深，步步提升。其次是伙伴式的立體學(xué)習(xí)。學(xué)生們呼朋引伴，互相啟發(fā)，用團(tuán)隊思考提升思維品質(zhì)。

在空間想象能力的培養(yǎng)中，圖形與幾何是十分重要的領(lǐng)域，同時在數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率等領(lǐng)域也有用武之地。比如，乘法分配律，行程問題，平均數(shù)，折線統(tǒng)計圖等。我們認(rèn)為，教與學(xué)中首先有想象的空間，然后才有空間想象。不同的學(xué)生面對一道數(shù)學(xué)題，應(yīng)該有不同的思維打開方式。開放題教學(xué)不僅要在開放題的條件、問題、情境設(shè)計上下功夫，還要開放地教，開放地學(xué)。我們應(yīng)該圍繞這些方面進(jìn)一步展開多元思考，設(shè)計出更有張力的開放題，探索更有親和力的教學(xué)流程，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省昆山市玉峰實驗學(xué)校）