基于核心素養(yǎng)的高中圖形計(jì)算器數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)初探

鄭鴻翔， 王 平

(安吉縣高級(jí)中學(xué)， 浙江 湖州 313000)

基于核心素養(yǎng)的高中圖形計(jì)算器數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)初探

鄭鴻翔， 王 平

(安吉縣高級(jí)中學(xué)， 浙江 湖州 313000)

圍繞直觀想象、數(shù)學(xué)建模兩個(gè)核心素養(yǎng),結(jié)合具體案例,闡述了圖形計(jì)算器在課堂教學(xué)中的優(yōu)勢(shì):以圖形計(jì)算器為載體的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課為課堂教學(xué)創(chuàng)建了人機(jī)交互、豐富多彩又能即時(shí)反饋信息的學(xué)習(xí)環(huán)境,充分激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與創(chuàng)造性,實(shí)現(xiàn)了利用現(xiàn)代教育技術(shù)提高課堂教學(xué)質(zhì)量的目的.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課； 圖形計(jì)算器； 數(shù)學(xué)直觀； 數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳授學(xué)生知識(shí)與技能，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.荷蘭數(shù)學(xué)教育家Freudenthal提出數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程.他指出“通過(guò)再創(chuàng)造獲得的知識(shí)與能力要比以被動(dòng)方式獲得理解得更好也更容易保持”[1].所以，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該在教師主導(dǎo)下，以學(xué)生為主體學(xué)習(xí)體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，由淺入深、從表象到本質(zhì)，逐步推進(jìn)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程教學(xué).突出過(guò)程就要注重?cái)?shù)學(xué)思維方法的形成過(guò)程，將目光聚焦在解決問(wèn)題的方法的演變和優(yōu)化上.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是簡(jiǎn)單將結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生，而要遵循數(shù)學(xué)思維的發(fā)展脈絡(luò)，巧設(shè)問(wèn)題情境，借助實(shí)驗(yàn)手段從觀察、測(cè)量、計(jì)算到想象、發(fā)現(xiàn)、猜測(cè)，然后推理論證得到確定性的結(jié)論，在引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程中，不斷將所學(xué)知識(shí)內(nèi)化于心.因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課要以探究為主線循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)，這是實(shí)施過(guò)程教學(xué)的有效手段.

圖形計(jì)算器是基于教師的教和學(xué)生的學(xué)而專門設(shè)計(jì)的，為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的實(shí)施提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支撐，能夠促使學(xué)生在信息技術(shù)環(huán)境中開展高水平、深層次的數(shù)學(xué)思維活動(dòng).以圖形計(jì)算器為載體的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課打破了黑板的靜態(tài)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了形象展示、學(xué)生參與、教師引導(dǎo)三者的深度融合，使學(xué)生從“學(xué)”數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變到“做”數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生由形象思維向抽象思維的飛躍.本文圍繞數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，結(jié)合具體教學(xué)案例探究圖形計(jì)算器在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

1 運(yùn)用圖形計(jì)算器呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家Halmos說(shuō)“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”.直觀想象是發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，并分析、解決問(wèn)題的有效途徑.直觀想象具體表現(xiàn)為四個(gè)方面：① 利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題；② 利用圖形理解數(shù)學(xué)問(wèn)題；③ 利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；④ 構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型[2].圖形計(jì)算器能直觀、形象、動(dòng)態(tài)地展示知識(shí)的形成過(guò)程，恰到好處地體現(xiàn)了這些特點(diǎn).在教師指導(dǎo)下，學(xué)生手握這一“武器”探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)直觀想象，提高運(yùn)用圖形探究問(wèn)題的意識(shí)，牢固樹立數(shù)形結(jié)合的思想，不斷拓寬求知的深度和廣度.

培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)需要在大量具體的現(xiàn)實(shí)情境和抽象的純數(shù)學(xué)情境下反復(fù)實(shí)踐和訓(xùn)練[3].數(shù)學(xué)直觀想象是理性思維，存在于人腦之中，而圖形計(jì)算器能夠演示模擬的實(shí)物圖片、三維立體模型、平面幾何模型和變化過(guò)程模擬動(dòng)畫等，實(shí)現(xiàn)理性思維的形象化，能夠幫助學(xué)生去想象、發(fā)現(xiàn)、對(duì)比、猜測(cè)，進(jìn)而描述直觀想象圖或動(dòng)態(tài)過(guò)程，并最終轉(zhuǎn)化為學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．

案例1 利用圖形計(jì)算器求超越方程的近似解.

直觀想象最集中的體現(xiàn)是數(shù)形結(jié)合的思想.華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少自覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非”.利用圖形計(jì)算器的圖像功能和交點(diǎn)功能可求出兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，這為求超越方程的近似解提供了新方法，也為利用二分法求方程的近似解開辟了新途徑，從而巧妙地將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，使直觀想象得以呈現(xiàn).

例1 求方程y=2x+x=4的近似解(精確到0.01).

分析畫出兩個(gè)函數(shù)y=4-x和y=2x的圖像，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)便是所求方程的近似解.于是通過(guò)圖形計(jì)算器測(cè)量其交點(diǎn)坐標(biāo)，便可求得方程的近似解.

解(1) 在函數(shù)編輯器中輸入函數(shù)y=4-x和y=2x，并在同一坐標(biāo)系下畫出它們的圖像，如圖1.

(2)在圖像窗口下，利用求交點(diǎn)的功能可作出函數(shù)y=4-x和y=2x圖像的交點(diǎn)，并顯示交點(diǎn)坐標(biāo)為(1.387 5,2.612 5)，如圖2. 由此得近似解x=1.39.

例2 求f(x)=x+3lgx=0的近似解(精確到0.01).

二分法的理論基礎(chǔ)是：若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線，在區(qū)間兩端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)相反，即f(a)×f(b)<0,則在(a,b)內(nèi)，y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零解.

分析學(xué)生在學(xué)習(xí)二分法后，可借助算法編寫程序求出近似解.從圖形計(jì)算器繪制的函數(shù)f(x)=x+3lgx的圖像可以看出：當(dāng)x=1.375時(shí)，函數(shù)值為-0.031 32(見(jiàn)圖3)；當(dāng)x=1.4時(shí)，函數(shù)值為3.901 58×10-2(見(jiàn)圖4).于是結(jié)合二分法反復(fù)驗(yàn)證，即可得近似解.學(xué)生會(huì)立即發(fā)現(xiàn)在函數(shù)的零點(diǎn)附近，函數(shù)值的符號(hào)相反.這樣，從實(shí)際操作層面加深了對(duì)二分法求方程近似解的理解.

此外，這一題型在傳統(tǒng)教學(xué)中能讓學(xué)生判斷方程解的個(gè)數(shù).但對(duì)具體的解，教師基本上避而不談，無(wú)法讓學(xué)生有直觀感受.有時(shí)由于作圖誤差太大，學(xué)生對(duì)方程解的個(gè)數(shù)還會(huì)誤判.較明顯的例題是判斷x=sinx解的個(gè)數(shù)，盡管教師知道學(xué)生會(huì)判斷失誤，但也不能迅速、準(zhǔn)確、直觀地解釋原因.如果利用圖形計(jì)算器，那么這一問(wèn)題就迎刃而解，教師能根據(jù)圖5和圖6做出精準(zhǔn)的解釋.

2 運(yùn)用圖形計(jì)算器優(yōu)化數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的概念、原理和思維方法描述現(xiàn)實(shí)世界中具有數(shù)學(xué)規(guī)律性的事物[4]，兼顧理論學(xué)習(xí)和應(yīng)用實(shí)踐兩個(gè)維度，對(duì)人的全面發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步具有重要意義.因此，數(shù)學(xué)建模引起了全球廣泛的關(guān)注和重視，如：美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽已成為全世界最具影響力的學(xué)科競(jìng)賽；全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是國(guó)內(nèi)高校規(guī)模最大的學(xué)科競(jìng)賽，2016年開始的“登峰杯”全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽已成為培養(yǎng)中學(xué)生創(chuàng)新能力的有效載體.

數(shù)學(xué)建模讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的巨大威力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活、用于生活，使數(shù)學(xué)知識(shí)變得“鮮活”起來(lái)，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力.但在對(duì)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，學(xué)生往往會(huì)陷入繁瑣的計(jì)算和枯燥的公式中，失去了體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程的樂(lè)趣.借助圖形計(jì)算器，學(xué)生在建模時(shí)將時(shí)間和精力集中在數(shù)學(xué)建模過(guò)程的探究和分析，在抽象與形象之間來(lái)回穿梭，不斷優(yōu)化解決方案，使學(xué)生在動(dòng)手動(dòng)腦的過(guò)程中洞悉問(wèn)題的關(guān)鍵所在，形成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

案例2 利用圖形計(jì)算器體驗(yàn)?zāi)M試驗(yàn)估計(jì)概率.

在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)頻率與概率的理解易于混淆.如果手動(dòng)進(jìn)行隨機(jī)實(shí)驗(yàn)必然浪費(fèi)大量時(shí)間和精力.利用圖形計(jì)算器進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，模擬隨機(jī)事件的結(jié)果，不僅能使學(xué)生較為深刻地理解概率的定義、頻率和概率的區(qū)別，還能讓學(xué)生探究新問(wèn)題，并創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.

例3 在一個(gè)正方形中隨機(jī)撒一把芝麻，試求落在正方形內(nèi)切圓中的芝麻數(shù)和落在正方形內(nèi)的芝麻數(shù)之比，并由此估計(jì)圓周率之值(見(jiàn)圖7).

分析教師在給出幾何概型定義之前，首先回顧概率的模擬方法，再要求學(xué)生思考下列問(wèn)題：向一個(gè)由四個(gè)小正方形構(gòu)成的大正方形內(nèi)撒芝麻，求芝麻落在其中一個(gè)小正方形內(nèi)的概率.學(xué)生馬上就說(shuō)概率是1/4.但是注意到這一題的區(qū)域不是多邊形，那么這種規(guī)律是否仍然成立呢？教師鼓勵(lì)學(xué)生用圖形計(jì)算器進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，尋求解決問(wèn)題的辦法.在師生的共同探討中寫出了如下算法：

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其內(nèi)切圓O的半徑r為1. (1) 使用圖形計(jì)算器產(chǎn)生兩個(gè)0～1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)RANDOM(240)?X1;RANDOM(240)?Y1；(2) 以P(X1,Y1)表示平面直角坐標(biāo)系中的隨機(jī)點(diǎn)，易知該點(diǎn)一定落在正方形內(nèi)；(3) 判斷P點(diǎn)是否位于圓O內(nèi).統(tǒng)計(jì)落在圓O內(nèi)的點(diǎn)數(shù)為n，落在正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)數(shù)為m，計(jì)算

程序設(shè)計(jì)如下：

EXPORT 概率計(jì)算Pi()

BEGIN

RECT();

LOCAL X1,Y1,DIS;

LOCAL CTR1,CTR2,CTR0,REP;

LOCAL RES3;

INPUT(REP,"CALCULATE π","REPEAT TIMES");

RECT();

ARC_P(120,120,120,RGB(0,0,0));

RECT_P(240,0,320,240,RGB(0,0,0),RGB(255,255,127));

TEXTOUT_P("CALCULATE π",250,15,1);

TEXTOUT_P("IN CIRCLE",250,30,1);

TEXTOUT_P("OUT CIRCLE",250,60,1);

TEXTOUT_P("π=",250,90,1);

0?CTR1;

0?CTR2;

1?CTR0;

FOR CTR0 FROM 1 TO REP DO RANDOM(240)?X1;

RANDOM(240)?Y1;

PIXON_P(X1,Y1,RGB(0,0,255));

√((X1-120)^2+(Y1-120)^2)?DIS;

IF DIS>120 THEN CTR1+1?CTR1;

ELSE CTR2+1?CTR2;

END;

4*CTR2/(CTR1+CTR2)?RES3;

END;

TEXTOUT_P(CTR1,250,75,1);

TEXTOUT_P(CTR2,250,45,1);

TEXTOUT_P(RES3,250,105,1);

TEXTOUT_P("CLICK TO EXIT",250,135,1);

WAIT(); END;

于是，學(xué)生使用圖形計(jì)算器發(fā)現(xiàn)，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)地不斷增加，獲得的π的近似值精度會(huì)越來(lái)越高.

圖形計(jì)算器進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂，不僅解決了學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味、復(fù)雜繁瑣的問(wèn)題，而且圖形計(jì)算器的動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)將數(shù)學(xué)建模與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)有效地結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)建模對(duì)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的巨大作用，讓學(xué)生從聽(tīng)數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)演變到做數(shù)學(xué)，進(jìn)而上升到玩數(shù)學(xué)，化被動(dòng)為主動(dòng)，不斷激發(fā)學(xué)生的求知欲，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).

3 結(jié) 論

圖形計(jì)算器作為一種新型的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)工具，在學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、實(shí)踐能力、創(chuàng)新思維的培養(yǎng)中發(fā)揮了積極的作用[5].如何充分發(fā)揮圖形計(jì)算器在提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的作用，還需深入探究.在圖形計(jì)算器的使用中，特別需要注意兩點(diǎn)：① 圖形計(jì)算器是輔助教學(xué)的工具和手段，要適度、科學(xué)、合理地使用，不能完全否定傳統(tǒng)的教學(xué)方法和課堂教學(xué)，否則會(huì)本末倒置，帶來(lái)負(fù)面影響.如：在函數(shù)的教學(xué)中，如果全部使用圖形計(jì)算器代替手動(dòng)畫圖，必然會(huì)削弱學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的理解，無(wú)法在動(dòng)手實(shí)踐中深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；② 利用圖形計(jì)算器開展課堂研究性學(xué)習(xí)時(shí)，不能以結(jié)果為導(dǎo)向，要更注重知識(shí)的演繹推理過(guò)程，向?qū)W生灌輸解決問(wèn)題的思路與方法，將高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透到課堂教學(xué)中.

[1] 弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[2] 何小亞.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指標(biāo)之反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師范大學(xué)版),2016，13(7):2-6.

[3] 常磊，鮑建生.情境視角下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017,26(2)：24-28.

[4] 史寧中.漫談數(shù)學(xué)的基本思想[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2011(7)：9-11.

[5] 王崢嶸，沈恒，胡志杰.軟草平莎過(guò)雨新——初探惠普與中學(xué)聯(lián)辦的e-數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015(23):39-41.

AnExplorationoftheHighSchoolMathematicsExperimentalClasswiththeGraphingCalculatorBasedontheKeyCompetency

ZHENG Hongxiang, WANG Ping

(Anji High School, Huzhou 313300, China)

This paper focuses on the intuitive imagination and mathematical modeling in the key competencies of mathematics, and it takes advantage of specific cases to elucidate the advantages of graphing calculator in teaching. The mathematics experimental class with the graphing calculator sets up a rich and colorful learning environment which realizes human-computer interaction and immediate feedback. This teaching model motivates students' initiative and creativity sufficiently so that the goal of increasing teaching quality is achieved by using modern educational technology.

mathematics experimental class; graphing calculator; intuitive imagination; mathematical modeling

2017-08-10

鄭鴻翔，中級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué).E-mail:702282290@qq.com

G622

A

1009-1734(2017)10-0112-05

[責(zé)任編輯高俊娥]