裂項相消法在數(shù)列求和中的妙用

■河南省鄭州市第一中學(xué)1903班 孫靜楠

裂項相消法在數(shù)列求和中的妙用

■河南省鄭州市第一中學(xué)1903班 孫靜楠

眾所周知,若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和時常用錯位相減法。但錯位相減法運算復(fù)雜,結(jié)果不易算對或不易化為最簡形式,為此,我們借助例題介紹用裂項相消法求這類數(shù)列的前n項和。

分析：要想用裂項相消法求數(shù)列{an}的前n項和Sn,首先應(yīng)把an=(3n-1)×4n分解為另一數(shù)列相鄰兩項差的形式,即構(gòu)造新數(shù)列{bn},使an=bn+1-bn,從而利用Sn=a1+a2+a3+…+an=(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+…+(bn+1-bn)=bn+1-b1。

構(gòu)造數(shù)列{bn}可用待定系數(shù)法實現(xiàn)。

解：不設(shè)an=(3n-1)×4n=[λ(n+1)+μ]×4n+1-(λn+μ)×4n=(3λn+4λ+3μ)×4n。

同樣,利用裂項相消也可以解決等比數(shù)列求和問題。

解：設(shè)an=a1qn-1=kqn-kqn-1=k(q-1)qn-1。令k(q-1)=a1,得

所以等比數(shù)列{an}的前n項和:

推廣:若數(shù)列{an}的通項公式為關(guān)于n的多項式,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,cn=anbn的前n項和的求解也可用裂項相消法。

比較系數(shù)可得A=2,B+2A=0,C+B-A=0,從而A=2,B=-4,C=6。

令bn=[A(n-1)2+B(n-1)+C]·2n-1=[2(n-1)2-4(n-1)+6]·2n-1=[(n-1)2-2(n-1)+3]·2n。

所以Sn=a1+a2+a3+…+an=(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+…+(bn+1-bn)=bn+1-b1=(n2-2n+3)·2n+1-6。

從以上例題可以看出,借助待定系數(shù)法,把cn=anbn型數(shù)列(其中數(shù)列{an}的通項公式為關(guān)于n的多項式,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列)裂項相消求和,可使計算簡單,過程簡潔,結(jié)果規(guī)范,大大降低了計算失誤的可能。

(責(zé)任編輯 徐利杰)