慢思考，引領(lǐng)兒童走向數(shù)學(xué)意義的深刻理解

王志南

慢思考，引領(lǐng)兒童走向數(shù)學(xué)意義的深刻理解

王志南

慢思考是指教師在教學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生全面、細(xì)致、深入地思考，把問(wèn)題琢磨透徹，進(jìn)而使學(xué)生深刻理解和掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。教師可運(yùn)用慢思考的教學(xué)原則，通過(guò)數(shù)學(xué)意義慢生成、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)慢探究、數(shù)學(xué)模型慢建構(gòu)、數(shù)學(xué)訓(xùn)練慢琢磨，引領(lǐng)兒童走向數(shù)學(xué)意義的深刻理解。

慢思考；數(shù)學(xué)意義；教學(xué)策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了加速學(xué)生的思維過(guò)程，許多教師會(huì)教給學(xué)生一些“套路”，以提高學(xué)生的解題速度。但是，“套路”教學(xué)在其表面的“高效”之下隱藏著巨大的隱患：學(xué)生并未真正理解問(wèn)題情境的內(nèi)部表征和結(jié)構(gòu)。鑒于此，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐以及心理學(xué)家康納曼《快思慢想》的思想理論，嘗試闡明慢思考數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵和原則，探索慢思考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)策略，以期對(duì)打破數(shù)學(xué)教學(xué)的固定“套路”有所幫助。

一、慢思考的教學(xué)價(jià)值探析——從一道習(xí)題的解答談起

在一次六年級(jí)教學(xué)調(diào)研中，有這樣一道題：用彈簧秤稱(chēng)物體時(shí)，所稱(chēng)物體的質(zhì)量與彈簧長(zhǎng)度的變化如圖1所示。

1.稱(chēng)4千克物體時(shí)，彈簧長(zhǎng)度是（ ）厘米；當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為14厘米時(shí)，物體重（ ）千克。

2.所稱(chēng)物體的質(zhì)量與彈簧的長(zhǎng)度（ ）。 （填“正比例”“反比例”或“不成比例”）

圖1

許多學(xué)生在解答第二小題時(shí)毫不猶豫地選擇“成正比例”。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣群體性的錯(cuò)誤呢？因?yàn)樵谄綍r(shí)的訓(xùn)練中，師生均習(xí)慣于“看圖說(shuō)話(huà)”，由于正比例關(guān)系的圖像是一條直線(xiàn)，逆向推理得出：圖像是直線(xiàn)時(shí)的兩種量也一定成正比例。而如果我們進(jìn)行慢思考，則會(huì)發(fā)現(xiàn)彈簧的長(zhǎng)度與所稱(chēng)物體的質(zhì)量的比值在不斷變化，因而這兩種量是不成正比例的。

康納曼在他的著作《快思慢想》中，將心中的兩個(gè)系統(tǒng)叫作系統(tǒng)一和系統(tǒng)二。系統(tǒng)一是自動(dòng)化的運(yùn)作，非?？臁⒉毁M(fèi)力氣，即使要費(fèi)力，也很少，它不受自主控制（即“快思”）。系統(tǒng)二則動(dòng)用到注意力去做費(fèi)力的心智活動(dòng)，包括復(fù)雜的計(jì)算（即“慢想”）。鄭毓信教授認(rèn)為：如果接受關(guān)于“快思”與“慢想”的二分，那么，數(shù)學(xué)思維顯然就屬于“長(zhǎng)時(shí)間的思考”（康納曼稱(chēng)為“系統(tǒng)二”）的范疇。教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行慢想時(shí)，應(yīng)當(dāng)更加重視數(shù)學(xué)思想方法的普遍意義，賦予“慢想”新的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“為什么可以這樣做”“可以怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)思考”“所獲得的數(shù)學(xué)規(guī)律、法則是否具有普遍性”等。

二、慢思考的教學(xué)內(nèi)涵及其教學(xué)原則

（一）慢思考的教學(xué)內(nèi)涵

所謂慢思考，是指教師在教學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)時(shí)，如核心概念的形成、規(guī)律的探究、模型的構(gòu)建、方法的內(nèi)化等，引導(dǎo)學(xué)生全面、細(xì)致、深入、長(zhǎng)時(shí)間地思考，把問(wèn)題琢磨透徹，進(jìn)而深刻理解和掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

（二）慢思考的教學(xué)原則

1.著眼發(fā)展，把握核心問(wèn)題原則。慢思考的目的是讓每一個(gè)學(xué)生都能真正地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，致力于每一個(gè)學(xué)生的思維發(fā)展，因此，慢思考的前提是教師要把握好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心問(wèn)題，聚焦于那些需要引導(dǎo)和指導(dǎo)思考的問(wèn)題，而這些問(wèn)題往往是學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)意義過(guò)程中的疑難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)。

2.自主探究，構(gòu)建數(shù)學(xué)意義原則。美國(guó)心理學(xué)家羅杰斯說(shuō)：“真正能夠影響一個(gè)人行為的知識(shí)，只能是他自己親身經(jīng)歷并加以同化的知識(shí)，凡是可以教給別人的結(jié)果性知識(shí)相對(duì)來(lái)說(shuō)都用處不大?！睆倪@個(gè)意義上講，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師必須基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)他們進(jìn)行自主探究，更要凸顯學(xué)生的獨(dú)立思考和數(shù)學(xué)意義的自我構(gòu)建。

3.由表及里，走向深刻理解原則。教師要溝通知識(shí)間的聯(lián)系，著力在數(shù)學(xué)概念和方法間建立聯(lián)系，保持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)有的深度和寬度，最終走向深刻理解。

4.凸顯過(guò)程，聚焦關(guān)鍵環(huán)節(jié)原則。教師組織學(xué)生進(jìn)行慢思考，必須慢在學(xué)生學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)上，展示這一過(guò)程，恰恰是將學(xué)生在思維過(guò)程中感到糾結(jié)、困惑、不明內(nèi)在原因的內(nèi)容進(jìn)行暴露，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)充分的思考和討論，獲得更為清晰、深刻的認(rèn)識(shí)，明白其內(nèi)在的數(shù)學(xué)邏輯。

三、慢思考，引領(lǐng)兒童走向數(shù)學(xué)意義深刻理解的教學(xué)策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，慢思考意味著對(duì)數(shù)學(xué)意義和內(nèi)涵的細(xì)細(xì)咀嚼、慢慢品味，只有放緩思維的節(jié)奏，學(xué)生才能領(lǐng)略到“快跑”中所不能領(lǐng)略的美妙風(fēng)景。那么，教師應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行慢思考呢？

（一）數(shù)學(xué)意義慢生成，在情境內(nèi)化中深刻理解數(shù)學(xué)核心概念

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)核心概念、定義的意義理解在后續(xù)的學(xué)習(xí)中起著關(guān)鍵性的持續(xù)性影響和作用，推動(dòng)或阻礙著他們后續(xù)的學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)意義生成的過(guò)程中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)富有意義的情境，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)意義的發(fā)生和內(nèi)化過(guò)程。例如：特級(jí)教師俞正強(qiáng)在執(zhí)教“用字母表示數(shù)”時(shí)，設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題情境：

1.在一個(gè)信封里放一支、兩支粉筆，分別可以用什么數(shù)字表示？再放一些粉筆，用什么表示？

2.在另一個(gè)信封里放一些粉筆，用什么表示？這里的字母Y和第一個(gè)信封中的粉筆數(shù)X相比較，可能是誰(shuí)大？這兩個(gè)字母有什么關(guān)系？

3.借助現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境，生成問(wèn)題：我們這兒共有多少個(gè)人？可以用哪個(gè)字母表示？（a）有多少個(gè)學(xué)生？（36）我們這兒有多少個(gè)大人？ （x）請(qǐng)問(wèn) a和 x，誰(shuí)大？你覺(jué)得大人還可以怎樣表示？

研究表明，數(shù)學(xué)概念的理解和構(gòu)建不是機(jī)械地重復(fù)和記憶相關(guān)對(duì)象的形式定義 （即概念描述），而需要從“理解學(xué)習(xí)”的角度去分析，應(yīng)被看成一個(gè)“意義賦予”的過(guò)程。上述案例中，俞老師通過(guò)具體的問(wèn)題情境，分三個(gè)層次引導(dǎo)學(xué)生理解“用字母表示數(shù)”的意義：一是已知的用數(shù)字，未知的用字母來(lái)表示；二是在同一事件中，不同的對(duì)象，用不同的字母來(lái)表示；三是可以用字母式來(lái)表示未知的數(shù)量，字母式可以反映量和量之間的關(guān)系。這三個(gè)問(wèn)題的推進(jìn)和學(xué)生的意義生成過(guò)程，看上去是非常緩慢的，但真實(shí)反映了學(xué)生初步學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)時(shí)復(fù)雜的心路歷程，促成了學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”意義的深刻理解和領(lǐng)悟。

（二）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)慢探究，在前思后想中深刻理解數(shù)學(xué)探究活動(dòng)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察度量、操作實(shí)驗(yàn)、進(jìn)行不完全歸納等方法來(lái)探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、公式。從慢思考的視角來(lái)看，教師還要引導(dǎo)學(xué)生前思后想：為什么要探究？怎么想到用這個(gè)方法進(jìn)行探究的？探究后有怎樣的新思考？例如：教學(xué)蘇教版五下《圓的面積》一課時(shí)，可以設(shè)計(jì)以下教學(xué)環(huán)節(jié)：

1.估一估：依據(jù)圓的面積與半徑平方的關(guān)系，得出圓的面積大于2r2，小于4r2。

2.數(shù)一數(shù)：用數(shù)方格的方法，進(jìn)一步探索圓的面積與半徑平方的關(guān)系，得出近似值3.1倍。

3.再次逼近，依次分成4份、8份、16份……轉(zhuǎn)化成近似長(zhǎng)方形。組織學(xué)生討論，發(fā)現(xiàn)圓的面積計(jì)算公式。

4.引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的面積的探究過(guò)程，談?wù)勛约旱氖斋@和新思考？

可以說(shuō)，兒童思維的沖動(dòng)源自心靈的好奇，只有學(xué)生對(duì)圓的面積和半徑平方之間的關(guān)系產(chǎn)生好奇，學(xué)生的探究才是富有生命力的。從估測(cè)到數(shù)方格探究，再到逐步轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方形，探究的進(jìn)程看似很慢，但意在讓學(xué)生在慢思考中感悟到“動(dòng)手操作不應(yīng)是盲目的開(kāi)始”，需要在操作前就進(jìn)行相應(yīng)的猜想估測(cè)和理性思考。同樣，數(shù)學(xué)探究的“后想”也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的重要一環(huán)，要讓學(xué)生對(duì)自己的探究過(guò)程進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，深刻而全面地理解探究活動(dòng)。

（三）數(shù)學(xué)模型慢建構(gòu)，在抽象提煉中深刻理解數(shù)學(xué)內(nèi)在結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)模型的“慢”建構(gòu)，是指教師要把數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過(guò)程中最為關(guān)鍵而又容易被忽略的關(guān)鍵點(diǎn)呈現(xiàn)出來(lái)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深入本質(zhì)的數(shù)學(xué)思考。例如：教學(xué)蘇教版五下《轉(zhuǎn)化策略》第二課時(shí)，可以開(kāi)展以下教學(xué)：

1.提問(wèn)：計(jì)算這道題可以怎樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化？

2.組織交流，學(xué)生介紹算法。

4.尋求方法。通過(guò)回憶，結(jié)合畫(huà)圖展開(kāi)思考，從簡(jiǎn)單的依次想起，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化方法。

案例中，教師并沒(méi)有直接告知學(xué)生“還可以結(jié)合圖形進(jìn)行思考”，而是故意讓學(xué)生遭遇困惑，體驗(yàn)通分計(jì)算的繁難，形成認(rèn)知沖突，誘發(fā)探究其中數(shù)學(xué)規(guī)律的心理需求。而后，引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的地方開(kāi)始思考，逐步進(jìn)行數(shù)形之間的模型構(gòu)建，由圖形中的關(guān)系推及數(shù)據(jù)中的關(guān)系，尋獲進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的方法。事實(shí)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的慢構(gòu)建，教師在教學(xué)中要善于拍 “慢動(dòng)作”，引導(dǎo)學(xué)生回到問(wèn)題的原點(diǎn)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從表層到深層，聯(lián)系已有數(shù)學(xué)認(rèn)知對(duì)新知進(jìn)行充分的思考和數(shù)學(xué)意義的自我構(gòu)建。

（四）數(shù)學(xué)訓(xùn)練慢琢磨，在方法辨析中理解掌握數(shù)學(xué)思想方法。

從長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不能局限于解決一些具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是要結(jié)合具體問(wèn)題的解決過(guò)程滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。例如：教學(xué)蘇教版六下《平面圖形的面積總復(fù)習(xí)》時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到“求正方形內(nèi)最大的圓的面積”“求圓內(nèi)最大的正方形的面積”等題型，教師可以溝通不同問(wèn)題情境間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

1.問(wèn)題情境一：以圓的半徑為邊長(zhǎng)畫(huà)一個(gè)小正方形，小正方形的面積是6平方厘米，求圓的面積。

2.問(wèn)題情境二：在一個(gè)正方形內(nèi)畫(huà)最大的圓，圓和正方形的面積有怎樣的關(guān)系？

3.問(wèn)題情境三：一張邊長(zhǎng)為1米的方桌，要給它配制一個(gè)圓桌面，請(qǐng)求出圓桌面的面積。圓的面積和圓內(nèi)最大正方形面積之間有怎樣的關(guān)系？

4.溝通比較，抽象概括：同一個(gè)圓，在圓外畫(huà)最小的正方形，在圓內(nèi)畫(huà)最大的正方形，三者之間的面積有怎樣的關(guān)系？

案例中，教師從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)具有張力、能夠推進(jìn)學(xué)生進(jìn)行思維“爬坡”的問(wèn)題情境，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)識(shí)由“表層結(jié)構(gòu)”走向“深層結(jié)構(gòu)”。學(xué)生的思維圍繞“有怎樣的規(guī)律”“為什么有這樣的規(guī)律”而展開(kāi)，學(xué)生緊扣r2展開(kāi)思維過(guò)程，運(yùn)用假設(shè)、推理等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，深刻理解和掌握不同問(wèn)題情境間的內(nèi)在關(guān)系，并在數(shù)學(xué)方法的比較中進(jìn)一步理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法。

總之，慢思考的教學(xué)價(jià)值就在于引導(dǎo)學(xué)生走向?qū)λ鶎W(xué)內(nèi)容的深刻理解和數(shù)學(xué)認(rèn)知的深度建構(gòu)，使學(xué)生對(duì)核心概念、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)思想方法的掌握更為深刻和牢固，從而創(chuàng)建豐富的、經(jīng)過(guò)整合的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而形成高度結(jié)構(gòu)化的知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。

［1］康納曼.快思慢想［M］.洪蘭，譯.臺(tái)北：天下文化出版股份有限公司，2012.

［2］鄭毓信.“數(shù)學(xué)與思維”之深思［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（1）：1-5.

［3］鄭毓信.新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

G623.5

A

1005-6009（2017）81-0032-03

王志南，江蘇省南通市通州區(qū)西亭小學(xué)（江蘇南通，226301）辦公室主任，一級(jí)教師，南通市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

注：本文獲2016年江蘇省“教海探航”征文競(jìng)賽二等獎(jiǎng)，有刪改。