一道高考題的解法與變式

山東 尹承利

一道高考題的解法與變式

山東 尹承利

高考試題大都具有典型性，既對(duì)知識(shí)與方法進(jìn)行考查，又對(duì)思維縝密性進(jìn)行考查，在我們教與學(xué)的過程中，重視對(duì)高考題潛在的知識(shí)、方法和應(yīng)用價(jià)值進(jìn)行挖掘，對(duì)于提高分析問題、解決問題的能力是頗為有益的.本文就2017年高考全國(guó)數(shù)學(xué)卷Ⅰ理科第10題(拋物線問題)的解法和變式進(jìn)行探究，從而達(dá)到做一題會(huì)一類題、舉一反三、觸類旁通的效果.

一、試題呈現(xiàn)

例題(2017·全國(guó)卷Ⅰ理·10)已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，|AB|+|DE|的最小值為

( )

A.16 B.14 C.12 D.10

二、解法分析

分析1.該題考查直線與拋物線(圓錐曲線)的位置關(guān)系，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.在涉及直線與拋物線(圓錐曲線)的交點(diǎn)問題時(shí)，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)，(x2,y2)，同時(shí)把直線方程與拋物線(圓錐曲線)方程聯(lián)立，消元后，可得x1+x2，x1x2，再把相關(guān)弦長(zhǎng)用x1，x2表示出來，并代入剛才的x1+x2，x1x2，這種方法即解析幾何中的“設(shè)而不求”法，可減少計(jì)算量，簡(jiǎn)化解題過程.

解法1.由題意易知直線l1，l2的斜率都存在且不為0.

設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1)(不妨設(shè)kgt;0)，

其判別式Δ=[-(2k2+4)]2-4k2·(-k2)=16(1+k2)gt;0.

所以由拋物線的定義得

設(shè)D(x3,y3)，E(x4,y4)，則x3+x4=2+4k2，

所以|DE|=x3+x4+p=2+4k2+2=4k2+4.

所以|AB|+|DE|取得最小值16.故選A.

點(diǎn)評(píng)：本解法取直線的斜率k為參數(shù)，設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用“設(shè)而不求”、拋物線定義和均值不等式求解.“設(shè)而不求”是數(shù)學(xué)解題中的一種頗為有用的手段，往往能避免盲目推演而造成的無益的循環(huán)運(yùn)算，從而達(dá)到準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷的解題效果.

分析2.由于數(shù)學(xué)中的定義是建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的基石，因而拋物線(圓錐曲線)的定義不僅是重要的知識(shí)點(diǎn)，也是解答許多數(shù)學(xué)問題的工具.在解答許多問題時(shí)，若能靈活、巧妙地應(yīng)用拋物線(圓錐曲線)的定義，不僅能深化對(duì)拋物線(圓錐曲線)這一數(shù)學(xué)概念的深刻理解，而且還能提高學(xué)生應(yīng)用定義去分析和解決問題的能力，開拓學(xué)生的思維視野.對(duì)于過拋物線(圓錐曲線)焦點(diǎn)的直線與拋物線的位置關(guān)系(即焦點(diǎn)弦問題)問題常利用拋物線的定義求解，回歸定義可使問題的解決變得簡(jiǎn)單、方便.

解法2.如圖，

設(shè)AB傾斜角為θ．作AK1垂直準(zhǔn)線，AK2垂直x軸.

所以|AF|·cosθ+p=|AF|.

所以|AB|+|DE|的最小值為16.故選A.

點(diǎn)評(píng)：本解法取直線的傾斜角θ為參數(shù)，運(yùn)用拋物線的定義、幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為角θ的正弦函數(shù)求解.

上述兩種方法是常規(guī)方法，需要同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)和熟練掌握.

通過該題，我們可以得到一般性的結(jié)論：已知F為拋物線C：y2=2px(pgt;0)的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為8p.(證明仿照高考題的兩種解法即可)

三、試題變式

( )

分析：由例題的解法2可知

變式2.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，|AB|·|DE|的最小值為

( )

A.64 B.32 C.16 D.10

由該變式，我們可以得到一般性的結(jié)論：已知F為拋物線C：y2=2px(pgt;0)的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|·|DE|的最小值為16p2.(證明仿照變式2的解法即可.)

變式3.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，四邊形ADBE面積的最小值為

( )

A.64 B.32 C.16 D.10

（1）對(duì)移動(dòng)設(shè)備依賴加深。雖然利用碎片時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí)，但非教育類的各種類型的微信公眾平臺(tái)也層出不窮，學(xué)生在使用本微信公眾平臺(tái)時(shí)，有些自制能力差的可能被別的內(nèi)容吸引，造成時(shí)間的浪費(fèi)。解決這個(gè)問題的方法是一方面保證學(xué)習(xí)資源的質(zhì)量，另一方面推送些時(shí)間管理、自律養(yǎng)成的網(wǎng)文。

由該變式，我們可以得到一般性的結(jié)論：已知F為拋物線C：y2=2px(pgt;0)的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則四邊形ADBE面積的最小值為8p2.(證明仿照變式3的解法即可.)

變式4.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，線段DE的中點(diǎn)為N.

(Ⅰ)求△FMN面積的最小值；

(Ⅱ)求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程.

(Ⅱ)設(shè)線段MN的中點(diǎn)P(x,y)，

消去k后得y2=x-3.

故線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程為y2=x-3.

由該變式，我們可以得到一般性的結(jié)論：已知F為拋物線C：y2=2px(pgt;0)的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，線段DE的中點(diǎn)為N，則△FMN面積的最小值為p2.(證明仿照變式4(Ⅰ)的解法即可.)

山東省泰安英雄山中學(xué))