基于案例的信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)課程教學(xué)探討
——以卷積積分為例

王中鵬

(浙江科技學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院,杭州 310023)

基于案例的信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)課程教學(xué)探討
——以卷積積分為例

王中鵬

(浙江科技學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院,杭州 310023)

基于目前信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)課程教學(xué)的現(xiàn)狀,提出了基于案例教學(xué)的信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)課程教學(xué)改革方案,即將該課程的難點經(jīng)過整理提煉后設(shè)計成實驗項目。以卷積積分為例,從應(yīng)用背景、理論講解到基于MATLAB課堂演示實驗等進行全方位教學(xué)設(shè)計。實踐證明,基于應(yīng)用型案例教學(xué)的改革實踐既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也培養(yǎng)了學(xué)生的實踐創(chuàng)新能力。

信號與系統(tǒng);MATLAB;教學(xué)改革;案例教學(xué)

信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)一直是通信工程專業(yè)的核心課程。前面聯(lián)系著電路、模擬電路與數(shù)字電路,后面聯(lián)系著通信原理和數(shù)字信號處理。因此,信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)處于專業(yè)建設(shè)的核心課程地位。同時,信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)是有些高?？佳械恼n程,學(xué)習(xí)的好壞將影響后面考研的成績。因此,為提高這門課程的課堂教學(xué)效果,國內(nèi)許多高校提出了各種教學(xué)改革方案[1-2]。為了配合理論講解,將MATLAB軟件引入課堂是該課程教學(xué)改革的發(fā)展趨勢[3-7]。在教學(xué)中,為了提高學(xué)生的實踐能力,還應(yīng)該適當講授信號理論的應(yīng)用場景或背景來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[7-10]。為此,基于案例教學(xué)方法被廣泛應(yīng)用,作為常規(guī)理論教學(xué)的輔助手段[11]。

浙江科技學(xué)院通信工程專業(yè)信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)這門課程主要講授的內(nèi)容有:連續(xù)信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)、信號的時域分析,以及傅里葉級數(shù)、傅立葉變換、采樣定理和模擬濾波器設(shè)計等。這門課程涉及的概念較抽象且數(shù)學(xué)推導(dǎo)相對較多,如果沒有一些應(yīng)用背景和案例會影響教學(xué)效果。然而,對某個知識點從應(yīng)用背景引入、理論推導(dǎo)、應(yīng)用場景實例到通信系統(tǒng)應(yīng)用實例的全方位課堂教學(xué)設(shè)計并不多見。筆者長期從事信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)、數(shù)字信號處理、通信原理課程的主講工作,在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，課程上如果講解一些應(yīng)用背景和案例會收到事半功倍的效果。本研究以卷積積分為案例進行了全方位課堂教學(xué)改革實踐,以應(yīng)用背景、理論推導(dǎo)、MATALB課堂實驗、通信接收機原理來設(shè)計課堂教學(xué),在實際教學(xué)中收了較好的效果。

1 基于案例的課程教學(xué)改革

通信工程專業(yè)在大二上學(xué)期開設(shè)信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)課程,學(xué)生在這個時候非常想知道專業(yè)發(fā)展前景。如果能夠通過課程的專業(yè)應(yīng)用背景講解,讓學(xué)生知道為什么學(xué)習(xí)這門課程,并且講清前后課程直接的聯(lián)系,學(xué)生就會有目的地去學(xué)習(xí)?；诖怂枷?筆者將課程中的重點基于通信工程專業(yè)背景設(shè)計成項目案例,利用MATLAB軟件在課堂上進行演示實驗,通過具體案例講清信號與系統(tǒng)在通信技術(shù)中的應(yīng)用。MATLAB軟件簡單易學(xué),非常適合在課堂上進行案例教學(xué)。

信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)的難點和重點之一是卷積積分,卷積積分是時域分析的主要內(nèi)容,對它的深刻理解關(guān)系到學(xué)生對后面頻域分析和通信原理課程的接收機性能的理解。在講卷積積分內(nèi)容時學(xué)生經(jīng)常會問,卷積積分在實際工作中有什么具體應(yīng)用,如果單純講解卷積積分的計算,就會變成數(shù)學(xué)問題,學(xué)生會感到很枯燥,并不知道如何去應(yīng)用它,從而影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。在課堂上如果用幾句話說卷積積分如何重要,對學(xué)生沒有說服力,但如果有一個具體例子,則可以起到拋磚引玉的作用。筆者經(jīng)過嘗試將與卷積積分有關(guān)的知識點進行課堂教學(xué)設(shè)計,包括應(yīng)用背景、理論推導(dǎo)、例題講解和課堂MATALB仿真案例設(shè)計組織教學(xué),以課上演示實驗的方法來配合理論內(nèi)容的講授,這樣就使他們既掌握了卷積積分原理又知道如何應(yīng)用卷積積分。通過長期的教學(xué)實踐,筆者將信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)中的卷積積分講授和MATALB實驗設(shè)計結(jié)合起來,從理論到課堂實驗的全方位教學(xué)設(shè)計,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和目的性,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高了學(xué)生的實踐應(yīng)用能力。

2 卷積積分應(yīng)用案例

2.1 卷積積分應(yīng)用背景

信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)課程在大二上學(xué)期開設(shè),學(xué)生非?？释私鈱I(yè)的發(fā)展前景和課程的關(guān)系。因此,在教學(xué)中能夠結(jié)合專業(yè)發(fā)展及卷積積分在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用來講授會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗,講解卷積積分在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用后再講解卷積積分,就可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和目的性。圖1是通信系統(tǒng)模型。

圖1 通信系統(tǒng)模型Fig.1 Model of a communication system

以通信系統(tǒng)接收機為例，假設(shè)x(t)是接收機收到的信號，h(t)是接收機的單位脈沖響應(yīng)，y(t)是接收機輸出信號，實際上這就是一個典型的卷積積分的應(yīng)用實例，圖2是接收機的數(shù)學(xué)模型，假設(shè)接收機是線性移不變系統(tǒng)，則有卷積積分公式成立。如果對通信系統(tǒng)中的二進制通信系統(tǒng)進行接收處理，那么接收機的單位脈沖響應(yīng)應(yīng)該是矩陣脈沖，這樣才能夠正確判別系統(tǒng)發(fā)射的二進制信號，實現(xiàn)通信的目的。這種講法的好處是讓學(xué)生知道為什么學(xué)習(xí)卷積積分，增強了學(xué)習(xí)興趣。

圖2 接收機系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型Fig.2 Mathematical model of a receiver

2.2 卷積積分理論講解與MATLAB課堂演示

2.2.1 卷積積分的引入

數(shù)學(xué)上,兩個連續(xù)時間信號x1(t)和x2(t)的卷積積分的定義[12]為

(1)

在信號與系統(tǒng)理論中,從時域分析連續(xù)信號通過線性移不變系統(tǒng)的輸入輸出信號關(guān)系的分析方法稱為時域分析方法。經(jīng)數(shù)學(xué)上處理,任意連續(xù)信號x(t)可以用單位沖激函數(shù)δ(t)表示為

(2)

在信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)課程中,輸入信號為單位沖擊信號δ(t),則系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)定義為h(t)=T[δ(t)]。教材中所指的系統(tǒng)通常具有線性和時不變性質(zhì)[13]?；诖藯l件,當任意連續(xù)時間信號x(t)輸入線性移不變系統(tǒng)h(t)時,輸出可以表示為

(3)

式(3)中：符號T[·]表示系統(tǒng)的操作運算。在式(3)中,第2步利用了系統(tǒng)的疊加性,第3步利用了系統(tǒng)的線性,第4步利用系統(tǒng)的移不變性,根據(jù)卷積積分數(shù)學(xué)定義式(2)可知此積分正是卷積積分。因此,從時域分析角度,連續(xù)信號輸入線性移不變系統(tǒng)時,輸出信號等于輸入信號和系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的卷積積分。這種講法學(xué)生比較容易接受,在此基礎(chǔ)上可以再給出實例進行卷積積分的計算。

2.2.2 兩個方波信號的卷積積分

兩個方波信號的卷積積分在通信系統(tǒng)中有重要的應(yīng)用,它可以用來解釋二進制PAM通信系統(tǒng)的接收原理,因此,重點講解兩個方波信號的卷積原理。

圖3顯示了信號x(t)和h(t)的波形,信號x(t)和h(t)的持續(xù)時間均為T,幅度均為1。由卷積積分公式可以得到x(t)和h(t)的卷積積分為

(4)

圖3 信號x(t)和h(t)波形示意圖Fig.3 Waveforms of signals x(t) and h(t)

利用圖解法有助于對概念的理解,根據(jù)式(4),積分變量是τ,給定任意時刻t1的卷積積分值可以表示為

(5)

對于兩個方波信號卷積積分的圖解法,多數(shù)教材中都有詳細的表述[6-7],這里直接給出圖解法的計算結(jié)果:

(6)

由式(6)可以看出,在t=T時,y(t)可以得到最大值T。

2.2.3 基于MATALB程序設(shè)計的卷積積分MATLAB

軟件被廣泛用在課程的教學(xué)過程中,由于MATLAB非常易學(xué),因此將MATLAB引入信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)的課堂教學(xué)。在MATALB程序設(shè)計中假設(shè)T=20，MATLAB程序如下:

T=20;

s=0:T;

k=length(s);

x=ones(1,k);

h=ones(1,k);

y=conv(x,h);

tt=length(y);

subplot(2,2,1);plot(s,x);

title('x(t)');

subplot(2,2,2);plot(s,h);

title('h(t)');

subplot(2,1,2); plot(y);

title('y(t)');

從圖4的仿真結(jié)果可以看出,兩個方波信號卷積積分的結(jié)果是三角波形,這和前面的圖解法計算結(jié)果一致。

圖4 用conv進行卷積的結(jié)果Fig.4 Convolution results using conv function

2.3 卷積積分在PAM通信系統(tǒng)中的應(yīng)用

信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)是通信原理的先修課程,利用卷積積分可以解釋二進制PAM系統(tǒng)的接收機原理,在這里從卷積積分的角度講解可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生容易理解和接受,并解答他們的疑惑,即為什么學(xué)習(xí)卷積積分,有什么作用。例如在后續(xù)通信原理課程中涉及匹配濾波器和相關(guān)器概念,據(jù)筆者多年教學(xué)經(jīng)驗,可以由信號通過線性系統(tǒng)后的輸入輸出關(guān)系引出匹配濾波器概念。

由1和0組成的比特流可以用x1(t)和x2(t)兩種波形來表示,其中比特1用x1(t)表示,比特0用x2(t)表示,即定義為

(7)

針對這個發(fā)射信號情況,信道為加性高斯白噪聲(AWGN)時,接收信號r(t)可以表示為

(8)

最佳接收機可以采用匹配濾波器或相關(guān)器接收。在這階段主要定性給學(xué)生解釋,匹配濾波器是指和發(fā)射信號相匹配。如果發(fā)射信號為x1(t),匹配濾波器的輸出在T時刻可以得到最大的信噪比,即得到最大的輸出信號幅度[14]。當發(fā)射信號是脈沖信號x1(t)時,接收機(可稱為匹配濾波器)的時域單位沖激響應(yīng)應(yīng)設(shè)計為

h(t)=x1(T-t)=1, 0≤t≤T。

(9)

在這種情況下匹配濾波器的輸出信號在T時刻可以得到最大的峰值,即得到最大的輸出信噪比。前面兩個矩形信號卷積的結(jié)果式(6)證明了這一點,即兩個方波信號的卷積結(jié)果是三角波。因此，接收機設(shè)計成單位脈沖響應(yīng)式(9)時,該濾波器h(t)稱為信號x1(t)的匹配濾波器。圖5系統(tǒng)中采用了匹配濾波器作為接收機。

圖5 二進制PAM通信系統(tǒng)框圖Fig.5 Block of a binary PAM system

當發(fā)射信號為x1(t)時,匹配濾波器的輸出為

(10)

如果在t=T時刻采樣,則可得

(11)

當發(fā)射信號為x2(t)=0,0≤t≤T時,匹配濾波器輸出為0。利用卷積積分可以得到圖6的匹配濾波器輸出波形。匹配濾波器后面接判決器,判決器的門限設(shè)為T/2,匹配濾波器后面的判決器每隔T時間間隔對y(t)采樣,則可以正確判斷出發(fā)射端發(fā)射的比特信息,即等采樣值大于T/2時,發(fā)射端發(fā)射的是1信息,當采樣值小于T/2時,發(fā)射端發(fā)射的是0信息。

圖6 匹配器輸出端信號波形Fig.6 Waveform of the output signal of the matched filter

由上述卷積積分的計算可知:兩個矩形波形信號的卷積結(jié)果是三角波形,在時間T采用可得到最大的信噪比或最大幅度。因此，最佳接收機設(shè)計成脈沖響應(yīng)持續(xù)時間為T的矩形波形時,可以得到最好的接收機性能。此時接收機可以看成是矩形脈沖信號的匹配濾波器或相關(guān)器。在這階段可以告訴學(xué)生,在T時刻匹配濾波器和相關(guān)器會得到相同的輸出信號值,這在通信原理課程中會有詳細的講解。

2.4 最佳接收機的系統(tǒng)實現(xiàn)

通過上述分析可知,二進制PAM通信系統(tǒng)中,最佳接收機的單位脈沖響應(yīng)是方波信號,而且學(xué)生也知道兩個方波信號的卷積積分可以得到一個三角波。教師如果講到這里繼續(xù)講授如何設(shè)計得到單位脈沖響應(yīng)是矩形脈沖的系統(tǒng)結(jié)構(gòu),就會收到更好的教學(xué)效果。任何復(fù)雜的模擬系統(tǒng)都可以由加法器、乘法器、積分器和延遲器組成。實際上單位脈沖信號可以看成是由兩個階躍信號相減得到的,即單位脈沖響應(yīng)h(t)=u(t)-u(t-T)。據(jù)此，當輸入信號x(t)=δ(t)時,輸出信號y(t)可以表示為

(12)

因此,圖7所示最佳接收機系統(tǒng),它的單位脈沖響應(yīng)為h(t)=u(t)-u(t-T),是方波信號。圖7可以看成是圖5中的匹配濾波器的實現(xiàn)。

圖7 最佳接收機系統(tǒng)框圖Fig.7 Block of the optimum receiver

以上基于案例的卷積積分的課堂教學(xué)改革,貫穿于整個信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)的課程教學(xué)中,通過采用該方法加深了學(xué)生對概念的理解和應(yīng)用,并且對后續(xù)數(shù)字信號處理、通信原理課程的教學(xué)起到促進作用。更重要的是信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)課程是國內(nèi)許多高?？佳械膶I(yè)考試課程。這種教學(xué)方法首先在通信工程2012級開始應(yīng)用,2012級學(xué)生在考取研究生方面獲得突破,一共考取10名,有考入北京郵電大學(xué)、上海大學(xué)、杭州電子科技大學(xué)等高校的;2013級學(xué)生考取8名；今年，2014級學(xué)生正積極準備考研。

3 結(jié) 語

本研究采用案例教學(xué)法,對卷積積分從應(yīng)用背景引入、原理講授、MATALB課堂實驗到后續(xù)課程的接收機設(shè)計與實現(xiàn)進行全方位設(shè)計,通過這種方案使卷積積分的講授更加生動,學(xué)生更容易接受、理解。通過案例講解并利用MATALB在課堂上現(xiàn)場演示實驗,提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,使學(xué)生知道為什么學(xué)習(xí)卷積積分,并感覺到該課程實際上并不難,從而對掌握卷積積分對學(xué)習(xí)后續(xù)課程如數(shù)字信號處理、通信原理等的重要性有更深刻的感性認識。這里，重要的是,通過這種案例教學(xué)有助于提高學(xué)生的綜合應(yīng)用知識能力和實踐創(chuàng)新能力。

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Explorationofcase-basedcurriculumteachingofFundamentalsofSignalandSystem-inthecaseofconvolutionintegral

WANG Zhongpeng

(School of Information and Electronic Engineering, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, Zhejiang, China)

According to the current curriculum teaching situation of the course Fundamentals of Signal and System, its teaching reform was proposed on the basis of case teaching, in which the difficult points about the course were designed into cases after being sorted and refined. Take convolution integral for example. A full range of teaching designs, which consist of the application background, theory teaching and demonstration experiments based on MATLAB, are implemented in class. It is proved that the application of case teaching reform practice has not only inspired the students’ interest in learning, but also cultivated students’ ability of practice and innovation.

signal and system; MATLAB; teaching reform; case teaching

G642.421;TN911.6

A

1671-8798(2017)06-0476-06

10.3969/j.issn.1671-8798.2017.06.013

2017-04-29

浙江科技學(xué)院重點課程建設(shè)項目(2010 ⅠA-a03)

王中鵬(1966— ),男,遼寧省黑山人,副教授,博士,主要從事無線通信研究。E-mail:wzp1966@163.com。