微分方程數(shù)值格式的誤差階數(shù)計(jì)算新方法

劉小妹，陳濤

(中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

微分方程數(shù)值格式的誤差階數(shù)計(jì)算新方法

劉小妹，陳濤

(中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

針對(duì)常微分方程初值問題，在特定時(shí)間步長且真解未知的情況下，給出計(jì)算數(shù)值離散格式的誤差隨網(wǎng)格剖分尺寸的收斂階數(shù)的新方法.通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，和必須已知真解情況下才能計(jì)算誤差的傳統(tǒng)方法進(jìn)行對(duì)比分析.實(shí)驗(yàn)證明新方法可以不需要知道真解就能夠?qū)?shù)值格式的誤差階數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算 突破了傳統(tǒng)方法中的局限性.

常微分方程；數(shù)值求解；誤差階數(shù)

1 引言

在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中，微分方程在很多領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、濃度擴(kuò)散、彈道的計(jì)算等。 常微分方程是描述連續(xù)變化的數(shù)學(xué)語言，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)時(shí)間或空間步長無限加密時(shí)，常微分方程的解收斂到原連續(xù)介質(zhì)的真解。但對(duì)于特定步長時(shí)，在真解未知的情況下，人們很難得到常微分的精度做出可靠且實(shí)用的估計(jì)。針對(duì)這個(gè)問題，本文給出一種新方法，即真解未知的情況下分析常微分方程初值問題數(shù)值求解公式的階數(shù)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)真實(shí)可靠。

考慮一階常微分方程的初值問題。

(1)

其中f為t和u的已知函數(shù)，u0為給定的初值。給予假設(shè)：設(shè)函數(shù)f(t，u)在區(qū)域：t0≤t≤T，|u|lt;∞內(nèi)連續(xù)，并且關(guān)于u滿足Lipschitz條件?？芍踔祮栴}(1)在區(qū)間[t0，T]上有唯一解u(t)，并且u(t)是連續(xù)可微的。

2 數(shù)值解法

數(shù)值解法是一種離散化的方法，通過這種方法可以在一系列離散點(diǎn)t1，t2，…，tn上求出未知函數(shù)u(t)之值u(t1)，u(t2)，…，u(tN)的近似值u1，u2，…，uN。自變量t的離散值t1，t2，…，tN是事先取定的，通常取為等距的，即tn=t0+nh，n=1，2，…，N，其中hgt;0稱為步長，而u1，u2，…，uN稱為初值問題一個(gè)數(shù)值解。

為考察數(shù)值解法提供的數(shù)值解是否有實(shí)用價(jià)值，需要估計(jì)數(shù)值解與真解的誤差，以便在實(shí)際計(jì)算中根據(jù)精度要求確定計(jì)算方案。之后還要知道，當(dāng)步長充分小時(shí)，所得數(shù)值解能否足夠精確地逼近初值問題的真解，即查看誤差階數(shù)，衡量計(jì)算格式隨著網(wǎng)格尺寸較小的收斂速度。設(shè)un是在無舍入誤差情況下，u(t)為真解，εn=‖u(tn)-un‖稱為截?cái)嗾`差，若ε=Chp+Ο(hp+1)，則稱該算法有p階精度。

考慮初值問題(1)，本文給出幾種常用的數(shù)值解法，其中包括顯式Euler法、隱式Euler法、中點(diǎn)法、改進(jìn)Euler法、梯形法等方法，并研究給出相應(yīng)的截?cái)嗾`差的階。

2.1 顯式Euler法

顯示Euler法的計(jì)算公式為

un+1=un+hf(tn，un).

此時(shí)截?cái)嗾`差

‖u(tn)-un‖=Ch+ο(h2).

其中C是系數(shù)，故顯式Euler法的誤差階數(shù)為1，即當(dāng)u(t)為一次多項(xiàng)式時(shí)，顯式Euler是精確的。

2.2 隱式Euler法

隱式Euler法的計(jì)算公式為

此時(shí)同樣截?cái)嗾`差

‖u(tn)-un‖=Ch+ο(h2)

故隱式Euler法為一階方法。

2.3 中點(diǎn)法

中點(diǎn)法的計(jì)算公式為

un+1=un-1+2*hf(tn，un)

此時(shí)中點(diǎn)法的截?cái)嗾`差

‖u(tn)-un‖=Ch2+ο(h3)，

故中點(diǎn)法為二階方法。

2.4 梯形法

梯形法的計(jì)算公式

此時(shí)同樣截?cái)嗾`差

‖u(tn)-un‖=Ch2+ο(h3)，.

故梯形法為二階方法。

2.5 改進(jìn)Euler法

改進(jìn)Euler法的計(jì)算公式

此時(shí)截?cái)嗾`差

‖u(tn)-un‖=Ch2+ο(h3)，.

故改進(jìn)Euler法為二階方法。

3 數(shù)值解估計(jì)誤差新方法

新方法：設(shè)‖uk-u‖=Dτp+ο(τp+1)，其中Dgt;0是常數(shù).可知‖uk-u‖區(qū)域零的速度與‖uk-uk+1‖的速度是相同的.那么則有下面公式

并且可得

(2)

在這種情況下我們可以消去真解u，所以如果利用這種方法，我們可以不用考慮真解就可以估計(jì)誤差。

4 實(shí)例求解誤差階數(shù)

本文以一階常微分方程為例子，利用MATLAB軟件求解上述五種求數(shù)值解法的誤差階.我們分別以傳統(tǒng)方法和我們的新方法來檢驗(yàn)，并將兩種結(jié)果做分析比較。

求解初值問題

這里我們?nèi)ˇ?1/25，則時(shí)間步長分別取1/25，1/26，1/27，1/28，1/29，1/210，1/211，1/212，1/213，1/214.

4.1 傳統(tǒng)算法

圖1 五種解法的回歸結(jié)果

其得到的線性回歸方程分別是：

y1=0.936490x+0.843358

y2=1.085501x+3.020986

y3=1.975451x+1.443158

y4=1.967441x+0.002437

y5=1.980239x+1.483173

其中yi和ri分別表示各種數(shù)值格式之間的誤差離散點(diǎn)和相應(yīng)誤差回歸直線。i=1為顯示Euler法、i=2為隱式Euler法、i=3為中點(diǎn)法、i=4為梯形法、i=5為改進(jìn)Euler法。

我們可以清晰地看出，在已知真解并給定時(shí)間步長的情況下，顯示Euler法和隱式Euler法的誤差階為1，而中點(diǎn)法、梯形法、改進(jìn)Euler法的誤差階為2，證明了結(jié)果和理論誤差階數(shù)吻合。

4.2 新方法

假設(shè)我們?cè)诓恢郎鲜隼拥恼娼馐鞘裁矗瑐鹘y(tǒng)方法無法做出誤差分析，但按照本文給出求誤差階的新方法，我們得到五種求數(shù)值解方法的誤差階，結(jié)果如表1。

從表1我們看出，在未知真解并給定步長的情況下，顯示Euler法、隱式Euler法的誤差階收斂為1，而中點(diǎn)法、梯形法、改進(jìn)Euler法的誤差階收斂為2，和之前理論誤差階數(shù)吻合。另外，表2所展示的數(shù)據(jù)體現(xiàn)了誤差階p的收斂過程。實(shí)際計(jì)算誤差時(shí)，我們只需要取最后三個(gè)網(wǎng)格尺寸，即k=8，9，10，相應(yīng)的誤差代入新方法的計(jì)算公式(2)，就可以很準(zhǔn)確的計(jì)算誤差階數(shù)。

表1 五種解法的誤差階

以上兩種方法做比較我們可以看出，兩者得到的誤差階正如我們所期望的值是一樣的，所以兩種方法都真實(shí)可靠，但兩者最大不同點(diǎn)是第一種已知真解，第二種真解未知。在實(shí)際應(yīng)用中，大都很難得到真解，所以第二種，也就是本文提出的新方法在數(shù)值解法求誤差精度時(shí)更具有應(yīng)用性。

5 結(jié)論

本文在求解常微分初值問題求解誤差階時(shí)給出了一種新方法，即可以在真解未知的情況下可以得到數(shù)值解法的誤差階。利用五種數(shù)值解法，與已知真解的方法做出對(duì)比分析。分析結(jié)果表明：未知真解的情況下，通過驗(yàn)證和對(duì)比，本文給出的新方法可以得到數(shù)值解法的正確的精度階，故新方法真實(shí)可靠。在實(shí)際應(yīng)用中，新方法的最大優(yōu)勢(shì)在于不需要已知真解救能夠?qū)?shù)值格式的誤差階數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)，而傳統(tǒng)方法必須計(jì)算多個(gè)網(wǎng)格剖分尺寸才能得到誤差階數(shù)。而且新方法不需要做回歸，只需要計(jì)算三個(gè)網(wǎng)格尺寸的誤差，即可得到誤差階數(shù)。

[1]胡建偉，湯懷民． 微分方程數(shù)值解法(第二版)[M]． 北京：科學(xué)出版社，2007．

[2]李慶揚(yáng)，王能超，易大義． 數(shù)值分析(第五版)[M]． 北京：清華大學(xué)出版社，2008．

[3]戴嘉尊，邱建賢． 微分方程數(shù)值解法[M]． 南京：東南大學(xué)出版社，2002．

[4]謝煥田．應(yīng)用Taylor公式分析常微分方程初值問題數(shù)值求解公式的精度[J].高師理科學(xué)刊，2011，(01)：9-11.

[5]魏明強(qiáng). 一階常微分方程數(shù)值解中四種算法的實(shí)例比較[J]．中國傳媒大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，(04)：41-44.

(責(zé)任編輯：王 謙)

ANewMethodtoComputeErrorOrderofNumericalSchemeforDifferentialEquation

LIU Xiao-mei，CHEN Tao

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

A new method for computing the convergence order of the numerical scheme with respect to the size of the partition is given in the initial value problem of the first order ordinary differential equation and the exact solution is unknown. The new method is compared with the traditional method which should be implemented by known exact solution.The experimental results show that the new method can accurately obtain the error order of the numerical scheme even though the exact solution is unknown，and it can be used to estimate the error in the numerical scheme，and it is necessary to calculate the error in the numerical solution.

ordinary differential equation；numerical solution；error order

0241.1

A

1673-4793(2017)06-0044-05

2017-09-20

劉小妹(1993-)，女(漢族)，山東德州人, 中國傳媒大學(xué)碩士研究生.E-mail：liuxiaomei@cuc.edu.com