改進CST方法在翼型優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用

高 永，朱飛翔，李 冰，于方圓，王玉偉

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001）

改進CST方法在翼型優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用

高 永，朱飛翔，李 冰，于方圓，王玉偉

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001）

形狀類別函數(shù)變換（Class-Shape Transformation，CST）方法是近年來發(fā)展起來的一種新型氣動外形參數(shù)化方法，該方法具有良好的魯棒性，且涉及參數(shù)少、精度高，結(jié)果簡單直觀等特點，被廣泛應(yīng)用于翼型設(shè)計研究中。文章結(jié)合某小型無人機設(shè)計的工程實踐，探討了CST方法在小型無人機翼型設(shè)計中的應(yīng)用，在借鑒他人研究成果的基礎(chǔ)上，決定采用Bernstein多項式構(gòu)建形狀函數(shù)，分析了Bernstein多項式階數(shù)對CST方法擬合精度的影響。仿真結(jié)果表明，當BPO＞4時，擬合精度能夠達到滿意的要求，可用于該型無人機翼型的設(shè)計與優(yōu)化。

形狀類別函數(shù)變換；翼型設(shè)計；參數(shù)化；多項式

近年來，低成本的小型無人機以其重量輕、體積小、結(jié)構(gòu)簡單、靈活機動等特點，在軍用、民用領(lǐng)域得到快速發(fā)展。翼型設(shè)計是飛行器設(shè)計過程中的一個重要環(huán)節(jié)，其性能的優(yōu)劣直接影響到飛機的氣動性能和飛行品質(zhì)。因此，研究翼型設(shè)計技術(shù)，適應(yīng)無人飛行器快速發(fā)展的需求具有重要意義[1-2]。本文根據(jù)某小型無人機設(shè)計要求，采用形狀類別函數(shù)變換（Class-Shape Transformation，CST）方法，在選擇現(xiàn)有翼型的基礎(chǔ)上進行優(yōu)化設(shè)計，實現(xiàn)了翼型的快速設(shè)計與優(yōu)化，為翼型的快速設(shè)計進行了有益的探索。

1 CST方法的基本原理

機翼、尾翼是飛機賴以產(chǎn)生升力、保持平衡的重要部件，而翼型則是機翼、尾翼設(shè)計的基礎(chǔ)。翼型表示方法是翼型設(shè)計過程一個重要領(lǐng)域，翼型參數(shù)化方法的選取影響著所選取翼型設(shè)計方法的合理性[3-6]。近年，Kulfan等提出并發(fā)展起來的形狀類別函數(shù)變換（Class Function/Shape Function Transformation，CST）方法以其良好的魯棒性，且涉及參數(shù)少、精度高、結(jié)果簡單直觀等特點，被廣泛地用于翼型設(shè)計研究中[7-10]。該方法使用一個用來定義幾何外形種類的類別函數(shù)，和一個用來對類別函數(shù)所形成的基本外形進行修正的形狀函數(shù)來表示翼型。形如

式（1）中：ψ=x/c；ξ=z/c；ζTE=zTE/c，其中，zTE為后緣厚度（若zTE=0，則表示翼型后緣封閉，有ζTE=0），c為翼型弦長，x、z分別為翼型的x軸、z軸坐標。

C(ψ)即類別函數(shù)，定義為：

當N1、N2取不同的值組合時，可以定義不同幾何外形類別的翼型。美國國家航空咨詢委員會（NACA）系列圓頭尖尾翼型、雙圓弧翼的類別函數(shù)見圖1。

S(ψ)為形狀函數(shù)，由式（1）、（2）得到：

S(ψ)是在2個極值之間描述翼型形狀的解析函數(shù)，可控制翼型前緣到后緣之間的曲線形狀，可使用不同的方法表示。翼型前緣半徑和翼尾夾角與形狀函數(shù)在區(qū)間[0，1]兩端處的極限值分別表示翼型前緣和后緣的值：

式（4）中：RLE為翼型前緣半徑；β為翼型后緣點處的切線傾角；zTE為翼型的后緣厚度。

因此，可以得到CST方法表示圓前緣和尖后緣翼型的通用解析函數(shù)為：

分別使用2個上述解析函數(shù)表示翼型上表面和下表面曲線，使用CST參數(shù)化方法，可將通用翼型表示為：

式（6）中：zu、zl分別為翼型上表面和下表面曲線；為設(shè)計變量。

2 關(guān)鍵參數(shù)的計算說明

如何選擇和構(gòu)建形狀函數(shù)S(ψ)是使用CST方法的重要工作，一定程度上決定翼型設(shè)計的成敗[11-13]。文獻[2]的研究結(jié)果表明：基于Bernstein多項式的CST參數(shù)化方法對設(shè)計參數(shù)的突變振蕩具有一定的過濾能力。因此，本文采用Bernstein多項式構(gòu)建形狀函數(shù)S(ψ)。

n階Bernstein多項式的定義式為：

式（7）中，二項式系數(shù)的表達式為：

通過加權(quán)，可以得到形狀函數(shù)：

式（9）中：i和n分別為多項式中的指數(shù)和階數(shù)；vi(i=0,1,…,n)為引入的加權(quán)權(quán)重，稱為形狀函數(shù)系數(shù)，它們一般作為設(shè)計變量，組成n+1階系數(shù)向量v。

在翼型的優(yōu)化設(shè)計中，通常使用最小二乘法擬合原始翼型得到形狀函數(shù)系數(shù)和的初始值。然后，將和作為設(shè)計變量，在設(shè)計空間里改變它們的大小獲得氣動特性最優(yōu)的翼型形狀[14-18]。

由以上的分析可知，建立CST參數(shù)化方法描述的翼型幾何外形，需要確定的控制參數(shù)為類函數(shù)中的N1和N2，形狀函數(shù)系數(shù)vi(i=0,1,…,n)，翼型的后緣厚度zTE。因此，對于一般的圓前緣尖后緣翼型（N1=0.5，N2=1），用基于Bernstein多項式的CST參數(shù)化方法描述翼型上下表面坐標最終可表示為：

3 Bernstein多項式階數(shù)對CST方法擬合精度的影響分析

研究表明，Bernstein多項式階數(shù)對CST方法擬合精度的影響比較大。在一定范圍內(nèi)，使用高階的Bernstein多項式定義形狀函數(shù)可以有效地提高CST參數(shù)化方法對幾何外形的表示精度，但是過高階的多項式的階數(shù)將使參數(shù)化過程病態(tài)化。為了確定Bernstein多項式的階數(shù)，根據(jù)式（10），本文在不同階數(shù)的Bernstein多項式下采用最小二乘法對對稱翼型NACA0012、彎度翼型RAE2822和本文的選用的小型無人機翼型Clark Y進行擬合。通過對這3種翼型進行CST參數(shù)化建模，研究Bernstein多項式的階數(shù)與CST方法擬合精度的關(guān)系。擬合精度用翼型上下表面縱軸坐標的殘差衡量：

式（11）中：ru、rl分別為翼型上下表面的擬合殘差；分別為擬合翼型的上下表面縱坐標；分別為原始翼型的上下表面縱坐標。

擬合結(jié)果如圖2所示。從這3種翼型的各階擬合殘差圖2可看出：幾何擬合精度隨Bernstein多項式階數(shù)的增加而增大。當BPO＞4時，擬合精度基本達到滿意的要求。隨著階數(shù)的繼續(xù)增大，精度提高的空間變小，殘差值基本保持在某一微小范圍內(nèi)變化很小。而Bernstein多項式階數(shù)越高，設(shè)計變量數(shù)目也越多，翼型優(yōu)化設(shè)計的成本將會增大。因此，綜合考慮精度要求和優(yōu)化成本，選擇5階Bernstein多項式進行翼型的優(yōu)化設(shè)計。

而對于Clark Y翼型，當Bernstein多項式階數(shù)較低（BPO＜6）時，上下表面橫坐標0點附近的殘差絕對值較大，比NACA0012和RAE2822翼型高出一個數(shù)量級，這表明用基本CST參數(shù)化方法對Clark Y翼型的前緣擬合精度相對較低。產(chǎn)生的原因為：①Clark Y翼型不同于其他2種翼型，它屬于上凸下平型，上下表面前緣附近的曲率變化較大，用較低階的CST方法對其前緣擬合效果不佳；②采用的類函數(shù)參數(shù)為N1=0.5和N2=1，這對于大多數(shù)的NACA系列的翼型時適用的，但對于其他系列的翼型可能會導(dǎo)致較大誤差。

為了保證采用5階CST方法擬合Clark Y翼型具有較高的精度，參考文獻[1]的研究成果，本文對CST方法進行了改進，將N1和N2也作為未知量，對形狀函數(shù)系數(shù)和N1、N2進行最小二乘優(yōu)化求解，以期解決基本CST參數(shù)化方法對Clark Y翼型的前緣擬合精度相對較低的問題。

4 算例

分別用5階的基本CST方法和改進CST方法擬合Clark Y翼型。通過最小二乘優(yōu)化求解，得到改進CST方法中的翼型上表面類函數(shù)參數(shù)為，下表面類函數(shù)參數(shù)為。

上下表面曲線擬合殘差對比圖（見圖3）顯示，基本CST方法翼型前緣處的最大殘差值為1.95×10-3，而改進CST方法的最大殘差值為5.5×10-4，表明改進方法的擬合精度有了大幅度的提升。

從圖4的翼型對比中可以看出，改進CST方法的擬合曲線更貼近原始翼型。

對2種方法的擬合翼型和原始翼型進行CFD氣動特性分析，計算的翼型弦長為0.451 m，來流速度為15 m/s，迎角為4°。圖5為2種方法的擬合翼型與原始翼型計算得到的壓力分布對比，也可以看出基本CST方法擬合翼型在翼型前緣附近的壓力值與原始翼型相差較大，而改進CST方法擬合翼型得到的數(shù)據(jù)曲線基本與原始翼型重合。

以上分析表明，用5階Bernstein多項式的改進CST參數(shù)化方法能夠很好地滿足Clark Y翼型的幾何外形擬合精度和氣動計算精度，滿足該小型無人機翼型快速設(shè)計的需要。

5 結(jié)論

翼型設(shè)計是飛行器設(shè)計的重要環(huán)節(jié)。本文結(jié)合某小型無人機設(shè)計的工程實踐，探討了CST方法中關(guān)鍵參數(shù)的計算方法，研究了Bernstein多項式階數(shù)對CST方法擬合精度的影響，滿足設(shè)計精度的同時避免了病態(tài)問題的出現(xiàn)，較好地滿足了該型無人機翼型設(shè)計的需求。

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Application of Improved CST Parametric Method in Airfoil Design

GAO Yong,ZHU Feixiang,LI Bing,YU Fangyuan,WANG Yuwei
（Naval Aviation University,Yantai Shandong 264001,China）

Class-shape transformation(CST)is a new airfoil parameterization method developed in recent years.Because of the good robustness and rare parameters involved,high precision,simple structure and so on,it is widely used in airfoil design and research.Based on the engineering practice of a small UAV,the application of CST method in the design of small UAV airfoil was discussed.And the influence of Bernstein polynomial order on the fitting accuracy of CST method was analyzed.The simulation results showed that the modified CST parametric method of Bernstein polynomial could satisfy the geometric shape fitting precision of Clark Y airfoil well under the condition of BPO＞4,and could be used to design and optimize the UAV’s airfoil.

class shape transformation;airfoil design;parameterization;polynomial

V279；V221+.92

A

1673-1522（2017）05-0426-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.05.002

2017-02-16；

2017-07-22

“泰山學(xué)者”建設(shè)工程專項基金資助項目

高 永（1973-），男，副教授，博士。