巧思妙想

李正芳

一、分類討論思想

在勾股定理中，主要應(yīng)用分類思想對三角形形狀進(jìn)行討論或?qū)σ阎倪吇螯c所在位置進(jìn)行討論.

例1 已知一直角三角形兩邊長為3和4，則第三邊的長度是 .

【分析】此題可以根據(jù)斜邊分類.若第三邊是斜邊，則兩直角邊分別為3和4，根據(jù)勾股定理易得第三條邊長為5；若第三邊是直角邊，則另一條直角邊為3，斜邊為4，根據(jù)勾股定理易得第三條邊長為[7]，故答案是[7]或5.

例2 在等腰三角形ABC中，AB=5cm，BC=6cm，則三角形ABC的面積為 .

【分析】要求三角形的面積，知道了三角形的邊長，再求出已知邊上的高即可.但由于△ABC是等腰三角形，部分同學(xué)只考慮了一種情形，即認(rèn)為短一點的AB為腰，BC為底邊.忽視了邊長BC也可能為腰的情形.如圖1，當(dāng)AB為腰，BC為底邊時，過點A作BC邊上的高AD，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理可得AD的長，此時△ABC面積為12；如圖2，當(dāng)BC為腰，AB為底邊時，過點A作BC邊上的高AD，同理，可求得此時△ABC面積為[54][119].

【點評】以上兩題考查了分類討論思想的應(yīng)用，如果題目沒有圖形，則需要考慮分類討論的必要性.這就是“無圖題前細(xì)思考，分類討論保周到”.

二、方程思想

方程是研究數(shù)學(xué)的重要工具，運(yùn)用方程的思想去分析問題，能有效發(fā)現(xiàn)各種數(shù)量關(guān)系.勾股定理描述了直角三角形三邊長的關(guān)系，可以解決很多計算問題，除了已知兩邊求第三邊外，很多題目無法直接用勾股定理來計算，需要設(shè)立未知數(shù)，用方程思想來解決.

例3 如圖3，有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

【分析】解決與勾股定理有關(guān)的實際問題時先要抽象出幾何圖形，所以本題首先是找到直角三角形.如圖4，在Rt△ACB中，只有AC邊的長度，因此可以設(shè)水深為x尺，找出各邊的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理列方程x2+52=（x+1）2 ，解得x=12，即水深12尺，蘆葦長13尺.

【點評】利用勾股定理解決實際問題，其基本思想是從實際問題中建立直角三角形，找到直角三角形邊與邊的數(shù)量關(guān)系，通過設(shè)立未知數(shù)，借助勾股定理列方程求解.

三、整體思想

整體思想是把問題的某個部分或幾個部分看成一個整體進(jìn)行思考，應(yīng)用整體思想解題，往往能化難為易、化繁為簡.在運(yùn)用勾股定理解題時，有時從整體上去思考問題或許能幫你迅速走出思維的誤區(qū).

例4 已知直角三角形的周長為18，斜邊長為8，求直角三角形的面積.

【分析】若設(shè)兩直角邊長分別為a、b，因為a+b=10，則b=10-a，由勾股定理得a2+b2=64，即a2+（10-a）2=64，從而求出a、b的值.但解這個方程較麻煩，而由S=[12]ab聯(lián)想到可以應(yīng)用整體思想，將ab看作一個整體，因為（a+b）2=a2+2ab+b2，又2ab=（a+b）2-（a2+b2）=100-64=36，所以ab=18，故S=[12]ab=9.

四、等積思想

等積思想是解幾何題的一種基本方法，就是利用面積相等來建立等式，從而求解題目的一種方法.

例5 在甲村到乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有爆破點C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上的另一個?？空綛的距離為400米，且CA⊥CB.如圖6所示，為了安全起見，爆破點C的周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進(jìn)人，問：在進(jìn)行爆破時，公路AB段是否有危險，是否需要暫時封鎖？

【分析】本題關(guān)鍵是要求出點C到直線AB的距離CD，如圖7.

因為S△ABC=[12]AC·BC=[12]CD·AB，所以CD=[AC·BCAB]=[300×400500]=240<250，故爆破時，公路AB有危險，需要暫時封鎖.

【點評】例5是利用等積法解決幾何線段計算問題的典型代表.當(dāng)已知條件有多個垂直關(guān)系時，我們要關(guān)注某一個圖形面積的不同表示方法.

“勾股定理”這章蘊(yùn)含了多種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在解決問題時，它們不僅可以相互獨立使用，而且在許多問題解決中都是互相聯(lián)系的.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)指前實驗學(xué)校）endprint