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    巧用勾股定理解決問題

    2017-12-11 08:36朱華慶
    初中生世界·八年級 2017年11期
    關(guān)鍵詞:快艇小島勾股定理

    朱華慶

    對于勾股定理,有3種常見用法:1.已知直角三角形兩邊,求第三邊;2.已知直角三角形的兩邊或三邊存在數(shù)量關(guān)系,可以用含同一個字母的代數(shù)式表示出來,再利用勾股定理建立方程解決問題;3.已知普通三角形三邊存在某種聯(lián)系,可轉(zhuǎn)化為直角三角形,利用勾股定理建立方程或方程組解決問題.

    一、方法回顧

    對第三種較為復(fù)雜的情況,我們重點回顧一下:

    例1 如圖1,在△ABC中,AD是BC邊上的高,D為垂足,AB=15,AC=13,BC=14,求高AD.

    【分析】直接用勾股定理求AD,條件不夠,這里剛好有兩個直角三角形,可利用兩次勾股定理建立方程組.

    【解】在Rt△ABD中,AD2=AB2-DB2,在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2,則AB2-DB2=AC2-CD2,設(shè)BD=x,CD=14-x,代入得:152-x2=132-(14-x)2.解得:x=9,代入AD2=AB2-DB2,得AD=12.

    【點評】此題是兩次利用勾股定理建立方程組解決問題的典型例子.有個細節(jié)應(yīng)該注意,AD雖然是兩個直角三角形的公共直角邊,但是直接設(shè)AD=x,計算就有很大困難,所以設(shè)未知量的時候要注意,不一定是要求什么就設(shè)什么.

    二、小試牛刀

    例2 如圖2,在△ABC中,AE是BC邊上的中線,AB=15,AC=13,BC=14,求中線AE的長.

    【分析】我們應(yīng)該找到以AE為邊的直角三角形,如果沒有,我們可以構(gòu)建,這就需要作輔助線,基本上都是作垂線.

    【解】作AD⊥BC,垂足為D,有了例1的回顧,易求得BD=9,AD=12,由AE為中線可知,BE=7,∴ED=2,在Rt△AED中,AE2=AD2+ED2,計算得:AE=2[37].

    【點評】在復(fù)雜問題中,如果沒有合適的直角三角形,要嘗試把非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決問題,即幾何問題中“化斜為直”的思想.但要考慮好從哪個點開始作垂線,不同的作法,會導(dǎo)致解法的難易程度不同.

    三、靈活應(yīng)用

    例3 如圖3,某沿海城市A接到超強臺風(fēng)警報,在該市正南方向150km的B處有一超強臺風(fēng)中心正以30km/h的速度沿BC方向移動,已知城市A到BC的距離AD=90km.若在距超強臺風(fēng)中心[2252]km的圓形區(qū)域內(nèi)都受到臺風(fēng)的影響,問城市A是否會受到臺風(fēng)的影響,影響的時間有多久?([182254]=[1352])

    【分析】只要探究臺風(fēng)中心距離城市A最近的情形即可.找到臺風(fēng)中心從開始到結(jié)束對城市A產(chǎn)生影響的兩個位置,作出草圖,利用勾股定理解決問題.

    【解】當(dāng)臺風(fēng)中心到達D處時,臺風(fēng)中心距離城市A最近,城市A距離臺風(fēng)中心90km<[2252]km,∴城市A肯定會受到臺風(fēng)的影響.當(dāng)AE=[2252]km時,城市A剛好開始受到影響,當(dāng)AF=[2252]km時,城市A剛好結(jié)束影響.在Rt△ADE中,ED2=AE2-AD2,所以DE=[1352],所以EF=2DE=135,故t=135÷30=4.5h.

    【點評】本題難點在于作圖,找到臺風(fēng)中心對城市A開始影響和結(jié)束影響的位置.方法上與例2相同.

    四、再攀高峰

    例4 如圖4,某沿海城市A正南方向150km處有一小島B,有一艘旅游船以20km/h的速度從小島出發(fā),沿BC方向航行.已知城市A到航線BC的距離AD=90km.一艘巡邏船從城市A出發(fā),以akm/h的速度沿直線去追趕旅游船(兩船相遇以前都不停留).(1)當(dāng)a=15時,巡邏船能否追上旅游船,若能,則要幾小時追上?(2)當(dāng)a=20時,巡邏船能否追上旅游船,若能,則要幾小時追上?

    【分析】當(dāng)巡邏船走完最短距離AD,到達點D時,看看旅游船是否到達點D,如果沒有到達,則巡邏船改變航行方向,一定可以追上旅游船,反之,則巡邏船不一定能追上旅游船.所以先判斷相遇位置,再畫出草圖,是解決這類問題的關(guān)鍵.

    【解】(1)在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2,代入得BD=120,t巡邏船=AD÷15=6,t旅游船=BD÷20=6,∴巡邏船6小時能夠追上旅游船.(2)如圖5,t巡邏船=AD÷20=4.5,t旅游船=BD÷20=6,所以巡邏船一定可以追上旅游船,假設(shè)巡邏船經(jīng)過x小時在E處追上旅游船,則BE=20x,AE=20x,DE=120-20x,在Rt△AED中,ED2=AE2-AD2,代入得:x=[7516],即[7516]小時后,巡邏船追上旅游船.

    【點評】對于這類問題,先判斷能否一定追上,如果能,那么相遇點E一定在線段BD上,否則,相遇點也有可能在BD的延長線上,很容易就作出草圖,然后利用勾股定理解決問題.最后,再次強調(diào)AD這條高,在復(fù)雜問題中沒有給出,可以嘗試作出.

    五、終極挑戰(zhàn)

    例5 (2008·常州)如圖6,港口B位于港口O正西方向120海里外,小島C位于港口O北偏西60°的方向.一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā),沿北偏東30°的OA方向以20海里/小時的速度駛離港口O.同時一艘快艇從港口B出發(fā),沿北偏東30°的方向以60海里/小時的速度駛向小島C,在小島C用1小時裝補給物資后,立即按原來的速度給考察船送去.(1)快艇從港口B到小島C需要多少時間?(2)快艇從小島C出發(fā)后最少需要多少時間才能和考察船相遇?

    【解析】題(2)當(dāng)年得分率非常低,同學(xué)們利用剛才所學(xué)方法可輕松列出方程,如果方程不會解,沒關(guān)系,那就到初三再解出來,正所謂“革命尚未成功,同志仍需努力”.關(guān)鍵是作CD⊥OA,再進行計算和判斷(快艇到達點D小于1小時,而科學(xué)考察船到達點D需2.5小時),所以兩船相遇點E在線段OD上,畫出草圖,設(shè)x小時快艇追上科考船,在Rt△CDE中用勾股定理列出方程,解決問題.參考答案:(1)t=1,(2)t=1.

    (作者單位:江蘇省常州市金壇區(qū)堯塘中學(xué))endprint

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