巧用三大工具破解二次函數(shù)難點

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，也是各地中考考查的一個熱點.需要同學(xué)們熟練地掌握它的基本性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用.本文就同學(xué)們學(xué)習(xí)本單元過程中的典型問題，借助“畫圖”“分類”“轉(zhuǎn)化”等方法，幫助同學(xué)們解決學(xué)習(xí)中的實際困難.

一、借助二次函數(shù)圖像解題

無論是哪一種函數(shù)，我們都是通過圖像去研究它的性質(zhì)，然而在同學(xué)們的學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)圖像是最被忽視的一個內(nèi)容.畫二次函數(shù)圖像不僅是研究二次函數(shù)性質(zhì)的工具，也是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要方法.熟練應(yīng)用這一工具可以幫助同學(xué)們在學(xué)習(xí)中獲得邏輯推理、數(shù)形結(jié)合等思想方法，從而為進一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

1.利用二次函數(shù)圖像判斷有關(guān)系數(shù)及代數(shù)式的符號.

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，則下列結(jié)論：①ac>0；②方程ax2+bx+c=0的兩根之和大于0；③y隨x的增大而增大；④a+b+c<0，其中正確的個數(shù)是（ ）.

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

【解析】由圖像得a<0，c>0，所以ac>0不成立；由于對稱軸在y軸的右側(cè)，所以[-b2a]>0，又a<0，所以b>0，所以方程ax2+bx+c=0的兩根之和大于0成立；y隨x的增大而增大不一定成立；由圖像可知當(dāng)x=1時，y<0，即a+b+c<0正確.故選C.

【點評】本題考查了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力.

2.不求函數(shù)解析式，利用圖像對稱性解方程.

例2 若二次函數(shù)y=-x2+2x+k的部分圖像如圖2，則關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一個解x1=3，另一個解x2= .

【解析】本題可根據(jù)拋物線的對稱性求得x2=-1，也可以用對稱軸的兩點公式求，即x=[-b2a]=[x1+x22].

3.利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律解題.

例3 拋物線y=3x2+2x-1向上平移4個單位長度后的函數(shù)解析式為（ ）.

A.y=3x2+2x-5 B.y=3x2+2x-4

C.y=3x2+2x+3 D.y=3x2+2x+4

【解析】利用平移規(guī)律“上加下減”，拋物線y=3x2+2x-1向上平移4個單位長度，解析式中常數(shù)項加4，所以是y=3x2+2x-1+4=3x2+2x+3，故選C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

二、巧用“分類”工具解題

1.在不確定函救的類型時，要分類討論.

例4 若函數(shù)y=（a-1）x2-4x+2a的圖像與x軸有且只有一個交點，則a的值為 .

【解析】∵函數(shù)y=（a-1）x2-4x+2a的圖像與x軸有且只有一個交點，∴當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時，Δ=16-4（a-1）×2a=0，解得：a1=-1，a2=2；當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時，a-1=0，解得：a=1.

故答案為：-1或2或1.

【點評】實際上題設(shè)中未說明函數(shù)的類型，因此所給函數(shù)可以是二次函數(shù)，也可以是一次函數(shù).

2.根據(jù)函數(shù)的自變量范圍分類討論解題.

例5 已知二次函數(shù)y=（x-h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則h的值為（ ）.

A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3

【解析】∵當(dāng)x>h時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x

∴①若h<1≤x≤3，當(dāng)x=1時，y取得最小值5，可得：（1-h）2+1=5，解得：h=-1或h=3（舍）；

②若1≤x≤3

綜上，h的值為-1或5，故選：B.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和最值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和最值分類討論是解題的關(guān)鍵.

三、靈活“轉(zhuǎn)化”破難點

1.根據(jù)二次函數(shù)與方程、不等式三者關(guān)系，互相轉(zhuǎn)化解題.

例6 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖像如圖3所示，對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點為（1，0），與y軸的交點為（0，3），則方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解為（ ）.

A.x=1 B.x=-1

C.1或-3 D.1或-4

【解析】由對稱軸為直線x=-1及一個交點（1，0）可求出另一個與x軸的交點坐標為（-3，0），選C.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖像的性質(zhì).方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的實質(zhì)是當(dāng)二次函數(shù)值為0時其圖像與x軸的交點的橫坐標.同學(xué)們可以利用轉(zhuǎn)化思想求不等式ax2+bx+c<0的解集.

2.利用二次函數(shù)三種解析式的互相變換解題.

例7 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-2mx+m-1（m>0）與x軸的交點為A，B.橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫作整點.若拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個整點，求m的取值范圍.

圖4

【解析】拋物線y=mx2-2mx+m-1（m>0）=m（x-1）2-1，拋物線頂點為（1，-1），則題干中所需的整點的縱坐標只能為-1或者0，所以要求AB線段上（含AB兩點）必須有5個整點.令y=mx2-2mx+m-1=0，得到A、B兩點坐標分別為（[1-1m]，0），（[1+1m]，0），即5個整點是以（1，0）為中心向兩側(cè)分散，進而得到2≤[1m]<3，∴[19]

【點評】在遇到二次函數(shù)解析式問題時，要注意選取適當(dāng)形式，或根據(jù)需要變形是快速解題的重要辦法.

（作者單位：江蘇省宿遷市湖濱新區(qū)實驗中學(xué)）