表面擴(kuò)散機(jī)制下金屬纖維燒結(jié)過(guò)程的數(shù)值模擬

宋敏，鄭洲順，諶東東，曹穩(wěn)，傅太白，湯慧萍

(1. 中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083；

2. 中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083；

3. 西北有色金屬研究院 金屬多孔材料國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安，710016)

表面擴(kuò)散機(jī)制下金屬纖維燒結(jié)過(guò)程的數(shù)值模擬

宋敏1，鄭洲順1，諶東東2，曹穩(wěn)1，傅太白1，湯慧萍3

(1. 中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083；

2. 中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083；

3. 西北有色金屬研究院 金屬多孔材料國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安，710016)

基于金屬纖維燒結(jié)結(jié)點(diǎn)的不同截面為橢圓?橢圓結(jié)構(gòu)，建立金屬纖維燒結(jié)過(guò)程的表面擴(kuò)散模型。用有限差分法對(duì)該非線性微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解，實(shí)現(xiàn)金屬纖維燒結(jié)結(jié)點(diǎn)形成過(guò)程的數(shù)值模擬。以?shī)A角為0°，45°和90°的金屬纖維為主要研究對(duì)象，對(duì)其燒結(jié)過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬。研究結(jié)果表明：在初始燒結(jié)階段，燒結(jié)頸半徑會(huì)迅速長(zhǎng)大，隨著燒結(jié)過(guò)程的進(jìn)行燒結(jié)頸生長(zhǎng)速度逐漸減小。在相同纖維夾角的條件下，在銳角平分線截面的燒結(jié)頸半徑生長(zhǎng)速度比在鈍角平分線截面快；在不同纖維夾角的條件下，纖維夾角越大，在沿鈍角平分線截面燒結(jié)頸半徑生長(zhǎng)速度越快，而在銳角平分線截面情況相反。

金屬纖維；表面擴(kuò)散；有限差分；燒結(jié)頸

金屬纖維作為第三代金屬多孔材料，不僅保留了金屬固有的性能，又獲得了某些特殊的物理性能，如導(dǎo)電性、導(dǎo)熱性、導(dǎo)磁性和耐高溫性等。金屬纖維多孔材料憑借其獨(dú)特的性能，在航空、電力、石油等眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，已成為當(dāng)前材料科學(xué)研究的前沿和熱點(diǎn)[1?3]。目前，金屬纖維燒結(jié)過(guò)程的研究多是以金屬粉末燒結(jié)理論為基礎(chǔ)的，金屬粉末的燒結(jié)理論已經(jīng)非常成熟。早在1965年，NICHOLS等[4]以表面擴(kuò)散為物質(zhì)遷移的主導(dǎo)機(jī)制，首次用計(jì)算機(jī)模擬了金屬粉末燒結(jié)頸生長(zhǎng)的變化趨勢(shì)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，金屬粉末燒結(jié)頸生長(zhǎng)過(guò)程的數(shù)學(xué)建模及數(shù)值模擬有了很大的進(jìn)展，燒結(jié)模擬算法也越來(lái)越多，如有限元方法[5?7]、Level Set方法[8?10]等。然而，金屬纖維燒結(jié)過(guò)程的研究還較少。20世紀(jì)60年代，PRANATIS等[11]研究了金屬纖維的燒結(jié)機(jī)制，發(fā)現(xiàn)金屬纖維多孔材料與金屬粉末多孔材料的燒結(jié)機(jī)制存在明顯差異。20世紀(jì)70年代，KOSTORNOV等[12]系統(tǒng)研究了材質(zhì)與絲徑不同的金屬纖維的燒結(jié)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)將金屬纖維壓制成形后進(jìn)行燒結(jié)時(shí)，沿壓力方向會(huì)出現(xiàn)先膨脹后收縮的現(xiàn)象。20世紀(jì)80年代，KOSTORNOV等[13]借助粉末燒結(jié)的黏性流動(dòng)理論對(duì)金屬纖維的燒結(jié)機(jī)制進(jìn)行了初步研究。2003年，美國(guó)密歇根大學(xué)的 BERHAN等[14]基于有限元軟件模擬了在熔化?凝固過(guò)程中纖維結(jié)點(diǎn)形成的三維結(jié)構(gòu)。當(dāng)然，我國(guó)的許多研究者也對(duì)金屬纖維多孔材料的制備和應(yīng)用進(jìn)行了大量的研究。喬吉超等[15?16]對(duì)金屬纖維多孔材料的力學(xué)性能及金屬纖維電磁屏蔽材料進(jìn)行了系統(tǒng)研究。WANG等[17]對(duì)FeCrAl纖維多孔材料的分形維數(shù)進(jìn)行了相關(guān)研究，計(jì)算了孔結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)，并分析了放大倍數(shù)與孔隙度對(duì)分形維數(shù)的影響規(guī)律。CHEN等[18?20]基于水平集方法對(duì)表面擴(kuò)散機(jī)制下金屬纖維的燒結(jié)過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，但是該數(shù)值方法運(yùn)算量大，程序運(yùn)行耗時(shí)長(zhǎng)。金屬纖維燒結(jié)結(jié)點(diǎn)對(duì)金屬纖維材料的各項(xiàng)性能有著非常大的影響，所以對(duì)其形成過(guò)程展開(kāi)研究具有重要意義。有限差分法已經(jīng)是非常成熟的一種數(shù)值分析方法，在粉末注射成形[21]、電磁學(xué)[22]等諸多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，但是將有限差分法應(yīng)用于金屬纖維燒結(jié)過(guò)程的數(shù)值模擬目前仍少見(jiàn)報(bào)道。事實(shí)上，相對(duì)于水平集方法[18?20]、有限元方法[5?7]等其他數(shù)值解法，使用有限差分法對(duì)表面擴(kuò)散模型進(jìn)行數(shù)值求解更加簡(jiǎn)單易懂，便于實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然，有限差分法更大的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在程序?qū)崿F(xiàn)方面，在用Matlab進(jìn)行編程計(jì)算時(shí)，相對(duì)于其他數(shù)值算法，其所占內(nèi)存更小、算法實(shí)現(xiàn)耗時(shí)更少。所以，在工程實(shí)現(xiàn)方面，有限差分法一直被廣泛應(yīng)用。在數(shù)值模擬過(guò)程中，金屬粉末被看作球體進(jìn)行研究，球體具有完全對(duì)稱的特點(diǎn)，所以對(duì)粉末燒結(jié)的研究可以簡(jiǎn)化到一維或是二維進(jìn)行，如球球模型、球板模型[23]。而金屬纖維被看作圓柱體進(jìn)行研究，燒結(jié)過(guò)程不僅有徑向的物質(zhì)遷移，還存在沿金屬纖維長(zhǎng)度方向的軸向物質(zhì)遷移。在三維情況下，對(duì)金屬纖維燒結(jié)結(jié)點(diǎn)的研究是非常復(fù)雜的。為此，本文作者將相交金屬纖維不同截面形成的橢圓?橢圓結(jié)構(gòu)與表面擴(kuò)散模型結(jié)合，建立新的數(shù)學(xué)模型，并用有限差分法進(jìn)行數(shù)值模擬。對(duì)夾角為0°，45°和90°的金屬纖維的角平分線所在截面進(jìn)行二維數(shù)值模擬，探討在不同截面上不同纖維夾角對(duì)金屬纖維燒結(jié)頸的生長(zhǎng)速度的影響。

1 金屬纖維的表面擴(kuò)散模型

燒結(jié)過(guò)程模擬的前提是建立燒結(jié)模型，模型建立的質(zhì)量將直接影響到數(shù)值模擬的精度?？紤]到燒結(jié)過(guò)程的復(fù)雜性，為了建立描述燒結(jié)過(guò)程的合理模型，將金屬纖維假設(shè)為圓柱體；燒結(jié)過(guò)程中忽略重力的作用；燒結(jié)過(guò)程中金屬纖維沒(méi)有相對(duì)滑移和旋轉(zhuǎn)。因?yàn)槭菬Y(jié)初期，故金屬纖維的半徑?jīng)]有明顯變化。

1.1 幾何模型

假設(shè)2根金屬纖維的夾角為α，以纖維夾角大的角平分線為極軸，如圖1所示。在燒結(jié)結(jié)點(diǎn)處，沿極軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角方向取一截面，截面假設(shè)為橢圓?橢圓結(jié)構(gòu)。圖2所示為2根金屬纖維燒結(jié)點(diǎn)處的截面，該坐標(biāo)系為與極軸夾角為β方向的截面建立的笛卡爾坐標(biāo)系，O1為左邊金屬纖維的截面，O2為右邊金屬纖維的截面，R為金屬纖維的半徑，Y為頸長(zhǎng)。

根據(jù)圖1和圖2所示的幾何關(guān)系，可以推導(dǎo)出2根金屬纖維分別在各個(gè)方向截面上的函數(shù)表達(dá)式如下。

圖1 2根夾角為α的金屬纖維Fig. 1 Two metal fibers with angle ofα

圖2 2根金屬纖維燒結(jié)結(jié)點(diǎn)處的截面Fig. 2 Section of sintered node of two metal fibers

β(02πβ≤≤)的變化描述了燒結(jié)結(jié)點(diǎn)處各個(gè)方向的截面。在此，只研究0π/2β≤≤的情況，其他情況可以對(duì)稱得出。

1.2 表面擴(kuò)散模型

由 MULLINS[24]定義的表面擴(kuò)散可以描述為：物質(zhì)流動(dòng)是由化學(xué)勢(shì)梯度引起的，化學(xué)勢(shì)梯度與表面流量成正比例關(guān)系，而表面流量與表面曲率的梯度成正比例關(guān)系，因此，表面擴(kuò)散速度(物質(zhì)流動(dòng)速度)與表面流量梯度成正比例關(guān)系，可以表述為

式中：rn為表面法向量；t為時(shí)間；Js為表面流量；K為表面曲率；s為弧長(zhǎng)；B為系數(shù)，

MULLINS[24]所定義的表面流量為

將式(5)代入式(3)可得

式(3)及式(5)中的變量量綱一化，得到：

根據(jù)金屬纖維的幾何模型建立表面擴(kuò)散模型的初始邊界條件，可以實(shí)現(xiàn)金屬纖維燒結(jié)過(guò)程的數(shù)值模擬。

1.3 基于有限差分法的表面擴(kuò)散模型

在直角坐標(biāo)系下，表面擴(kuò)散模型可以表示為

采用有限差分法求解上述模型，時(shí)間方向采用向前差分格式，時(shí)間步長(zhǎng)為τ，網(wǎng)格剖分為N份，空間方向采用中心差分格式，空間步長(zhǎng)為 h，網(wǎng)格剖分為M份，具體如下。

時(shí)間一階差分格式為

空間一階差分格式為

空間二階差分格式為

所以，基于有限差分法的表面擴(kuò)散模型為式中：

求解上述初始邊值問(wèn)題的偏微分方程，初始條件及邊界條件的選取對(duì)于數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性有重要影響。假設(shè)燒結(jié)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(X, Y)，用“?”和“+”分別表示接觸點(diǎn)左、右兩邊的截面，在研究表面擴(kuò)散機(jī)制下金屬纖維的燒結(jié)過(guò)程中有如下邊界條件。

1) 整個(gè)表面在燒結(jié)結(jié)點(diǎn)處是連續(xù)的，即

2) 在燒結(jié)初始狀態(tài)，在燒結(jié)結(jié)點(diǎn)處滿足

3) 在x=±2R處，由MULLINS[24]的假設(shè)，系統(tǒng)邊緣處 Js=0，這里同樣作此假設(shè)。由于本文研究的是燒結(jié)初期，可以假設(shè)y(±2R,t)=0，Js(±2 R,t)=0。

2 數(shù)值模擬結(jié)果及討論

基于 Matlab軟件對(duì)金屬纖維表面擴(kuò)散模型進(jìn)行數(shù)值求解，并將金屬纖維的二維數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)際燒結(jié)實(shí)驗(yàn)的 SEM 圖片進(jìn)行對(duì)比，以證明本文模擬結(jié)果的可靠性。在數(shù)值模擬過(guò)程中，纖維初始半徑(量綱為一)取為2，空間方向演化步數(shù)為200步，空間步長(zhǎng)h取為0.04，時(shí)間方向演化步數(shù)取為100 000步，時(shí)間步長(zhǎng)τ為金屬纖維燒結(jié)結(jié)點(diǎn)處由初始狀態(tài)至局部平衡(燒結(jié)結(jié)點(diǎn)處與相鄰結(jié)點(diǎn)的彎曲程度相同)所需的時(shí)間，由Matlab計(jì)算得出。為了方便分析纖維夾角對(duì)燒結(jié)頸生長(zhǎng)速度的影響，在此，所有情況取相同的時(shí)間段進(jìn)行研究。

2.1 夾角為0°的金屬纖維的數(shù)值模擬結(jié)果

對(duì)于夾角為0°的金屬纖維，其數(shù)值模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖3和圖4所示，其頸半徑生長(zhǎng)曲線如圖5所示。

由圖3和圖4可以看出：數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)吻合較好。燒結(jié)初期纖維半徑不會(huì)發(fā)生明顯變化。由圖5可知：在燒結(jié)的初始階段，頸半徑會(huì)迅速生長(zhǎng)至約0.236，這是由于在燒結(jié)初期，燒結(jié)頸處的曲率梯度很大導(dǎo)致表面擴(kuò)散的驅(qū)動(dòng)力很大，燒結(jié)頸生長(zhǎng)速度很快。隨著燒結(jié)的進(jìn)行，燒結(jié)頸的生長(zhǎng)速度逐漸變慢并趨于平穩(wěn)。

2.2 夾角為45°的金屬纖維的數(shù)值模擬結(jié)果

對(duì)于夾角為 45°的 2根金屬纖維，選取其鈍角平分線截面和銳角平分線截面進(jìn)行數(shù)值模擬。這2個(gè)截面的頸半徑的生長(zhǎng)趨勢(shì)可以代表燒結(jié)過(guò)程中金屬纖維頸半徑的徑向生長(zhǎng)趨勢(shì)和軸向生長(zhǎng)趨勢(shì)。2.2.1 鈍角平分線方向的模擬結(jié)果

圖3 平行金屬纖維不同時(shí)刻截面的數(shù)值模擬結(jié)果Fig. 3 Numerical simulation results of section of parallel metal fiber at different time

圖4 實(shí)際燒結(jié)過(guò)程平行金屬纖維截面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig. 4 Experimental results of section of parallel metal fiber in actual sintering process

圖5 平行金屬纖維燒結(jié)頸半徑生長(zhǎng)曲線Fig. 5 Growth curve of sintering neck radius of parallel metal fiber

對(duì)夾角為 45°的金屬纖維沿鈍角平分線方向，其數(shù)值模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖6和圖7所示，頸半徑的生長(zhǎng)曲線如圖8所示。

2.2.2 銳角平分線方向的模擬結(jié)果

對(duì)于夾角為 45°的金屬纖維沿銳角平分線方向，其數(shù)值模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖 9和圖 10所示，頸半徑的生長(zhǎng)曲線如圖11所示。

由圖6、圖9與圖7、圖10對(duì)比可以看出：數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較吻合。頸半徑的生長(zhǎng)趨勢(shì)仍是先快后慢，然后逐漸趨于平穩(wěn)。由圖8和圖11可知：鈍角平分線頸半徑生長(zhǎng)速度明顯低于銳角平分線頸半徑的生長(zhǎng)速度。

2.3 垂直金屬纖維的數(shù)值模擬結(jié)果

對(duì)于垂直金屬纖維，其鈍(銳)角平分線方向數(shù)值模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖12和圖13所示，頸半徑的生長(zhǎng)曲線如圖14所示。

圖6 夾角為45°的金屬纖維的鈍角平分線截面的數(shù)值模擬結(jié)果Fig. 6 Numerical simulation results of section of bisector of obtuse angle of metal fiber with angle of 45°

圖7 實(shí)際燒結(jié)過(guò)程鈍角平分線截面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig. 7 Experimental result of section of bisector of obtuse angle in actual sintering process

圖8 鈍角平分線截面燒結(jié)頸半徑生長(zhǎng)曲線Fig. 8 Growth curve of sintering neck radius at section of bisector of obtuse angle

圖9 夾角為45°的金屬纖維銳角平分線截面的數(shù)值模擬結(jié)果Fig. 9 Numerical simulation results of section of bisector of acute angle of metal fiber with angle of 45°

圖10 實(shí)際燒結(jié)過(guò)程銳角平分線截面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig. 10 Experimental result of section of bisector of acute angle in actual sintering process

圖11 銳角平分線截面燒結(jié)頸半徑生長(zhǎng)曲線Fig. 11 Growth curve of sintering neck radius at section of the bisector of acute angle

由圖12與圖13可以看出：當(dāng)纖維夾角為90°時(shí)，數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較吻合。由圖14可知：頸半徑的生長(zhǎng)趨勢(shì)仍然是先快后慢，并逐漸趨于平穩(wěn)。

2.4 纖維夾角對(duì)燒結(jié)頸生長(zhǎng)速度的影響

表面擴(kuò)散是由表面曲率梯度驅(qū)動(dòng)的。纖維與纖維剛剛接觸時(shí)，燒結(jié)結(jié)點(diǎn)處存在巨大的曲率差，導(dǎo)致燒結(jié)開(kāi)始時(shí)，燒結(jié)頸迅速生長(zhǎng)以達(dá)到燒結(jié)結(jié)點(diǎn)處的局部平衡，即燒結(jié)結(jié)點(diǎn)處與相鄰點(diǎn)的彎曲程度相同。對(duì)于不同截面，燒結(jié)頸迅速生長(zhǎng)的速度是不同的。所以為了分析纖維夾角對(duì)頸半徑生長(zhǎng)速度的影響，在原有纖維夾角0°，45°和90°的數(shù)值模擬基礎(chǔ)上又添加了30°及 60°夾角的金屬纖維的數(shù)值模擬。不同夾角的金屬纖維在鈍角平分線及銳角平分線截面的頸半徑生長(zhǎng)速度曲線如圖15和圖16所示。

圖12 垂直金屬纖維不同時(shí)刻截面的數(shù)值模擬結(jié)果Fig. 12 Numerical simulation results of section of vertical metal fibers at different time

圖13 實(shí)際燒結(jié)過(guò)程中鈍(銳)角平分線截面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig. 13 Experimental result of section of bisector of obtuse(acute) angle in actual sintering process

圖14 垂直金屬纖維燒結(jié)頸半徑生長(zhǎng)曲線Fig. 14 Growth curve of sintering neck radius of vertical metal fiber

圖 15 纖維夾角為 0°, 30°, 45°, 60°, 90°時(shí)，鈍角平分線方向燒結(jié)頸半徑生長(zhǎng)曲線Fig. 15 Growth curves of sintering neck radius along bisector of obtuse angle with fiber angle of 0°, 30°, 45°, 60°, 90°

圖 16 纖維夾角為 30°, 45°, 60°, 90°時(shí)，銳角平分線方向燒結(jié)頸半徑生長(zhǎng)曲線Fig. 16 Growth curves of sintering neck radius along bisector of acute angle with fiber angle of 30°, 45°, 60°, 90°

由圖15和圖16可知：在鈍角平分線截面上，纖維夾角越大，頸半徑生長(zhǎng)速度越快，而在銳角平分線截面上，情況則相反；銳角平分線截面上頸半徑生長(zhǎng)速度比鈍角平分線截面快很多；纖維之間距離越近，燒結(jié)頸越容易形成，生長(zhǎng)速度越快，形成的燒結(jié)頸越大。因此，金屬纖維夾角對(duì)燒結(jié)頸的形成起重要作用。

3 結(jié)論

1) 將金屬纖維的幾何結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)的表面擴(kuò)散模型結(jié)合，建立相交金屬纖維的表面擴(kuò)散模型。此模型是一個(gè)非線性微分方程組，用有限差分法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解，實(shí)現(xiàn)了金屬纖維燒結(jié)過(guò)程的數(shù)值模擬。

2) 所用的有限差分法簡(jiǎn)單易懂、便于實(shí)現(xiàn)，相對(duì)于水平集方法等其他數(shù)值算法，所占內(nèi)存小、耗時(shí)少，在工程實(shí)現(xiàn)方面更有優(yōu)勢(shì)。

3) 研究了不同夾角的金屬纖維在鈍角平分線截面及銳角平分線截面上頸半徑的生長(zhǎng)趨勢(shì)，銳角平分線截面的燒結(jié)頸生長(zhǎng)速度比鈍角平分線截面的燒結(jié)頸生長(zhǎng)速度快。

4) 夾角越大，銳角平分線截面燒結(jié)頸生長(zhǎng)速度越慢，燒結(jié)頸越小；而在鈍角平分線截面情況相反。

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Numerical simulation of metal fiber sintering by surface diffusion

SONG Min1, ZHENG Zhoushun1, CHEN Dongdong2, CAO Wen1, FU Taibai1, TANG Huiping3

(1. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China;2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;3. State Key Laboratory of Porous Metal Materials, Northwest Institute for Nonferrous Metal Research,Xi’an 710016, China)

Based on the oval-oval structure of different sections of two intersecting metal fiber sintered node, the surface diffusion model of the sintering process of metal fibers was established. This model, which was the nonlinear partial differential equations, could be numerically solved by finite difference method, and the numerical simulation of the forming process of metal fiber sintered node could be realized. Focus on the metal fibers with the angle of 0°, 45°, and 90°, the numerical simulations were conducted, respectively. The results show that the sintering neck radius quickly grows in the initial sintering stage, and then the growth rate decreases gradually in the following sintering process. Under the condition of the same fiber angle, the neck radius at the section of the bisector of acute angle grows much faster than that at the section of the bisector of obtuse angle. Under the condition of different fiber angles, the larger the fiber angle is,the faster the growth rate of sintering neck at the section of the bisector of obtuse angle grows, and the situation at the section of the bisector of acute angle is opposite.

metal fiber; surface diffusion; finite difference; sintering neck

TG111.6

A

1672?7207(2017)11?2851?08

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.11.002

2016?11?03；

2016?12?24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51174236)；國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(2011CB606306)；金屬多孔材料國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助項(xiàng)目(PMM-SKL-4-2012)；中南大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(2016zzts220) (Project(51174236) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2011CB606306) supported by the National Basic Research Development Program (973 Program) of China; Project(PMM-SKL-4-2012) supported by the National Key Laboratory Open Program of Porous Metal Material of China;Projects(2016zzts220) supported by the Innovation Project of Central South University)

鄭洲順，博士，教授，從事偏微分方程數(shù)值解及數(shù)值模擬研究；E-mail: 2009zhengzhoushun@163.com

(編輯 劉錦偉)