利用空間向量尋找直棱柱中過(guò)某線段且垂直于已知平面的平面

官欣

摘 要：在直棱柱中找過(guò)某一線段且滿足其他條件的平面的問(wèn)題，由于此類考題思維的逆向性，加之需要較強(qiáng)的空間想象力，是立體幾何考查中的一個(gè)難點(diǎn)。解決此類問(wèn)題往往依據(jù)的是對(duì)直棱柱性質(zhì)的熟練程度和解題經(jīng)驗(yàn)。本文通過(guò)具體例子，利用空間向量，找到了一種解決此類問(wèn)題的通法。

關(guān)鍵詞：直棱柱；空間向量；找平面

在2016年10月舉行的昆明市2017屆高三摸底調(diào)研測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷的第15題，難倒了不少學(xué)生，甚至不少老師也覺得比較棘手。

第15題題目如下：

如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，過(guò)直線B1D1的平面α⊥平面A1BD，則平面α截該正方體所得截面的面積為 。

圖1

基本思路：在正方體內(nèi)找一條線，使之與平面A1BD垂直，同時(shí)，這條直線和直線B1D1相交（或在直線B1D1上找一個(gè)點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作直線，使得該直線與平面A1BD垂直）。很多學(xué)生會(huì)習(xí)慣性地找到正方形A1ABB1的對(duì)角線AB1，線段AB1雖然與A1B垂直，但不與平面A1BD內(nèi)的其他線段垂直，同理AD1也不是滿足條件的線段（如圖2）。

圖2

到這里思路就斷了。對(duì)正方體性質(zhì)熟悉的老師和學(xué)生都知道，其實(shí)對(duì)角線AC1是垂直于平面A1BD的，只需要在線段B1D1上找一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作AC1的平行線，那么，垂直于平面A1BD的平面α就找到了，再作出平面α與正方體的交線就可以得到所求的截面。

由以上的敘述可以看出，如果不知道正方體對(duì)角線AC1垂直于平面A1BD這一性質(zhì)，想用幾何法找出這個(gè)截面難度是比較大的。

不如換一種思路，由正方體想到建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的特性來(lái)嘗試解決。

基本原理如下：平面A1BD的法向量所在的直線垂直于平面A1BD，由向量的性質(zhì)可知：要找到過(guò)B1D1垂直于平面A1BD的平面，只需找到平面A1BD的法向量n，作出n所在的直線，然后在線段B1D1上找一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作出n所在的直線的平行線，平面α就找到了，再作出平面α與正方體的交線就可以得到所求的截面，進(jìn)而求出該截面的面積。

解析如下：

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由正方體棱長(zhǎng)為2，有：

A1（2，0，2），B（2，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2）， A1B=（0，2，-2），DB=（2，2，0）

設(shè)n=（x，y，z）為平面A1BD的法向量，則

A1B·n=0DB·n=0，整理得y-z=0x+y=0，令 z=1，得n=（-1，1，1）。

因?yàn)锳C1=（-2，2，2），所以AC1與n為共線向量，即AC1為平面A1BD的一個(gè)法向量，故只需在線段D1B1上找一點(diǎn)，并過(guò)此點(diǎn)作AC1的平行線即可作出所求平面，該平面與正方體的交線組成的平面即為滿足題意的截面α，然后求出平面α的面積即可。

為方便解題，利用三角形中位線定理，連接A1C1，AC1，且A1C1，D1B1交于點(diǎn)M，作MN平行AC1，連接NB1，ND1，則平面NB1D1就是所求截面，且N為AA1中點(diǎn)（如圖3）。

圖3

計(jì)算得三角形NB1D1的面積為6，所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，過(guò)直線B1D1的平面α⊥平面A1BD，則平面α截該正方體所得截面的面積為6。

到這里，題目得到了解答，但是思考并沒有結(jié)束：長(zhǎng)期以來(lái)，我們?cè)趯?duì)空間向量的教與學(xué)中，強(qiáng)化的是利用空間向量來(lái)證明空間中的線和面，面和面的平行、垂直關(guān)系，用于計(jì)算點(diǎn)到面的距離，直線和平面所成的角，計(jì)算二面角的大小等，這道題提示了我們關(guān)于空間向量的一個(gè)新的用法：可以用來(lái)找經(jīng)過(guò)某一已知直線與另一平面垂直的平面。不僅僅對(duì)于正方體可用，還可以推廣到長(zhǎng)方體，直棱柱。

結(jié)論：1. 若正方體棱長(zhǎng)為a，若經(jīng)過(guò)直線B1D1的平面α⊥平面A1BD，則平面α截該正方體所得截面的面積為64a2；

2. 底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b的直四棱柱，若經(jīng)過(guò)直線B1D1的平面α⊥平面A1BD，則平面α與該四棱柱側(cè)棱AA1的交點(diǎn)在A1點(diǎn)距A點(diǎn)ab個(gè)單位處。

3. 若直四棱柱的底面為矩形，平行四邊形，菱形，則用通法利用作與已知平面的法向量共線的向量的方法來(lái)找到與已知平面垂直的平面。endprint