關(guān)于一道曲線積分習(xí)題的一題多解

曾春花　楊維珍

【摘 要】本文對曲線積分的一道課后習(xí)題，從不同思路出發(fā)，得到了不同解法。通過對解法的分析，不但全面復(fù)習(xí)了曲線積分知識，也有利于開拓思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

【關(guān)鍵詞】曲線積分；格林公式；原函數(shù)

Multiple solutions to An exercise about a curvilinear integral

ZENG Chun-hua YANG Wei-zhen

（School of Sciences，Kaili University，Kaili，Guizhou 556011，China）

【Abstract】Different solutions are obtained about an exercise after class on a curvilinear integral，Starting from different ways of thinking.Through the analysis of the solutions，Not only it is a comprehensive review of the curve integral knowledge， but Also it is conducive to the development of ideas ，and conducive to students creative thinking.

【Key words】Curvilinear integral；Green formula；Primitive function

在高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教材[1-3]中，曲線積分是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容之一，也是學(xué)生感到困惑的內(nèi)容之一。如在計算是要考慮曲線積分是否與積分路徑無關(guān)，積分曲線是否為封閉曲線，若用格林公式來求怎樣添加輔助線等問題。這篇文章通分析對一道課后習(xí)題的不同解法，使學(xué)生熟練掌握第二型曲線積分的計算方法，同時也開拓了思路，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

分析此解法是利用格林公式計算，而積分曲線不是封閉曲線，要添加輔助性使之變成封閉的積分曲線，從而能利用格林公式來求，然而在選擇添加的輔助線時，要注意在此輔助線上的曲線積分是容易計算出來的。

分析此解法是直接利用公式來計算，直接利用公式來計算就是把第二類曲線積分直接轉(zhuǎn)化為定積分計算。在計算過程中，首先確定積分限，再將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)中，最后進(jìn)行替代。要注意積分限的確定，即積分上限是對應(yīng)起點的參數(shù)，積分下限對于終點的參數(shù)，這積分過程可總結(jié)為“一定二代三替換”。

在遇到第二型曲線積分的計算問題時，首先考慮積分曲線是否能表示成參數(shù)形式，再直接利用公式來計算，在此計算過程中應(yīng)注意積分限的確定；再考慮曲線積分是否與路徑無關(guān)，若曲線積分與路徑無關(guān)，如何求原函數(shù)；若積分曲線為封閉曲線，或添加輔助線使得積分曲線變?yōu)榉忾]曲線，而且偏導(dǎo)數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)連續(xù)，可以考慮格林公式，注意添加合適的輔助線，使得在輔助線的積分計算起來比較簡單。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟大學(xué).高等數(shù)學(xué)：下冊[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：下冊[M].第4版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]王金金.高等數(shù)學(xué)：下冊[M].第1版.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2012.endprint